J1404011-张强-化归思想视角下高中数学知识的分类研究-学科教学(数学)-刘影.docx

学校代码：10203 研究生学号：J1404011 分 类 号： G63 密级： 无 硕士学位论文化归思想视角下高中数学知识的分类研究The classification of the high school mathematics research in the reduction thought perspective作者姓名：张 强指导教师：刘影学科专业：学科教学（数学）学位类型：教育硕士2016年6月独创性声明本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师指导下，独立进行研究工作所取得的研究成果。除文中已经标明引用的内容外，本论文不包含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的研究成果。对本文的研究做出贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明并表示谢意。本声明的法律结果由本人承担。学位论文作者签名： 日期：学位论文版权使用授权书本学位论文作者完全了解吉林师范大学有关保留、使用学位论文的规定，即：吉林师范大学有权保留并向国家有关部门或机构送交学位论文的复印件和磁盘，允许论文被查阅和借阅。本人授权吉林师范大学可以将学位论文的全部或部分内容编入吉林师范大学硕士学位论文全文数据库检索，可以采用影印、缩印或其它复制手段保存、汇编学位论文；授权吉林师范大学根据需要将学位论文提交到中国学术期刊（光盘版）电子杂志社（CNKI）在中国优秀硕士学位论文全文数据库中以电子、网络及其他数字媒体形式公开出版或发表。（保密的学位论文在解密后适用本授权书）学位论文作者签名： 指导教师签名：日 期： 日期： 吉林师范大学硕士学位论文摘 要数学思想方法是数学的灵魂，是对数学本质的认识.数学思想方法对人类理性思维影响的力量是其他学科所不能比拟的.数学思想方法在中学数学中有着重要的价值. 化归思想方法是指在解决数学问题时，把一个问题转化为另一个问题，进而使问题由复杂变换到简单，将陌生问题转化为熟悉问题从而使问题得到解决的一种方法.化归思想方法是中学数学中最基本，最重要的思想方法.其他数学思想中大多渗透有化归思想.如数形结合思想体现了数与形的相互转化，函数与方程思想体现了函数、方程、不等式之间的相互转化等.但实际教学过程中，化归思想的渗透及应用还很匮乏.它的价值没有充分体现.如何让学生真正理解掌握这一方法是摆在教师面前的艰巨任务. 结合高中教学实际经验，用文献综述法和案例分析法对化归思想方法的含义、原则，以及化归的策略进行阐述.以人民教育出版社A版数学教材为例，探究化归思想在高中数学中的应用.结合实例，充分挖掘教材中的素材，探究如何在课堂教学中渗透化归思想.并利用化归视角将高中数学知识重新分类. 希望能借此重新整合高中数学知识，高效利用教材资源.让学生能系统、准确地掌握化归这一思想方法.并帮助学生提高解题效率，拓宽解题思路，完善数学认知结构和提高迁移能力. 希望对如何利用教材资源进行数学思想方法的教学渗透能有一些参考价值及指导意义.关键词:中学数学；化归思想；分类研究.AbstractThe thought of mathematic is considered as the soul of mathematic science, leading to the most essential acknowledgement. As the greatest influence of mathematic thought on humans abstract thought, that no other scientific subject can be compared, its playing a important role on the middle school mathematical teaching. The mathematicreduction in solving mathematical problems is defined as this, when solving a difficult problem, transfer it to a simple one, until finding a simple way to solve it. It is so important that we can almost find its influence on any other mathematical thought, as the conversion between number and shapes, and