数学建模大作业_人口问题讨论.doc

数学建模作业离散的Logistic方程(人口的周期性变化问题)0407139仝虎2005.4.22摘要人口问题是当今世界最引人注目问题之一.本文在人口增长的Malthus模型和Logistic连续模型的基础上,建立了离散的Logistic方程,分析并模拟了某地区的人口数周期性变化的规律.为了建立离散的Logistic方程分析并模拟某地区的人口数周期性变化的规律,文章首先简单的回顾了一下人口增长的Malthus模型和Logistic连续模型,然后建立起离散的Logistic方程,利用Matlab工具模拟了某地区的人口周期性变化规律,并进一步讨论了各项参数的变化对周期的影响. 一 理论前提关于人口问题的研究理论和模型很多,本节简单回顾一下常用的两个关于人口增长的模型: Malthus模型和Logistic模型.1. Malthus模型影响人口增长的因素很多:人口的底数,出生率,死亡率,男女比例,年龄结构,生产水平,天灾人祸等.为了简化问题,Malthus模型中仅考虑主要因素:增长率.人口的数量本应取离散值，但由于人口数量一般较大，为了方便理论研究,建立微分方程模型，可将人口数量看作连续变量，甚至允许它为可微变量，由此引起的误差十分微小.设t时刻人口总数为,人口增长率为,则内人口总数的增量两边同初以,并令,得Malthus在分析人口出生和死亡情况的资料后发现,人口净增长率a基本上是一个常数(r=b-d,b为出生率,d为死亡率),即: Malthus模型如下:解得: 假设某地区的人口增长服从Malthus模型，人口增长率r0=0.3, 设1970年该地区人口为3万，即：t0=1970,y0=3,则相应的人口增长曲线如下图所示：在某一时期内，人口数量的增长很符合Malthus模型。但是，考虑到自然资源和环境条件的限制，Malthus模型有待于修改。2. Logistic模型.荷兰生物学家Verhult提出，引入一个常数，表示在自然资源和环境条件下所能容纳的最大人口总数（环境容纳量），并且认为人口增长率随人口总数的增加而减少，即：当时，从而。按此假设，可以得到人口增长的Logistic模型：其中r0是常数，与环境无关。解得：显然，当时，。假设某地区的人口增长服从Logistic模型，人口增长率r0=0.3。1. 对于y0的情况。设1970年该地区人口为3万，即：t0=1970,y0=3；环境容纳量=30，则相应的人口增长曲线如下图所示：2. 对于y0）时，瘟疫停止，恢复正常。试建立这种情况下人口数量的模型，并讨论瘟疫影响下人口数量的周期性变化，以及周期与哪些因素有关。三问题分析1.显然，初始时刻该地区的人口数量, 必然小于环境容纳量.2.人口数量呈周期性变化，设周期为T.3.初始时刻到第一个峰值=应该分离出来单独考虑。4.当t时，考虑整个过程的周期性变化。经分析可知，每一个周期都包含两个阶段：(1)初始值=大于环境容纳量的阶段，人口数量按Logistic曲线减少，终止值=。(2)初始值=小于环境容纳量的阶段，人口数量按Logistic曲线增加，终止值=。两个阶段交替进行，形成整个过程的周期性变化，周期T=.四模型建立与曲线模拟根据上述分析，利用离散的Logistic方程，可以建立该地区的人口周期性变化的数学模型： (1)当时，(2)当时，(3)当时，注意：周期T=，初始值，实际限制量。为了便于在计算机中模拟数据实现，假设1970年该地区人口为3万，即：t0=1970,y0=3;人口净增长率=0.3,=0.08;环境容纳量=30万,=20万;实际数量限制=28万,=23万;则该地区的人口变化曲线如下图所示：程序参见附录：程序段1my_logistic1.m由模拟曲线可以看出，该地区的人口数量随着时间的推移呈明显的周期性变化，人口数量的取值范围：，为了进一步分析各项参数对人口变化周期T的影响，需要改变参数来观察曲线的变化情况。五问题的进一步探讨在Matlab中进一步编程，以实现各项参数的输入，便于分析各参数的变化对周期T的影响。取各参数的参照值：t0=1970,y0=3；人口净增长率=0.3，=0.08；环境容纳量=30万，=20万；实际数量限制=28万，=23万；下面以上述参数的取值为参照值逐一改变各参量观察周期的变化情况，具体程序参见附录：程序段2diagram1.m1.初始值初始值的变化对周期T无影响，只是提前或推迟疫情发生的时间而已。对比图例=3与=12：结果：T=15与T=152.实际限制数量(1)时，T(2)时，T对比图例=23,28与=21,28：结果：T=15与T=283.环境容纳量(1) 时，T(2) 时，T图略。4净增长率r(1)时,T;时,T(2)时,T;时,T对比图例=0.08与=0.04：结果：T=15与T=25也可以同时改变几个参数的取值来观察周期T的变化情况，这里不再赘述。当然，影响该地区人口变化的因素还有很多，可以在该模型的基础上继续修改完善。六参考文献：1数学模型建模分析 蔡常丰 科学出版社2系统建模与数学模型 贺建勋 福建科学技术出版社3数学实验 谢云荪 张志让 张光澄 童季贤 科学出版社4精通MATLAB(6.5版) 张志涌等 北