借助“几何画板”找点的轨迹妙解最值

借助“几何画板”找点的轨迹妙解最值教 学 设 计福建省泉州第五中学 林国章教学背景：最值问题既是初中数学教学中的重点，也是难点，同时还是中考考题中的热点。但是，一些同学遇到此类问题时的确无从下手，找不到适当的切入点，导致解题时思维受阻。因此，本节课将以最值问题中的“两点之间，线段最短。”的一道填空题为例，帮助学生从畏难的情绪中解脱出来，开拓思维，提高分析和解决实际问题的能力。教学目的：1、如何应用所学数学知识来解决“两点之间线段最短”的最值问题；2、最值问题是命题组智慧的浓缩，借“几何画板”的功能把他们的智慧延伸一下，让学生进一步欣赏好题的魅力，减少畏惧感。教学方法：视频教学、习题讲解教学过程：一、 温故而知新 复习：常见的最值问题有“两点之间线段最短”、“垂线段最短”、“三角形两边之和大于第三边”、“轴对称的性质”、“函数的图像”、“函数的性质”、“不等式的性质”、“二次方程判别法”等等知识。二、习题讲解【赏析】如图所示：O为原点，圆O的半径为1，点A（2,0），动点B在圆O上，连接AB，作等边三角形ABC,则OC的最值是 。 【分析】1、 判断类型： 两点之间线段最短。2、 找动点：两个 点C的位置随着点B的位置变化而变化，因此线段OC长度也是变量，所以要先确定好点C的位置范围。3、 大胆猜想： 一旦线段AB长度定下来， 线段BC长度可以看成是定值。点B在单位圆上运动，点B一动，C点就跟着动，这个运动过程可以想象成骑自行车时候，左右两个脚踏板转动的过程；也可以想象成行驶中火车头的前后两个轮子之间的杠杆，杠杆的一端表示B点，另一端表示C点的运动过程。大胆猜想：C点的运动路线是一个圆周，且与圆O是等圆的关系。4、 小心论证： 方法一：借助“几何画板”中“跟踪点”功能，很容易知道点C的运动的路线是一个圆，这时候我们可以复制一个圆O来覆盖由动点C产生的圆，发现它们是等圆。 方法二：把圆O与线段AB“捆绑”在一起，看成一个整体，绕着点A顺时针旋转60度，此时B点与C点重合，所以C点的运动路线就是圆O的等圆。5、 计算：如右图当线段OC经过新产生的圆的圆心时， 线段OC有最大值为3；当点C运动到圆O上的点C时， 线段OC有最小值为1。【思考】 1、在本题中，圆O和新产生的圆一定会外切。为什么？ 2、假若线段AB绕点A顺时针旋转的角度是90度或者120度，答案会改变吗？三、回味无穷【解答最值问题的步骤】1、判断类型；2、谁在运动：点？直线？三角形？3、大胆猜想它们的运动路线；4、小心论证路线的正确性；5、计算。四、作业设计：见后面的巩固练习五、教学总结：本节课通过最值问题实例的探究，引导了学生如何分析问题中的各种数量关系，如何运用所学知识解决相关的最值问题。从教学中我得到以下两点启示：教师不仅要让学生学会处理最值问题的方法，而且还要让学生理解这些方法背后所应用的数学知识，并能清楚地说明理由，使学生知其然亦知其所以然。这样我们的学生才能把纯数学理论应用到生活实际中。通过实例教学可知，要想快速高效地解决数学中的一些最值问题，就必须让学生充分认识掌握基本知识、基本技能、基本思想和基本活动经验的重要性。只有让学生掌握了“四基”，他们才能自主探究最值问题，最终灵活应用所学数学知识分析最值问题和解决最值问题。求最值巩固练习：1、如图，在O中，直径AB6，BC是弦，ABC30，点P在BC上，点Q在O上，且OPPQ.当点P在BC上移动时，求PQ长的最大值.2、 一次函数y=-x+4的图像与反比例函数 （k为常数，且k0）的图像交与A(1,3),B(3，1).（1）求反比例函数的表达式；（2） 在x轴上找一点P，使得PA+PB的值最小，求满足条件的点P的坐标。3、如图，在边长为2的菱形中，A=60，M是边AD的中点，N是AB边上一动点，将AMN沿MN所在的直线翻折得到，连接, 则长度的最小值是 .4、如图，边长为4的等边ABC中，M是高CH所在直线上的一个动点，连接MB，将线段BM绕点B逆时针旋转60得到BN，连接HN则在点M运动过程中，线段HN长度的最小值是 .5、如图，ABC，EFG均是边长为2的等边三角形，点D是边BC、EF的中点，直线AG、FC相交于点M当EFG绕点D旋转时，线段BM长的最小值是 6、已知，