the conversion among function, equation and inequality. At the same time, the application of reduction thought is much little in practical teaching, and its value is not full reflected, resulting that its becoming a difficult task for teachers have to face, about how to bring reduction thought to the daily teaching.This paper concentrates on the implication, principles and detailed analysis of reduction thought, based on the work of previous research of other person and the teaching career of myself. With reference to mathematical textbook of Peoples Education Press, Version A, this paper explore the application of reduction idea to the mathematical teaching. The main work includes, exploring the possibility of bring the reduction idea to practical teaching, and giving a new classification of middle schools mathematical knowledge, by using illustration combined with the material in the textbook, in hope that, new integration of middle schools mathematical knowledge can be realized, and the students can be helped to fully grasp reduction ideas, enhance the efficiency and enrich the methods when solving problems, meanwhile, bringing positive effects on acknowledgement of mathematic and the ability of reduction thought to the students. In the end, this paper can give a little guide to the research on how to make use of the textbook implementing the benefits of reduction thoughts to practical teaching. Key words: middle school mathematics, reduction thought, Classification.目 录摘 要IAbstractII目 录III第一章绪论11.1研究的背景11.2研究的意义41.3研究综述7第二章化归思想概述82.1化归思想含义82.2化归的原则82.2.1化归目标简单化原则92.2.2具体化原则92.2.3和谐统一原则102.2.4形式标准化原则102.2.5低层次化原则11第三章化归的基本途径123.1语义转换123.2一般化与特殊化133.3分解与组合143.4数形结合143.5关系映射反演原则15第四章化归思想的教学研究174.1数与形的转化方法及案例研究174.1.1必修1函数的性质174.1.2选修2-1圆锥曲线与方程184.1.3选修2-2导数194.2特殊化与一般化方法及案例研究204.2.1必修1指数函数对数函数和幂函数204.2.2必修2直线、平面垂直的判定及其性质204.2.3必修4正弦曲线214.3语义转换方法及案例研究214.3.1必修1集合表示法214.3.2 必修1方程的根与函数的零点224.3.3必修4任意角的三角函数234.3.4必修5线性规划234.3.5选修2-3排列与组合问题244.4分解与组合方法及案例研究254.4.1必修1复合函数问题254.4.2必修2空间几何体的结构和三视图254.4.3必修2直线与平面垂直的判定及其性质254.4.4必修3算法与程序框图264.4.5必修5数列284.4.6必修4三角函数284.5映射法及案例研究294.5.1必修4向量294.5.2必修1函数模型的应用举例304.5.3必修2直线与方程；圆与方程314.5.4选修4-4参数方程32第五章结论与建议345.1结论345.2建议35参考文献36IV第一章 绪论随着教育改革的不断深入，数学思想方法的重要性逐渐突显出来.