高级微观经济学.doc

高级微观经济学课本：参考书：1) Andreu Mas-Colell，Michael D. Whinston and Jerry R. Green，1995，Microeconomic Theory，Oxford University Press； 2) Hal Varian，Microeconomic Analysis，中译本，中译本：微观经济理论，经济科学出版社3) 平新乔，微观经济学18讲，北京大学出版社83第一章：消费理论1. 基本概念2. 偏好关系和效用函数3. 消费者的优化问题4. 间接效用函数和支出最小化5. 需求的特征本章属于经典消费理论。其中大多数原理我们已经在中初级微观经济学中学习过。但是在那里，这些原理来自于生活经验的归纳，而没有严格的证明。本章的内容是严格的从消费者偏好开始通过数学推导出整个经典消费理论。由于生产者和消费者是一对对偶，在行为上非常相似，因此，有了严格建立在数学推导上的消费者理论和生产者理论就为整个微观经济学科学性有了保障。本章的学习，重点在于理解现代微观经济学是如何从消费者偏好效用函数选择需求建立起科学的消费者理论的。1.1基本概念1、选择集/消费集定义：所有可能的（能实现的和不能实现的）消费（选择）方案的集合。消费方案：商品：1) 商品数量无限可分： ，商品数量是连续的。2) 商品数量非负：3) 商品种类为：消费束/组合（向量）：消费集X特征：1、 非空集2、 闭集：p.429，定义A1.11（边界上的点能达到）3、 凸集：P.411，A1.2.24、 包含原点：2、可行集：制度约束、经济约束等3、偏好关系4、行为假设:在各种能够实现的消费方案中，消费者选择他最偏好的消费方案。1选择集2可行集3偏好关系4行为假设1.2、偏好关系和效用函数Debreu (1959)问题：1、无差异曲线为什么是我们常见的那种形状？2、怎样用一个函数描述偏好关系？1、偏好关系、关系、两元关系：p.415-p.416、两元关系的定义：定义在消费集上，反映中任意两个点之间的关系：，如果有，则对该消费者而言，“至少和一样好”，或者，“在和之间，消费者弱偏好”公理一：完备性公理：对于选择集中任意的两个要素和，有或含义：u 消费者能够做出对任何两个消费组合进行比较u 消费者具有无限的认知能力u 消费者具有无限的判断能力公理二：传递性公理：对于选择集中任何的三个要素、和，如果和，则有。含义：u 消费者的选择具有一致性一些来自心理学的挑战。设计实验如下：A：赌局1：有33%的机会得到2500，有66%的机会得到2400，1%得到0。赌局2：确定性的得到2400。B：赌局1：33%得到2500，67%得到0。赌局2：34%得到2400，66%得到0。试验结果：对于问题A：大多数人选择赌局2；对于问题B，大多数人选择赌局1。按照冯诺伊曼摩根施坦（Neumann-Morgenstern）不确定条件下的行为理论，也即主观预期效用理论（subjedflve expected utility,简称），受试者会在各种赌局中选取概率意义等值较高的赌局。对于问题A，效用函数满足u(2400)0.33u(2500)+0.66u(2400),即0.34u(2400)0.33u(2500)对于问题B,投资者偏好是0.34u(2400)0.33u(2500).试验发现：存在系统性地背离这一预测的现象，即“偏好逆转现象：这一现象存在的普通性在其后来及其学者的实验和实践中得到了确认和证实。因此研究者均认为这一现象是对经济理性公理之一传递性的致命挑战。偏好关系：u （弱）偏好关系：消费集上的两元关系，如果满足公理一和公理二，就是偏好关系。理性：公理一公理二：一个有理性的当事人能够做出选择，而且他的选择是一致的。关于理性假设的讨论：u 严格偏好关系：u 无差异关系：几个概念：上优集下劣集严上优集严下劣集无差异集符合公理1、2的偏好图1.1：无法排除任何不规则处。