（浙江专版）2018年高中数学 第三章 不等式 3.4 基本不等式学案 新人教A版必修5.doc

3.4预习课本p97100，思考并完成以下问题(1)基本不等式的形式是什么？需具备哪些条件？(2)在利用基本不等式求最值时，应注意哪些方面？(3)一般按照怎样的思路来求解实际问题中的最值问题？1重要不等式当a，b是任意实数时，有a2b22ab，当且仅当ab时，等号成立2基本不等式(1)有关概念：当a，b均为正数时，把叫做正数a，b的算术平均数，把叫做正数a，b的几何平均数(2)不等式：当a，b是任意正实数时，a，b的几何平均数不大于它们的算术平均数，即，当且仅当ab时，等号成立(3)变形：ab2，ab2(其中a0，b0，当且仅当ab时等号成立)点睛基本不等式成立的条件：a0且b0；其中等号成立的条件：当且仅当ab时取等号，即若ab时，则，即只能有.1判断下列命题是否正确(正确的打“”，错误的打“”)(1)对任意a，br，a2b22ab，ab2均成立()(2)若a0，则a24()(3)若a0，b0，则ab2()解析：(1)错误任意a，br，有a2b22ab成立，当a，b都为正数时，不等式ab2成立(2)错误只有当a0时，根据基本不等式，才有不等式a24成立(3)正确因为，所以ab2.答案：(1)(2)(3)2若ab0，则下列不等式成立的是()aabbabcabdab解析：选bab，因此b项正确3若x0，则x2有()a最小值6 b最小值8c最大值8 d最大值3解析：选b由x2228(当且仅当x，即x3时，取等号)，故选b.4利用基本不等式求最值，下列运用正确的是()ay|x|2240bysin x24(x为锐角)c已知ab0，22dy3x24解析：选d在a中，4不是常数，故a选项错误；在b中，sin x时无解，y取不到最小值4，故b选项错误；在c中，未必为正，故c选项错误；在d中，3x，均为正，且3x时，y取最小值4，故d选项正确利用基本不等式比较大小典例(1)已知ma(a2)，n22b2(b0)，则m，n之间的大小关系是()amnbmb1，p，q(lg alg b)，rlg ，则p，q，r的大小关系是_解析(1)因为a2，所以a20，又因为ma(a2)2，所以m224，由b0，得b20，所以2b22，n22b2n.(2)因为ab1，所以lg alg b0，所以q(lg alg b)p；q(lg alg b)lg lg lg lg r.所以pqr.答案(1)a(2)pq0，b0.活学活用已知a，b，c都是非负实数，试比较与(abc)的大小解：因为a2b22ab，所以2(a2b2)(ab)2，所以 (ab)，同理 (bc), (ca)，所以 (ab)(bc)(ca)，即(abc)，当且仅当abc时，等号成立.利用基本不等式证明不等式典例已知a，b，c均为正实数， 求证：3.证明a，b，c均为正实数，2(当且仅当a2b时等号成立)，2(当且仅当a3c时等号成立)，2(当且仅当2b3c时等号成立)，将上述三式相加得6(当且仅当a2b3c时等号成立)，3(当且仅当a2b3c时等号成立)，即3(当且仅当a2b3c时等号成立)利用基本不等式证明不等式的策略与注意事项(1)策略：从已证不等式和问题的已知条件出发，借助不等式的性质和有关定理，经过逐步的逻辑推理，最后转化为所求问题，其特征是以“已知”看“可知”，逐步推向“未知”(2)注意事项：多次使用基本不等式时，要注意等号能否成立；累加法是不等式证明中的一种常用方法，证明不等式时注意使用；对不能直接使用基本不等式的证明可重新组合，形成基本不等式模型再使用活学活用已知a，b，c为正实数， 且abc1，求证：8.证明：因为a，b，c为正实数，且abc1，所以1.同理，1，1.上述三个不等式两边均为正，相乘得8，当且仅当abc时，取等号.利用基本不等式求最值典例(1)已知lg alg b2，求ab的最小值(2)已知x0，y0，且2x3y6，求xy的最大值(3)已知x0，y0，1，求xy的最小值解(1)由lg alg b2可得lg ab2，即ab100，且a0，b0，因此由基本不等式可得ab22 20，当且仅当ab10时，ab取到最小值20.(2)x0，y0,2x3y6，xy(2x3y)22，当且仅当2x3y，即x，y1时，xy取到最大值.(3)1，xy(xy)1910，又x0，y0，1021016，当且仅当，即y3x时，等号成立由得即当x4，y12时，xy取得最小值16.(1)应用基本不等式需注意三个条件：即一正、二定、三相等在具体的题目中，“正数”条件往往易从题设中获得解决，“相等”条件也易验证确定，而要获得“定值”条件却常常被设计为一个难点，它需要一定的灵活性和变形技巧因此，“定值”条件决定着基本不等式应用的可行性，这是解题成败的关键(2)常用构造定值条件的技巧变换：加项变换；拆项变换；统一变元；平方后利用基本不等式(3)对于条件最值要注意“1”的代换技巧的运用活学活用1已知a0，b0，若不等式2ab9m恒成立，则m的最大值为()a8 b7c6 d5解析：选c由已知，可得61，2ab6(2ab)66(54)54，当且仅当时等号成立，9m54，即m6，故选c.2设ab0，则a2的最小值是()a1 b2c3 d4解析：选d因为ab0，所以ab0，所以a2a(ab)ab224，当且仅当a(ab)且ab，即a，b时等号成立.