理论力学_6D.ppt

1 质点系动力学专题讨论 2 质点系相对动点 平移动系 的动量矩定理 质点系相对质心的动量矩定理 质点系相对动点的动量矩定理 3 质点系相对动系的动能定理 作用于第i个质点上的科氏惯性力 相对运动中的动能定理 质点系在相对运动中的动能的变化 等于作用于质点系上所有内力 外力及牵连惯性力所做的功 4 牵连惯性力有势的情况 1 常矢 动系匀加速平移 2 动系作匀速定轴转动 记 则 质点系的惯性力势能 称为离心势能 5 3 势力场中的质点系动力学 力场 一种空间 质点 系 所受力完全由其空间所处位置决定 势力场 一种力场 场力所做的功与质点经过的路径无关 这样的力场称为势力场或保守力场 势能 质点从某一位置A到基准点Ao 有势力所做的功 称为质点在该位置的势能 基准点的势能为零 设作用在质点上的有势力为 则有 6 质点系在势力场中的运动微分方程 记质点系的势能函数为 直角坐标系下质点系的运动方程 7 4 中心力场中质点的运动 由对力心o点的动量矩守恒 常矢 两边点乘 记 则有 即质点的运动轨迹落在过力心o的平面上 问题简化成平面问题 8 对于万有引力 运动微分方程 引力势能 令 处引力势能为零 9 在平面情况下 一般写成极坐标形式 动力学方程可以精确求解 称为可积 在适当的初始条件下 质点可以绕力心作圆周运动 特解 10 5 极坐标下的质点运动学方程 极坐标系统 质点的运动方程 质点的速度 同理 11 质点的运动方程 质点的速度 质点的加速度 极坐标下的质点运动学方程 12 6 引力场中的质点动力学 质点的运动微分方程 即 Kepler第二定律 行星与太阳的连线在相等的时间内扫过的面积相等 13 作变量代换 关于时间求导则有 14 e 0 圆 0 e 1 椭圆 e 1 抛物线 e 1 双曲线的一枝 解得 得轨迹方程 由初条件确定 15 两个具有球对称性的物体 视为质点 无外力作用 在空间自由运动 相互间有作用力 沿两者连线 行星绕日 或人造卫星绕地等 都可以近似用该模型 该问题最终可以化成单个自由质点在中心力作用下的运动问题 7 二体问题 16 考虑二体问题 如图所示 由Newton定律 两式相加 17 即质心做惯性 匀速直线 运动 即问题化为 一个 等效 质量为的质点在中心力作用下的运动问题 对于万有引力 二体问题已被解决 在适当的初始条件下 r可以绕质心C作圆周运动 特解 18 在适当的初始条件下 r可以绕质心C作圆周运动 特解 19 n n 2 个具有球对称性的物体 视为质点 无外力作用 在空间自由运动 相互间有作用力 沿两者连线 一般的n 体问题的自由度为3n 3n个位置坐标 相空间的维数为6n 位置 速度 具有6n个积分常数 二体问题已被解决 三个以上的n体问题无法解决 n体问题 二体问题已被解决 但三体问题无法精确求解 三体问题 20 限制性三体问题 其中一个物体的质量很小 以至于对其他两个物体的运动的影响可以忽略 两个大质量物体的运动可以通过二体问题被解决 限制性三体问题转化成 质点在两个大质量物体的引力作用下的动力学问题 研究较多的情况是 两个大质量物体绕它们的质心作同平面的圆周运动 此时如果小质量物体作空间运动 得到的是一个三自由度系统 如果再限制小质量物体作平面运动 则得到的是一个二自由度系统 8 限制性三体问题 21 两个大质量绕它们的质心作同平面圆周运动 平面问题 限制性圆轨三体问题 22 两个大质量绕它们的质心作同平面圆周运动 空间问题 限制性圆轨三体问题 23 限制性圆轨三体问题 CR3BP 运动微分方程 其中 有效 effective 势能 科氏加速度分量 离心势能 24 限制性圆轨三体问题 CR3BP 可以适当选择时间的单位 使得 可以适当选择质量的单位 使得 不难验证 在这样的单位选择下 有 记大质量物体J的质量为 则物体S的质量为 1 动能 势能 可以适当选择长度的单位 使得 25 两个大质量绕它们的质心作同平面圆周运动 空间问题 限制性圆轨三体问题 CR3BP 26 限制性圆轨三体问题 CR3BP 平面情况 运动微分方程 其中 有效势能 27 习题5 26 由相对运动中的动能定理 牵