6函数的概念、定义域、值域求法-教师版.docx

教学内容概要高中数学备课组教师： 年级：高三学生：日期上课时间主课题：函数的概念、定义域、值域的求法教学目标：1、掌握函数的概念；2、掌握函数定义域、值域及最值的求法；3、掌握解析式的求解方法；教学重点：1、 函数三要素；2、 定义域、值域的求法以及函数解析式的求解方法；教学难点：1、抽象函数定义域的求法； 2、函数值域及最值的求法；3、函数解析式的求解；家庭作业1、完成拓展内容2、复习知识点教学内容【知识精讲】一、函数的概念1、函数的定义：设是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系，使对于集合中的任意一个数，在集合中都有唯一确定的数和它对应，那么就称为从集合到集合的一个函数。记作：。其中，叫做自变量，的取值范围叫做函数的定义域；与的值相对应的值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域。2、函数的三要素分别指函数的 定义域 、 值域 、 对应法则 ；当两个函数的 定义域 、 对应法则 分别相同时，那么这两个函数是同一函数。3、函数的表示方法一般有 解析法 、 列表法 、 图像法 当图像满足和 的图像最多只有一个交点时 才可作为函数图像。分段函数：在用解析法表示函数的时候，往往在其定义域的不同子集上，因对应法则不同而用几个式子来表示的函数即分段函数。分段函数是一个函数，而不是几个函数。在解决问题过程中，要处理好整体与局部的关系。4、函数的运算：对于两个函数，设把函数叫做函数与的和函数把函数叫做函数与的积函数6、复合函数：对于两个函数，若满足的的取值范围为，设，把函数叫做函数，的复合函数，是复合函数的自变量，定义域为，叫做内函数，叫做外函数。二、函数定义域的求法求定义域时注意：（1）分式的分母不为零；（2）偶次根式的被开方数非负；（3）对数的真数大于零；（4）零次幂的底数不为零。三、求函数值域的各种方法函数的值域是由其对应法则和定义域共同决定的，其类型依解析式的特点分可分三类：(1)求常见函数值域；(2)求由常见函数复合而成的函数的值域；(3)求由常见函数作某些“运算”而得函数的值域。以下为总结的常用函数值域的求解方法：（1）直接法：利用常见函数的值域来求一次函数y=ax+b(a0)的定义域为R，值域为R；反比例函数的定义域为x|x0，值域为y|y0；二次函数的定义域为R，当a0时，值域为；当a0时，值域为（2）配方法：转化为二次函数，利用二次函数的特征来求值；常转化为型如：的形式；（3）分式转化法（或改为“分离常数法”）（4）换元法：通过变量代换转化为能求值域的函数，化归思想；（5）三角有界法：转化为只含正弦、余弦的函数，运用三角函数有界性来求值域；（6）基本不等式法：转化成型如：，利用平均值不等式公式来求值域；（7）单调性法：函数为单调函数，可根据函数的单调性求值域 （8）数形结合：根据函数的几何图形，利用数型结合的方法来求值域（9）根的判别式法：（10）逆求法（反函数法）：通过反解，用来表示，再由的取值范围，通过解不等式，得出的取值范围；常用来解，型如：【经典例题】题型一 函数的基本概念例1、试判断以下各组函数是否表示同一函数？（1）f（x）=，g（x）=；（2）f（x）=，g（x）=（3）f（x）=，g（x）=（4）f（x）=，g（x）=；（5）f（x）=x22x1，g（t）=t22t1.剖析：对于两个函数y=f（x）和y=g（x），当且仅当它们的定义域、值域、对应法则都相同时，y=f（x）和y=g（x）才表示同一函数.若两个函数表示同一函数，则它们的图象完全相同，反之亦然.解：（1）由于f（x）=|x|，g（x）=x，故它们的值域及对应法则都不相同，所以它们不是同一函数.（2）由于函数f（x）=的定义域为（，0）（0，+），而g（x）=的定义域为R，所以它们不是同一函数.（3）由于当nN*时，2n1为奇数，f（x）=x，g（x）=（）2n1=x，它们的定义域、值域及对应法则都相同，所以它们是同一函数.（4）由于函数f（x）=的定义域为x|x0，而g（x）=的定义域为x|x1或x0，它们的定义域不同，所以它们不是同一函数.