对顶角、余角和补角

2 1 第二章相交线与平行线 两条直线的位置关系 生活中不是缺少数学 而是缺少发现数学的眼睛 数学 就在我们身边 观察下列图形 你能发现哪些数学现象和数学问题 生活中处处可见在大自然的杰作和人类的创造物中 蕴含着无数的相交线和平行线 我们知道 问题1 观察你所画图形2 1 1 1和 2的位置有什么关系 小组合作交流 尝试用自己的语言描述 O 画直线AB CD相交于O 1 下列各图中 1与 2是对顶角的是 D 2 如图所示 直AB CD相交于O点 OE是射线 则 1的对顶角是 4的对顶角是 AOD 3 问题2 再观察你所画图形2 1 1 1和 2的大小有何关系 为什么 小组合作交流 尝试用自己的语言描述 O 已知 如图 直线AB与CD交于O 试说明 1 2 推理探究对顶角的大小关系 O 1 2 1 AOC 180 平角定义 2 AOC 180 平角定义 1 2 1 180 AOC 2 180 AOC 对顶角相等 3 如图所示 有一个破损的扇形零件 利用图中的量角器可以量出这个扇形零件的圆心角的度数吗 你能说出所量角的度数是多少吗 为什么 对顶角相等 4 如图 已知AB CD EF是相交于点O的直线 DOE 90 如果 AOC 70 那么 BOF等于多少度 为什么 AOC 70 已知 BOD 70 对顶角相等 DOE 90 已知 DOF 90 平角定义 BOF DOF DOB 90 70 20 4 如图 已知AB CD EF是相交于点O的直线 DOE 90 如果 AOC 70 还可以求出哪些角 AOC 70 BOD 70 DOE COF 90 DOF COE 90 BOF AOE 20 BOC AOD 110 AOF BOE 160 4 如图 已知AB CD EF是相交于点O的直线 DOE 90 如果 AOC 70 可以得到哪两个角的和是直角 那两个角的和是平角 AOC 70 BOD 70 DOE COF 90 DOF COE 90 BOF AOE 20 BOC AOD 110 AOF BOE 160 1 定义中的 互为 一词如何理解 3 互补 互余的两角是否一定有公共顶点或公共边 2 1 2 3 180 能说 1 2 3互补吗 三 余角和补角的定义 1 定义 如果两个角的和等于90 那么这两个角叫做互为余角 简称这两个角互余 如果两个角的和等于180 那么这两个角叫做互为补角 简称这两个角互补 2 问题 4 如图 已知AB CD EF是相交于点O的直线 DOE 90 如果 AOC 70 那么 你能找到互余的角 互补的角吗 AOC 70 BOD 70 DOE COF 90 DOF COE 90 BOF AOE 20 BOC AOD 110 AOF BOE 160 练习1 85 13 27 37 90 x 175 103 117 37 180 x 2 同一个锐角的补角比它的余角大多少 90 180 x o 思考 1 锐角是否都有余角和补角 钝角呢 90 x o 练习1 85 13 27 37 90 x 95 145 175 103 117 37 180 x 85 35 不存在 不存在 同一个锐角的补角比它的余角大多少 90 互余和互补是两个角的数量关系 与它们的位置无关 180o xo 90o xo 练习2 若一个角的补角等于它的余角的4倍 求这个角的度数 解 设这个角是x 则它的补角是 180 x 余角是 90 x 根据题意得 180 x 4 90 x 解得 x 60 答 这个角的度数是60 如果 1 3 90 2 3 90 那么 1 2 所以 1 2 如果 3 4 并且 1 3 90 2 4 90 那么 1 90 3 2 90 4 90 3所以 1 2 90 390 3 由此 你有什么收获 同角的余角相等 等角 如果把上面的90 改为180 你又会发现什么 观察与思考 1 若 1与 2互余 2与 3互余 则 根据 2 若 1与 2互补 2与 3互补 则 根据 1 3 同角的余角相等 1 3 同角的补角相等 互补的角 2 4 AOC BOC DOE 90 1 3 互余的角 相等的角 1与 2 1与 4 3与 2 3与 4 AOE与 4 AOE与 2 DOB与 1 DOB与 3 C 如图A O B在同一直线上 AOC DOE 90 找出图中 AOC BOC DOE两两互补 课堂总结 反思本节课学到了什么 你还有那些疑问 认真观察这幅图片 你能发现什么 我们的幸福美好生活是亿万劳动者撸起袖子加油干而努力奋斗出来的 感谢他们 如图1 2 3 已知 AOC与 BOD都是直角 BOC 60 1 求 AOB和 DOC的度数 2 AOB与 DOC有何大小关系 3 若不知道 BOC的具体度数 其他条