利用基本不等式解应用题典例某单位决定投资3 200元建一仓库(长方体状)，高度恒定，它的后墙利用旧墙不花钱，正面用铁栅，每米长造价40元，两侧墙砌砖，每米长造价45元，顶部每平方米造价20元，求：(1)仓库面积s的最大允许值是多少？(2)为使s达到最大，而实际投资又不超过预算，那么正面铁栅应设计为多长？解(1)设铁栅长为x米，一堵砖墙长为y米，而顶部面积为sxy，依题意得，40x245y20xy3 200，由基本不等式得3 200220xy12020xy，12020s.所以s61600，即(10)(16)0，故10，从而s100，所以s的最大允许值是100平方米，(2)取得最大值的条件是40x90y且xy100，求得x15，即铁栅的长是15米求实际问题中最值的解题4步骤(1)先读懂题意，设出变量，理清思路，列出函数关系式(2)把实际问题抽象成函数的最大值或最小值问题(3)在定义域内，求函数的最大值或最小值时，一般先考虑基本不等式，当基本不等式求最值的条件不具备时，再考虑函数的单调性(4)正确写出答案活学活用某公司购买一批机器投入生产，据市场分析，每台机器生产的产品可获得的总利润y(单位：万元)与机器运转时间x(单位：年)的关系为yx218x25(xn*)，求当每台机器运转多少年时，年平均利润最大，最大值是多少解：每台机器运转x年的年平均利润为18，而x0，故1828，当且仅当x5时等号成立，此时年平均利润最大，最大值为8万元故当每台机器运转5年时，年平均利润最大，最大值为8万元层级一学业水平达标1下列结论正确的是()a当x0且x1时，lg x2b当x0时，2c当x2时，x的最小值为2d当0x2时，x无最大值解析：选ba中，当0x1时，lg x2xc.1 dx2解析：选c对于a，当x0时，无意义，故a不恒成立；对于b，当x1时，x212x，故b不成立；对于d，当x0时，不成立对于c，x211，1成立故选c.3设a，b为正数，且ab4，则下列各式中正确的一个是()a.1 b.1c. b.2，故.5若x0，y0，且1，则xy有()a最大值64 b最小值c最小值 d最小值64解析：选d由题意xyxy2y8x28，8，即xy有最小值64，等号成立的条件是x4，y16.6若a0，b0，且，则a3b3的最小值为_解析：a0，b0，2，即ab2，当且仅当ab时取等号，a3b3224，当且仅当ab时取等号，则a3b3的最小值为4.答案：47已知正数x，y满足x22xy30，则2xy的最小值是_解析：由题意得，y，2xy2x3，当且仅当xy1时，等号成立答案：38若对任意x0，a恒成立，则a的取值范围是_解析：因为x0，所以x2.当且仅当x1时取等号，所以有，即的最大值为，故a.答案：9(1)已知x3，求f(x)x的最大值；(2)已知x，y是正实数，且xy4，求的最小值解：(1)x3，x30，b0，c0，所以2，2，2，所以6，当且仅当，即abc时，等号成立所以6.层级二应试能力达标1a，br，则a2b2与2|ab|的大小关系是()aa2b22|ab|ba2b22|ab|ca2b22|ab| da2b22|ab|解析：选aa2b22|ab|(|a|b|)20，a2b22|ab|(当且仅当|a|b|时，等号成立)2已知实数a，b，c满足条件abc且abc0，abc0，则的值()a一定是正数 b一定是负数c可能是0 d正负不确定解析：选b因为abc且abc0，abc0，所以a0，b0，c0，且a(bc)，所以，因为b0，c0，所以bc2，所以，又2，所以20，y0，x，a，b，y成等差数列，x，c，d，y成等比数列，则的最小值为()a0 b1c2 d4解析：选d由题意，知所以2224，当且仅当xy时，等号成立4若实数x，y满足xy0，则的最大值为()a2 b2c42 d42解析：选d，设t0，原式11.2t2，最大值为142.5若两个正实数x，y满足1，且不等式xm23m有解，则实数m的取值范围是_解析：因为不等式xm23m有解，所以min0，y0，且1，所以x2224，当且仅当，即x2，y8时，等号是成立的，所以min4，所以m23m4，即(m1)(m4)0，解得m4.答案：(，1)(4，)6若正数a，b满足ab1，则的最小值为_解析：由ab1，知，又ab2(当且仅当ab时等号成立)，9ab10，.答案：7某厂家拟在2016年举行某产品的促销活动，经调查，该产品的年销售量(即该产品的年产量)x(单位：万件)与年促销费用m(m0)(单位：万元)满足x3(k为常数)，如果不举行促销活动，该产品的年销售量是1万件已知2016年生产该产品的固定投入为8万元，每生产1万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分资金，不包括促销费用)(1)将2016年该产品的利润y(单位：万元)表示为年促销费用m的函数；(2)该厂家2016年的促销费用为多少万元时，厂家的利润最大？解：(1)由