（5）函数的定义域、值域和对应法则都相同，所以它们是同一函数.评述：（1）第（5）小题易错判断成它们是不同的函数，原因是对函数的概念理解不透.要知道，在函数的定义域及对应法则f不变的条件下，自变量变换字母，以至变换成其他字母的表达式，这对于函数本身并无影响，比如f（x）=x2+1，f（t）=t2+1，f（u+1）=（u+1）2+1都可视为同一函数.（2）对于两个函数来讲，只要函数的三要素中有一要素不相同，则这两个函数就不可能是同一函数.例2、设函数，则不等式的解集是（ ）A. B. C. D.答案 A解析 由已知，函数先增后减再增当，令解得。当，故 ，解得【考点定位】本试题考查分段函数的单调性问题的运用。以及一元二次不等式的求解例3、（1）已知函数那么的值为 （2）函数对于任意实数满足条件，若则_ _ _；解：（1）（2）由得，所以，则。点评：通过对抽象函数的限制条件，变量换元得到函数解析式，考察学生的逻辑思维能力。例4、设定义在N上的函数f（x）满足 ，试求的值.解：20022000，f（2002）=ff（200218）=ff（1984）=f1984+13=f（1997）=1997+13=2010.题型二 函数定义域的求法例5、求下述函数的定义域：（1）；（2）解：（1），解得函数定义域为.（2） ，（先对a进行分类讨论，然后对k进行分类讨论），当a=0时，函数定义域为；当时，得，1）当时，函数定义域为，2）当时，函数定义域为，3）当时，函数定义域为；当时，得，1）当时，函数定义域为，2）当时，函数定义域为，3）当时，函数定义域为。点评：在这里只需要根据解析式有意义，列出不等式，但第（2）小题的解析式中含有参数，要对参数的取值进行讨论，考察学生分类讨论的能力例6、已知函数定义域为(0，2)，求下列函数的定义域：(1) ；(2)。解：（1）由0x2， 得 点评：本例不给出f(x)的解析式，即由f(x)的定义域求函数fg(x)的定义域关键在于理解复合函数的意义，用好换元法；求函数定义域的第三种类型是一些数学问题或实际问题中产生的函数关系，求其定义域，后面还会涉及到题型三 函数解析式的求法例7、（1）已知，求；（2）已知，求；（3）已知是一次函数，且满足，求；（4）已知满足，求。（5）恒成立，且，求。解：（1），（或）。（2）令（），则，。（3）设，则，。（4） ，把中的换成，得 ，得，（5）法一：令法二： 令， 答案：点评：第（1）题用配凑法；第（2）题用换元法；第（3）题已知一次函数，可用待定系数法；第（4）题用方程组法。题型四 函数值域的求法例8、求下列函数的值域：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）；（9）。解：（1）（配方法），的值域为改题：求函数，的值域。解：（利用函数的单调性）函数在上单调增，当时，原函数有最小值为；当时，原函数有最大值为函数，的值域为。（2）求复合函数的值域：设（），则原函数可化为。又，故，的值域为（3）（法一）反函数法：的反函数为，其定义域为，原函数的值域为（法二）分离变量法：，函数的值域为。（4）换元法（代数换元法）：设，则，原函数可化为，原函数值域为注：总结型值域，变形：或（5）三角换元法：，设，则，原函数的值域为（6）数形结合法：，函数值域为。（7）判别式法：恒成立，函数的定义域为。由得： 当即时，即，当即时，时方程恒有实根，且，原函数的值域为。（8），当且仅当时，即时等号成立。，原函数的值域为。（9）（法一）方程法：原函数可化为：，（其中）， ， 原函数的值域为。点评：上面讨论了用初等方法求函数值域的一些常见类型与方法，在现行的中学数学要求中，求值域要求不高，要求较高的是求函数的最大与最小值，在后面的复习中要作详尽的讨论。例9、已知函数(1)若(2)若上一定存在最大值还是最小值，并求之。解：(1)令奇函数(2)是奇函数例10、对于定义域为实数集R的函数(1)若_(2)在(1)的条件下，求函数的值域(3)若函数的值域恰为-1,4，求实数a的值解：(1)(2)函数的定义域为全体实数，由综上得，函数的值域为-4,1(3)由得函数的值域为恰为-1,4【拓展提高】例11、设函数，（1）求函数的定义域；（2）问是否存在最大值与最小值？