公理三：连续性公理：对于选择集中的任何元素，和在中为闭集。P.423定理A1.4。排除了偏好图上的间断点。公理四：局部非饱和性公理：对于所有的，对于所有的，始终存在着某个，有。任意一点的邻域必有一点优于此点。这是单调性的一般化。而单调性的意义在于：任意一点的东北方向之点必优于此点。局部非饱和性是说效用函数在三维图象中没有极值点和平台。无差异曲线不是厚的。排除掉了“粗”的偏好曲线公理四：严格单调性公理：对于所有的，如果，有；如果，有。含义：u 多多益善u 去掉了无差异曲线上任何一点的右上部分和左下部分，使无差异曲线的斜率为负公理五：凸性定理：如果，那么，对于所有的，有。公理五：严格凸性定理：如果，那么，对于所有的，有。当时，有：凸性但非严格凸性当时，有：当时，有：严格凸性含义：u 平均优于极端u 边际替代率递减递减1.2.2效用函数如何用函数描绘偏好关系，如何给效用函数赋值定义：实值函数，如果对于所有的，有，则该函数被称为反映偏好关系的效用函数。定理1.1效用函数存在性定理：如果两元关系满足完备性、传递性、连续性和严格单调性，则存在着反映这一关系的连续的、单调递增的实值效用函数。证明：假设是完备的、可传递的、连续和严格递增的。设是一个单位向量。并考虑映射,使 （引入单位向量的目的是使实数值与消费组合对应起来）。如果这样一个存在，并且如果能证明它是连续的，那么，我们就找到了一个实值函数它可以描述偏好关系。1、存在：考虑的上优集和下劣集如何存在一个，那么，这样，令就是我们要寻找的实值函数。证明：由于A,B都是闭的，显然这样一个t*存在（参见书p14）2、唯一唯一性是为了保证效用函数定义良好如果不是唯一的，那么就可能有许多效用函数了。假设t不为一，存在t1、t2这样，我们就给效用函数赋了值，它给每个消费组合X分派了一个数字，现在，我们要证明：3、效用函数代表了偏好关系设，则 最后一步依据的是偏好关系的严格单调性。4、效用函数是连续的定理A1.6:连续性与其逆象设的一个子集，如下条件是等价的：1、是连续的2、对于内的每个开球，内也是开的。定理表明，对于连续函数，值域内的开球在定义域内的逆象也是开球。对于效用函数，其逆象根据偏好关系的连续性，是闭的，因而其补集，就是上式是开的。这样，效用函数是连续的。效用函数的任何正的单调变换仍表示同一个效用函数：为什么？定理1.3：效用函数的正向单调变换不变性定理：设是上的偏好关系，是反映此偏好关系的效用函数，对于每一个，当且仅当，其中，在定义域上严格递增时，函数也反映该偏好关系。定理1.4：偏好关系和效用函数的特征：设反映偏好关系，有严格递增严格单调拟凹为凸集严格拟凹为严格凸集效用函数可微性假设（Debreu,1972）有了效用函数后我们就可以用微积分而不是集合论来分析问题了。边际效用（两物品）边际替代率。当偏好严格单调时，。当偏好严格为凸时，边际替代率严格递减（效用函数的二阶导数0）1.3消费者选择消费者选择能够支付得起的最优商品组合。“支付得起”预算集，“最优”偏好关系消费者偏好：偏好是完备的、可传递的、连续的、严格单调和严格凸的。这种偏好关系可以用一个是值函数u表示，该函数是连续的、严格递增的和严格拟凹的。消费者偏好用无差异图表示：预算集：预算集图形及斜率：消费者问题：n 消费者从预算集中选择最偏好的商品组合（点）：，且对于所有的，有。n 消费者从预算集中选择最大化效用函数的点：消费者的问题：此最大化问题是否有解：是否有唯一解：定理A1.10：weierstrass极值的存在性定理设是非空紧集，是连续的实值映射，则存在向量和向量，对于所有的，有证明：连续：非空、闭集、有界集效用函数和预算集限定的x符合weierstrass定理的条件，因而存在向量使效用最大化。定理A2.14：严格拟凹与全局最优化的唯一性目标函数严格拟凹，因而效用函数的最大值唯一因此我们证明了消费者效用最大化问题有解且解唯一的。