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函数极限的定义与基本性质 本章主要阐述函数的定义与基本性质,其中,最为重要的函数的极限的模型来自于对自由落体运动,由平均速度, (1) 求解瞬时速度,也就是说要考察上述函数(1)中(注意,是固定的),当无限变小时,它的变化趋势,也就是看它是否无限接近于一个数。 首先看到,这个函数在是没有定义的,但至少在包含0的一个开区间(0点除外)有定义,不等于0的时候,有 当很小的时候,左边的函数值与右边的函数值的差也很小,而且当无限接近于0的时候,左边的函数值也无限接近于。接下来,把“接近”、“无限”等语言精确化,便得到我们所要的函数极限概念的定义:1.1定义: 设在点附近(除点以外)有定义,是一定数,若对任意给定的,存在,当的时候,有 ,则称是函数当趋于的时候的极限,记为 或者记为: ()1.2 定理: 若 ,则 (1) (2) (3)1.3 推论: 若 ,为常数,则 1.4 局部有界性定理: 若 ,则存在,使得在 上有界。1.5 局部保号性定理: 0, 则存在,当的时候, 有: 1.6定理: 若,且存在,在上有界,则1.7 局部保序性: 若 ,且,则存在,当的时候,。1.8 极限不等式: 若存在,当的时候,有,且,则。1.9极限唯一式:若极限 存在,则极限是唯一的。2.0夹迫性:若存在,当的时候,有,并且 ,则 2.1 海涅定理: 的充分必要条件是对任意的以为极限的数列,且(n=1,2,3.),都有。 海涅定理深刻的揭示了函数极限与数列极限的关系,正确的理解这个定理,有助于理解变量的连续变化和离散变化之间的关系,从而进一步理解函数极限的概

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