新课标中明确指出：“获得必要的数学基础知识和基本技能，理解基本的数学概念、数学结论的本质，了解概念、结论等产生的背景、应用，体会其中所蕴含的数学思想方法1”将体会蕴含的数学思想和方法作为数学课程目标之一.化归思想方法是人们思考和解决问题的基本方法，人们常常将复杂的问题转化为一个简单的问题，将陌生的问题转化为一个熟悉的问题.这样通过问题的转换，使之成为另一个问题加以认识.在高中数学中化归思想方法是研究问题的一个重要的思想方法和解决问题策略，高中数学知识很多都渗透有化归思想方法.例如：解方程中将分式方程转化为整式方程；立体几何中将空间问题转化为平面问题；解析几何中利用坐标系将几何问题化归为代数问题等等.是高中数学中十分重要的思想方法.1.1研究的背景（1）我国数学教育存在的问题我国中学生的数学成绩已经为世界所公认.国际奥林匹克竞赛中国队成绩一直领先.但是我们肯定成绩的同时，也要注意“高分”下隐藏的“低能”现象.我国学生常规计算能力虽强，但是应用能力薄弱.在多年的教学过程中也体会到数学教育存在以下几方面问题.首先数学教育重视教学结果，轻视教学过程.重视解题训练，轻视学生能力及素质的培养.高考指挥棒指引很多教师在平时教学中只注重书本知识的掌握，看学生是否记住了数学公式、概念、定理，是否会用某种方法解题，并把这作为考试、考察的基本指标.这样难免大量重复训练.忽视了学生的思维发展.其结果就是学生对数学知识的理解不够深入，仅从做题的角度研究数学，使数学学习模型化，程序化.例如对数概念的教学.对数运算是指数运算的逆运算，对数的运算性质都能由指数运算证明.他们的联系非常密切.所以对数问题化为指数问题是一种常见的方法.但有的同学想不到这一点，单纯利用对数运算公式做题.原因是在概念讲解时忽视了知识的发生发展过程.只强调了形式变化及应用却淡化了概念的本质及知识的联系，使对数知识很突兀，没有和指数联系起来.学生理解上会很困难，也会影响后面对数运算性质的教学.其次数学教育重视模仿，轻视探索.学习缺少主动性，缺乏判断力和独立思考能力.例如有这样一道题：一动圆M与圆M1：（x+1)2+y2=1外切，与圆M2：（x-1)2+y2=9内切，则动圆圆心M点的轨迹方程是什么？这是一道探索性的题目，把握外切与内切的半径关系即可得出正确答案，设动圆M半径为r，则M1M+M2M=1+r+3-r=42，即M的轨迹是以M1，M2为焦点的椭圆.但有很多学生无从下手.在学生中有这样的回答：“其轨迹是椭圆，原因是这章学的是椭圆”.这个例子表明，我们很少注意培养学生的自信心和独立思考解决问题的能力，致使学生缺乏学习主动性.再例如，数学试卷选择题有12道，为单选题目.只有少数学生能利用技巧算的又快又准.而其技巧也就是排除法，验证法，特值法，图像法等.方法很简单，但很多同学无法掌握这种解题技巧.或者说这些同学思维不够活跃.这也可以折射出数学教育存在的问题.我们的教育是否应该让所有孩子都变得“聪明”一些？最后，课堂教学效率不高，学生学习负担过重.教学围绕考试转，不断重复训练各种题型和模拟考试.很多教师希望能以量求质.每节课都安排的满满的，甚者自习课也深入教室辅导.很多学生都学习到深夜.但结果适得其反.课堂上老师讲的很多很全面，但学生理解不了，只是被动地接受.知识的讲解过多，知识间的关系，解题思路分析，知识网络的建立，数学思想方法的讲解都很匮乏.新课标强调学生“学”的过程，这就要求教师提高课堂教学效率，让学生轻松高效的学习.另外学生在学校里学习的那些数学知识，有多少能用到将来的工作生活中去呢？如果用不到那我们的工作岂不是没有意义了？实际上毕业后从事数学研究的学生毕竟是少数.对于绝大部分学生来说，那些靠强记获得的公式，法则，例如因式分解等特殊技巧，繁杂的代数式化简，出了校门很快就会忘记，只有解决问题的思路，即解决问题所用的思想方法才是真正有用的.数学是学校里课时最多，学习时间最长的一门学科，而且学生在课外作业上耗费的精力也是最多.如何切实提高数学教学效率，让学生学到有意义的数学是教育改革中一个迫切需要研究、解决的问题.当今社会科学技术高速发展.数学已经突破传统的应用向人类所有知识领域渗透.对于我们每一个人，无论从事什么职业，都要学习数学，运用数学.数学的教育目的是为每一个人适应现代生活和未来发展提供更高水平的数学基础，使他们获得更高的数学素养.例如实际生活中的存款利率，保险金额，通货膨胀，计算机技术等.