如果存在，请把它写出来；如果不存在，请说明理由。解：（1）由，解得 当时，不等式解集为；当时，不等式解集为，的定义域为（2）原函数即，当，即时，函数既无最大值又无最小值；当，即时，函数有最大值，但无最小值例12、据调查，某地区100万从事传统农业的农民，人均收入3000元，为了增加农民的收入，当地政府积极引进资本，建立各种加工企业，对当地的农产品进行深加工，同时吸收当地部分农民进入加工企业工作，据估计，如果有x(x0)万人进企业工作，那么剩下从事传统农业的农民的人均收入有望提高2x%，而进入企业工作的农民的人均收入为3000a元（a0）。（1）在建立加工企业后，要使从事传统农业的农民的年总收入不低于加工企业建立前的农民的年总收入，试求x的取值范围；（2）在（I）的条件下，当地政府应该如何引导农民（即x多大时），能使这100万农民的人均年收入达到最大。解：（I）由题意得（100-x）3000（1+2x%）1003000，即x250x0，解得0x50， 又x0 0x50； （II）设这100万农民的人均年收入为y元，则y= =x25(a+1)2+3000+475(a+1)2 (0x50) （i）当025(a+1)50，即0a1，当x=25(a+1)时，y最大；（ii）当25(a+1)50，即a 1，函数y在（0,50单调递增，当x=50时，y取最大值。答：在0a1时，安排25(a +1)万人进入企业工作，在a1时安排50万人进入企业工作，才能使这100万人的人均年收入最大例13、北京奥运会纪念章某特许专营店销售纪念章，每枚进价为5元，同时每销售一枚这种纪念章还需向北京奥组委交特许经营管理费2元，预计这种纪念章以每枚20元的价格销售时该店一年可销售2000枚，经过市场调研发现每枚纪念章的销售价格在每枚20元的基础上每减少一元则增加销售400枚，而每增加一元则减少销售100枚，现设每枚纪念章的销售价格为x元（xN*）（）写出该特许专营店一年内销售这种纪念章所获得的利润y（元）与每枚纪念章的销售价格x的函数关系式（并写出这个函数的定义域）；（）当每枚纪念销售价格x为多少元时，该特许专营店一年内利润y（元）最大，并求出这个最大值（）依题意 此函数的定义域为 （） 当，则当时，（元）；当，因为xN*，所以当x23或24时，（元）； 综合上可得当时，该特许专营店获得的利润最大为32400元 【巩固练习】1、设，函数f（x）的定义域为M，值域为N，则f（x）的图象可以是 （ ）解析：A项定义域为2，0，D项值域不是0，2，C项对任一x都有两个y与之对应，都不符.故选B.答案：B2、设函数f（x）=则使得f（x）1的自变量x的取值范围为（ ）A.（，20，10B.（，20，1C.（，21，10D.2，01，10解析：f（x）是分段函数，故f（x）1应分段求解.当x1时，f（x）1（x+1）21x2或x0，x2或0x1.当x1时，f（x）1413x10，1x10.综上所述，x2或0x10.答案：A3、已知f（）=，则f（x）的解析式可取为 （ ）A. B.C.D.解析：令=t，则x=，f（t）=.f（x）=.答案：C4、已知函数f（x）=的定义域是R，则实数a的取值范围是（ ）AaB12a0C12a0Da解：由a=0或可得12a0，答案B。5、函数y=3-的值域是（ A）A.（-,2 B.1，2 C.1，3 D.2，+）解：6、函数的值域是（ C ）A.（-,1 B.0,4 C.（-，lg4 D.lg4,+）解：7、函数y=的值域是（ B ）A.（0,3 B.（0,1） C.,+) D.（-,2）（2,+）解： ，8、函数的值域是（ D ）A.2,+) B.-2,+)C.（-,2 D.（-,-2解：9、值域是（0，+）的函数是（ B ）A.y=x2-x+1 B.y=()1-x C.y=+1 D.y=|log2x2|解：C: D: 10、若函数的值域是，那么它的定义域是（ A ）A.（0，2） B.（2，4） C.（0，4） D.（0，1）解：11、函数