因为偏好严格单调，因而使消费者效用最大化的消费组合应该是包含数量最多的商品的组合，即预算约束是束紧的： X*两维空间解的图示：1、 两维空间：预算线和无差异曲线之间的关系相交相切不相交2、 预算线与无差异曲线相切：预算线的斜率：无差异曲线的斜率：（注意这个条件）解得马歇尔需求函数消费者的问题：的解：马歇尔需求函数消费者问题与消费者需求行为之间的关系图1.11：假设效用函数连续可导，可以用拉格朗日方法求消费者问题的解：（1）、根据偏好关系的严格单调性定理，约束条件必然为：预算平衡性定理构造拉格朗日函数：一阶条件：二阶条件：加边海赛矩阵为负半定解得马歇尔需求函数（2）、不等约束条件下的极值KuhnTucker定理：构造拉格朗日函数：一阶条件：二阶条件：加边海赛矩阵为负半定解得马歇尔需求函数定理1.4消费者一阶条件的充分性（证明见书）例题：消费者的效用函数为，求马歇尔需求函数。解：设商品1和商品2的价格分别为，消费者收入为。消费者的决策为：构造拉格朗日函数：最优解满足一阶条件：解得马歇尔需求函数：消费者的最大效用为：间接效用函数为：例2 ：不变替代弹性ces效用函数的马歇尔需求定理1.5：马歇尔需求函数的可微性：作用：比较静态分析参数或模型结构的变化对模型解的影响价格变化或收入变化导致的解的变化：，或设是消费者最大化问题的解，需求函数可微性的条件是：效用函数二阶可导某些或全部商品的边际效用大于零效用函数的海赛加边矩阵有非零行列式?1.4间接效用函数与支出直接效用函数：间接效用函数：间接效用函数的政策意义：通过价格政策（p）和收入政策（y）可以控制消费者行为。定理1.6间接效用函数的特征：间接效用函数1) 在上连续2) 在上零次齐次性3) 在上严格递增4) 在上严格递减5) 在上拟凹6) 罗伊恒等式：如果在上可导，并且，有：间接效用函数的特征1、间接效用函数在上连续p.505最大值定理：如果目标函数和约束条件在参数上连续，定义域为紧集，则值函数在参数上连续。含义：当收入和价格有微量变化时，极大化了的效用也会有微量变化。2、间接效用函数在上零次齐次性间接效用函数在上零次齐次性：3、间接效用函数在上严格递增应用包络定理： 构造拉格朗日函数根据包络定理，：的符号？4.间接效用函数在价格上递减设价格向量，求证5、 间接效用函数在上拟凸定义A1.27：一个函数是拟凸函数，当且仅当对于所有，有：。即凸组合的函数值小于其中一个的函数值。证明见书6、罗伊恒等式：如果在上可导，并且，有：。例题：1.4.2支出函数给定价格实现某一效用水平所需的最小支出：最优解为希克斯需求函数，最小支出为支出函数为：两元空间支出最小化：希克斯需求函数（补偿需求函数，或实际收入不变的需求函数）：效用函数严格单调递增，所以有唯一的无差异曲线与相对应，因此可以把所要实现的效用水平写作。可以写为：支出函数可以表述为在给定价格下，实现消费束所带来的效用，所需的最小支出。图1.16支出函数的特征1. 在取最低效用水平时，支出函数为零2. 在定义域上连续3. 对于所有的，支出函数在上递增并且关于u无上界4. 在价格上递增5. 在价格上一次齐次性6. 在价格上为凹函数7. 如果效用函数严格拟凹，有谢泼特引理：证明：1、 在取最低效用水平时，支出函数为零取最低效用水平：，即支出函数.2、在定义域上连续最大化定理。3、对于所有的，支出函数在上递增并且无上界e=可证约束条件是束紧的。运用拉格朗日定理：拉格朗日函数：（一阶条件）包络定理：4、在价格上递增由性质7推出。5、在价格上一次齐次性6、在价格上为凹函数固定效用为，取价格，（凸组合），设在价格为时最优解为，支出函数为即凸组合的函数值=函数值的凸组合。书p34。7、如果效用函数严格拟凹，有谢菲尔德引理：。根据包络定理。例子：消费者的效用函数为，求希克斯需求函数和支出函数。