都把数学作为科学语言和工具.更重要的是数学教给人们理性的思维方式，促使人们有条理地思考，用数学思想方法提高分析问题和解决问题的能力.数学的精神和态度，能使人思维敏捷，表达清楚，工作有条理，使人善于处世和做事，使人实事求是，锲而不舍.对人的成长有着潜移默化和深刻的影响.日本数学教育家米山国藏说：“不管人们从事什么业务工作，唯有铭刻与头脑中的数学精神、数学的思想方法、研究方法、推理方法，会随时发生作用，使他们受益终身2.（2）数学思想方法的教学薄弱“数学思想方法是数学的灵魂，是联系知识与能力的纽带.它对发展学生的数学能力，提高学生思维品质都具有十分重要的作用”3.加强数学思想方法的教学是进一步提高数学教学质量的需要，是使学生更好理解数学知识，获得解决问题的需要.但是长期以来，对数学教学总是围绕“显性知识”的掌握而展开的.许多教师忽视了数学思想方法的教学.导致数学课变成了单纯的“解题教学”.上课讲题，课后做题，考试考题.而题目的讲解也忽视思维过程，使数学变成了单纯的重复和再现.直接影响了学生数学能力和数学智能的发展.例如，有的教师淡化概念课的讲解，一带而过.也有的直接以学案的形式让学生自己学习.将概念记住就可以了.上课直接讲解应用和例题.这种教学忽视了知识的发生发展过程.忽视了知识间的联系，缺少学生自我探究过程.人为地将知识“分块”，而不是有机的整体，不利于知识网络的建立.也会束缚学生思维空间，无法进行知识的迁移.也会影响后续知识的理解.以椭圆的定义及其标准方程部分教学设计为例教学过程设计意图1.展示生活中的椭圆，让学生自己画椭圆并投影展示（利用图钉和绳子画椭圆） 问题（1）画的椭圆各不相同，原因是什么？引导学生：绳长和两点间距离各不相同.问题（2）在笔尖运动的过程中有什么是不变的呢？2.师生共同归纳椭圆定义.3.改变绳长，若绳长等于两定点距离是画出的是什么？4.我们来看看椭圆有什么光学性质，电影放映机灯泡的反射镜面是旋转椭圆面的一部分，灯泡与片门分别位于两个焦点上.（教师介绍一下其光学性质） 问题（1）如果要设计一个放映机，怎么安排灯泡与片门及反射面的位置，尺寸？4.求椭圆的标准方程确定两个关键的定量2a和2c.也为离心率的讲解埋下伏笔.培养学生抽象概括能力学生自己探究印象深刻，体会2a2c原因引导学生用坐标系来求解，用坐标表示长度.渗透数形结合思想及化归思想，同时培养学生应用意识.这种教学设计比直接讲解的方式更符合学生思维发展规律，将数学思想方法融入到教学过程当中，潜移默化地影响学生.通过问题链的形式让学生深入思考，体会解决问题过程中所蕴含的思想方法.使课堂教学更贴近学生生活，学生易于理解和接受.1.2研究的意义（1）有助于新知识的学习及知识网络的建立数学思想方法是数学知识的骨架，是数学知识结构的活力与灵魂.教材中的每一节都体现了数学思想方法与数学知识的有机结合.数学知识与思想方法是数学教学的两条主线.数学知识是明线，反映知识间的纵向联系；数学思想方法是暗线，反映知识间的横向联系，常常隐藏在知识的背后.可以说“没有脱离数学知识的思想方法，也没有不包含数学思想方法的数学知识”4.数学中许多知识的形成过程，都渗透着化归思想方法.“数学公理化的方法：用已有的概念去定义新概念，用已有的（真）命题去证明新命题.或者说，把各种新的、未知的问题转化为已有的概念和命题来求解”5.如立体几何中的线面平行判定，就是利用线线平行证明的.面面平行的证明又要转化为线面平行的证明，最终还是线线平行的证明.这充分体现了空间问题转化为平面问题的数学思想.学生易于理解.又如数列求和中的错位相减法.是在学生已经掌握等差数列和等比数列知识的基础上，通过将数列各项同乘以一个数，将问题转化为等比数列求和的方法.这样学生对知识的理解更加深入，同时对知识间的联系体会地更加系统.利用化归思想方法将纷乱的知识重新组织，可以让知识主次分明，易懂易记.例如必修二第二章点、直线、平面之间的位置关系知识网络图：平面（公理1、公理2、公理3、公理4）空间直线、平面的位置关系直线与平面的位置关系平面与平面的位置关系直线与直线的位置关系直线与直线平行直线与平面平行平面与平面平行直线与直线垂直直线与平面垂直平面与平面垂直图1 空间平行关系之间的转化空间垂直关系之间的转化（2）有助于学生解题解题教学是数学学习的重要内容.但多年教学过程中发现许多学生的解题能力并不强.在交流中发现学生有这样的问题：“没有解题思路”；“看着熟悉但无从下手”；“只能解出一部分，后面就不会了”；“会解但算法不是最优的，比较麻烦需要大量计算”.所以能够快速准确的解题是师生共同追求的目标.乔治波利亚在怎样解题中指出.其在探索解题思路的过程中建议：第一，努力在已知与未知之间找出直接的联系.第二，如果找不出直接的联系就对原来的问题做出某种必要的变更或修改6.也就是将问题转化.