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文档简介

阶跃函数冲激函数是两个典型的奇异函数 阶跃函数和冲激函数 函数本身有不连续点 跳变点 或其导数与积分有不连续点的一类函数统称为奇异信号或奇异函数 一 单位阶跃函数 下面采用求函数序列极限的方法定义阶跃函数 选定一个函数序列 n t 如图所示 1 定义 2 延迟单位阶跃信号 3 阶跃函数的性质 1 可以方便地表示某些信号 f t 2 t 3 t 1 t 2 2 用阶跃函数表示信号的作用区间 3 积分 二 单位冲激函数 单位冲激函数是个奇异函数 它是对强度极大 作用时间极短一种物理量的理想化模型 狄拉克 Dirac 定义函数序列定义 t 冲激函数与阶跃函数关系冲激函数的性质 1 狄拉克 Dirac 定义 函数值只在t 0时不为零 积分面积为1 t 0时 为无界函数 2 函数序列定义 t 对 n t 求导得到如图所示的矩形脉冲pn t 求导 高度无穷大 宽度无穷小 面积为1的对称窄脉冲 3 t 与 t 的关系 n 引入冲激函数之后 间断点的导数也存在 f t 2 t 1 2 t 1 f t 2 t 1 2 t 1 三 冲激函数的性质 取样性冲激偶尺度变换复合函数形式的冲激函数 1 取样性 筛选性 对于平移情况 如果f t 在t 0处连续 且处处有界 则有 证明 举例 冲激函数取样性质证明 分t 0和t 0两种情况讨论 当t 0时 t 0 f t t 0 注意 当t 0时 积分结果为0 当t 0时 t 0 f t t f 0 t 注意 当t 0时 取样性质举例 0 t 2 冲激偶 冲激偶的性质 f t t f 0 t f 0 t 证明 证明 n t 的定义 t 的平移 例 冲激偶积分证明 利用分部积分运算 3 对 t 的尺度变换 证明 推论 1 2t 0 5 t 2 当a 1时 所以 t t 为偶函数 t t 为奇函数 举例 冲激信号尺度变换的证明 从定义看 p t 面积为1 强度为1 p at 面积为 强度为 举例 已知f t 画出g t f t 和g
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