解：构造拉格朗日函数，利用一阶条件，解得希克斯需求函数：，1.4.3马歇尔需求函数与希克斯需求函数的关系：假设是满足假设1.2的效用函数，我们有：如果在收入为时，是效用最大化问题的最优解（马歇尔需求），那么在支出最小化问题中，当所要实现的效用水平为时(u(x*)=v(p,y)，是最优解（希克斯需求）（）。而且，在这一支出最小化问题中，最小的支出水平正好为（）。如果在支出最小化问题中，当所要实现的效用水平为时， 是最优解（希克斯需求），那么在效用最大化问题中，当收入为时（），是最优解（马歇尔需求）（）。而且，在效用最大化问题中，最大效用水平正好为，。证明：效用最大化问题为：设是此问题的解，于是有和支出最小化问题为：=设是此问题的解，于是有X*和 X X 反证：假设不是支出最小化问题的解。设是其解，有和。根据弱单调性公理，在的任何邻域中，存在，且有。就是说，又因为，所以，是更优的点,x*非效用最大化的点。这与前提条件x*是效用最大化问题的解相矛盾，因此，是在所要实现的效用水平为时，支出最小化问题的最优解。其次，我们证，支出最小化问题中的最小支出=y.在收入为时，是UMP的最优解，则是马歇尔需求函数，此时，（间接效用函数的定义）；在EMP中，当所要实现的效用水平为时，是最优解，则是希克斯需求函数（前一=是希克斯需求函数的定义，后一=代入上式得），也就是说，我们有，支出函数为（中间=是支出函数的定义），即。证毕。反证：假设在效用最大化问题中，当收入为时，不是最优解。是最优解，。取。根据的连续性，当足够地接近1时，有（x*不是支出最小化问题的解），且。这和前提条件x*是支出最小化问题的解相矛盾，所以是效用最大化问题的最优解。在支出最小化问题中，当所要实现的效用水平为时， 是最优解，就是说，是希克斯需求函数，有.是在收入为时，效用最大化问题的解（上面刚证明），也就是马歇尔需求函数，所以有。因此，我们有：（）最大效用即间接效用函数为（间接效用函数的定义）。是支出最小化问题的解，有，又（u是指支出最小化问题中的最小的u），所以有，即证毕。前面两等式表明支出函数是间接效用函数的反函数，间接效用函数是支出函数的反函数。知道其中一个就可以通过求反函数球出另一个。例子：利用间接效用函数求支出函数解：令，（红字等式就是前面第一个等式）前面3、4式表明马歇尔需求和希克斯需求函数之间存在对偶性，即效用最大化问题的解就是支出最小华问题的解（图1.17）。知道马歇尔需求函数就可以求出希克斯需求函数。例1.5 1.5马歇尔需求函数的特征（比较静态分析）马歇尔需求函数：Walras法则（预算平衡性）：在价格和收入上零次齐次性对于所有的，有，比较静态分析：1. 某种商品价格变化所导致的对其他商品和该商品本身需求的变化；2. 收入变化所导致的对商品的需求的变化。替代效应se：保持效用不变，相对价格变化所导致的消费的变化。收入效应ie：相对价格保持不变，收入改变所导致的消费的变化。总效用的希克斯分解。图1.20定理1.1 Slutsky方程(定理1.9)其中，是在价格为、收入为时所实现的效用。因此有，于是，所以，上式等号右边为复合函数：，。第一步：等号左右两边同时对求导数，得到第二步：第三步：得到Slutsky方程：矩阵表示：定理1.11：设是马歇尔需求函数，是在价格、为收入为时所实现的效用，有Slutsky方程：。当时，Slutsky方程衡量商品价格变化对其自身需求的影响：自身替代项的特征：定理1.12：负自身替代项：设是对商品的希克斯需求函数，有：证明：支出函数在价格上为凹函数，根据定理A2.5，凹函数所有的二阶自偏导数非正，即；根据谢菲尔德引理，有，所以正常商品：在价格不变时，随着收入增加，其消费增加的商品，叫做“正常商品”。对正常商品，有非正常商品：在价格不变时，随着收入增加，其消费减少的商品，叫做“非正常商品（inferior）”。对非正常商品，有。定理1.13：需求法则（定律）：正常商品：正常商品自身价格下降会导致其需求量上升非正常商品：如果商品自身价格下降导致其需求量下降，该商品肯定为非正常商品。正常商品