通过一串建议性或启发性的问题启发你去联想.例如“你能想出一个更容易着手的有关问题吗？一个类似的问题？一个更特殊的问题？”可以看到“转化”是寻找解题思路的主要手段.例1.1 已知logax=2 ，logbx=3 ，logcx=6 ，求logabcx的值.分析：观察已知条件和所求，对数的底各不相同.对数化同底是常见的方法.思考？有什么知识能实现同底？（换底公式）已知条件转化为：logax=lgxlga=2 logbx=lgxlgb=3 logcx=lgxlgc=6所求转化为：logabcx=lgxlgabc=lgxlga+lgb+lgc通过换底公式，将所有式子换为常用对数，将形式统一，下面就是观察几个表达式之间的关系了.可用代换法lga=lgx2，lgb=lgx3，lgc=lgx6代入所求得lgxlgx2+lgx3+lgx6=112+13+16=1（3）有助于学生思维发展化归思想是人类认识事物的基本思想.我们认识事物都是从简单的、熟悉的事物入手.在遇到新问题时，总是希望能够借助已有的知识经验来解决.能否将新问题转化为已知的、简单的问题.这符合认知发展规律，是学生容易接受和掌握的思想方法.任樟辉在其著作数学思维理论中称化归的目的是：化难为易，化繁为简，化隐为显，化生为熟7.这种转化需要学生有扎实的基础和灵活的思想.要对已有知识有深入的理解，掌握其内涵.也要明确知识间的内部联系.更重要的是如何实现这种转化.它需要学生有丰富的联想、归纳、总结及创新能力.这种能力不是单纯的掌握几种特殊的解题技巧，某种特定问题的特殊解法.如判别式法求函数值域；点差法求中点弦斜率等.它是处理和解决问题的一般方法.它不仅有助于高中数学的学习，对学生将来的学习和工作都有很大的帮助.例如：某宾馆有三条线路需要知道电阻，但这三条电线的一端在一楼的控制室，另一端在楼顶.如何解决呢？有人这样解决：设三条电线的电阻分别为x，y，z，只要将三条电线在楼顶的一端两两接上，形成闭合电路，在控制室分别用电表测量出它们的电阻，不妨设为a,b,c.于是可得方程组 x+y=ay+z=bz+x=c解此方程组可得：x=a+c-b2 y=b+a-c2 z=c+b-a2从而解决问题.实际上就是将该问题转化为三元方程组的问题.可见化归思想方法在提高人的素质中有着重要的作用.1.3研究综述我国众多数学教育工作者对化归思想进行了研究. 对化归思想的教学研究不断深入.极大地促进了教学质量的提高.马会杰在高中数学教材和教学中数学思想方法的渗透中通过大量例子分析教材中所渗透的数学思想方法8.杨社锋在化归思想在高中数学解题中的应用中对化归思想在高中数学解题中的应用进行了探讨9.马艳在中学数学教学中化归思想方法的应用研究从教师对化归思想的了解掌握情况；中学教师教学理念；化归数学方法在教学中的应用情况等方面对化归思想进行阐述10.杨文华在化归思想方法在高中数学教学中的渗透中在案例分析的基础上提出化归思想方法在教学中应注意的问题，克服化归的负面影响11.刘运在化归思想对高中数学教学的指导研究中通过对高中阶段学生学习数学思维特征及教师教学流程分析，从教学设计角度对化归思想指导下的教学模式进行了相应的理论建构12.第二章 化归思想概述2.1化归思想含义化归思想方法简称为“化归”.即转化和归结，“具体地说，就是把繁难、生疏的问题，通过一定的数学过程转化到简易、熟悉的问题上来，从而使原问题得以解决的措施、方法和手段”13人们在解决数学问题时，常常将待解决的问题A,通过某种转化手段，归结为另一个问题B，而问题B是相对较容易解决或已有固定解决程式的问题，且通过对问题B的解决可得到原问题A的解答14.其框图直观表示如图所示 待解决的问题A容易解决的问题B问题A的解答问题B的解答图2 转化 （化归途径） 化归 对象 化归 目标 还原如学生已经掌握了一元二次方程的求根公式和韦达定理，因此，一元二次方程就是一个数学模式，而将双二次方程ax4+bx2+c=0(a0)通过换元化归为一元二次方程就是将该问题模式化，规范化.化归方法包括三个要素：化归对象、化归目标和化归途径.化归对象，即将什么化归；化归目标就是转化为什么；化归途径，即如何进行化归15.上面例子中，双二次方程是化归的对象，一元二次方程是化归的目标，换元法是化归途径.2.2化归的原则为有效实施化归，应遵循一定的原则,如简单化原则，具体化原则，和谐统一原则，形式标准化原则和低层次化原则16.2.2.1化归目标简单化原则从认识规律角度来说，简单的问题更容易解决，解决问题应该是朝着目标简单的方向进行.例2.1 （2015年高考重庆卷9）已知tan=2tan5求值 cos（-310）sin（-5）解析：观察所求表达式角不一样，要实现化简最好是形式统一，试着找寻其中的联系.观察到310=2-5又由诱导公式，cos-310=sin(+5)所以原式为sin（+5)sin (-5)=sincos5+cossin5sincos5-cossin5 将已知条件再化简 sincos=2sin5cos5即sincos5=2cossin5代入所求式得到结果3.三角恒等变换通常考虑变角、变名、变次.通过转换令形式简单统一，容易找到量之间的关系.2.2.2具体化原则具体的问题比抽象的问题要容易理解.所以化归的方向应该是由抽象到具体.这样数量关系更容易把握.将抽象的问题用具体的形或式表示.例2.2 求二项式系数和.即Cn0+Cn1+Cn2+Cnn的值我们可以借助（1+x）n=Cn0x0+Cn1x1+Cn2x2+Cnnxn令x=1即得（1+1）n=Cn0+Cn1+Cn2+Cnn利用具体的（1+x）n展开式将问题转化，具体直观.2.2.3和谐统一原则数学问题中，经常有形式关系或量的关系比较杂乱的情况，这就需要将问题中所给的量及形式做和谐统一的化归.例2.3 在ABC中,b=asinC,c=acosB,则ABC的形状是？解析:c=acosB，c=aa2+c2-b22aca2=b2+c2ABC为直角三角形.b=asinC=aca=cABC是等腰直角三角形.题目中的量比较多，形式多样.既有边又有角，无法实现化简.我们尝试进行边角互化，将形式统一，实现化简.2.2.4形式标准化原则数学是关于模式的科学.每一个公式、法则，每一个定理、结论都可以看成是一个模型.在实际问题中，会遇到不是标准形式的情况，那就需要化归为相应的标准模式.例如解析几何中二次曲线的性质都是基于标准方程讨论的，因此只有化归为标准方程，才能解决.所以化标准方程是教学的一项重要内容.又如解三角形：例2.4 在ABC中，已知三边的关系为a4+b4+c4=2c2(a2+b2)求证C=4或34分析，根据已知条件，所给条件与边的平方有关，而所求得是角的大小.因此，可考虑用余弦定理解决，但不是余弦定理的标准形式，所以需要将其变形.将等式左边配方变形得(a2+b2)2-2a2b2+c4=2c2a2+b2再配方、开方得 a2+b2-c2=2ab 即a2+b2-c22ab=22 化为余弦定理标准形式，所以C=4或342.2.5低层次化原则指的是将高维空间问题转化为低维空间问题，将高次问题转化为低次问题.这样更直观，具体.例2.5 化简2sin6+cos6-3sin4+cos4+1分析：由于题目中sin，cos幂次数较高，故我们首先考虑将其降次，由于sin2+cos2=1，这样利用配方和因式分解，我们的目的也就容易达到了.2sin6+cos6-3sin4+cos4+1 =2sin2+cos2sin4+cos4-sin2cos2-3sin4+cos4+1=-sin4+cos4+2sin2cos2+1=-（sin2+cos2）2+1=-1+1=0第三章 化归的基本途径3.1语义转换数学学科的一个显著特点是符号化和形式化.数学中很多概念、关系.一般都有一种确定的数学符号表示.学习数学也就是学习一种特定含义的形式化语言.例如余弦定理可用符号表示为cosA=b2+c2-a22bc但是数学符号表示与数学的语义解释不是“一一对应”的.一个数学符号可能有多种不同的语义解释.例如：a2+b2.在直角坐标平面内表示点(a,b)到原点(0,0)的距离；在复数域中，它表示复数a+bi的模；若a0,b0，a2+b2表示以a，b为直角边的直角三角形的斜边，等等.那么通过语义转换就能实现化归，将一个问题转换另外一种解释.在高中数学中，语义转换是常见的解题方法.例如在立体几何中，图形语言、文字语言、符号语言的相互转换.发挥这三种语言功能及他们的相互转换，十分有助于学生对抽象问题的理解和掌握.但教材中过多使用文字语言，对图形语言和符号语言作用发挥不够充分.对三种语言的有机联系强调不足.应将文字与图形、符号联系起来.不能脱离图形这一直观背景来理解记忆定理的文字叙述.若无法有机结合会加大定理抽象性.不能真正理解定理实质.又如函数表示法.函数有不同的表示方法.列表法、解析法和图像法.三种表示方法各有优缺点.选择恰当的表示方法对函数的理解有至关重要的作用.但教材中对解析法的应用较多，忽视了图像法的应用.利用图像研究函数是非常直观、高效的方法.所以在教学中应加强语义转换能力的培养.首先要注意基础知识和基本方法的教学.使知识融会贯通.让学生在一定的知识体系中掌握概念和理论.对同一表示式的语义要随着学习的不断丰富与不断深入，要指导学生在不同问题情境中合理地转换语义.选择恰当的语义解释.另外在解题教学中，教师应引导学生尝试从不同的视角，不同的观点观察问题.试着问自己：“能不能换个角度观察这个问题？”；“这个问题能否换个表达方式？”帮助学生应用这一转化方法.3.2一般化与特殊化当所要解决的问题一般性不十分明显时，可以从特殊的数、形和位置关系入手.由特殊性质推出一般性质，从而找到解题思路和方法.这种将抽象的数学符号和表示形式简单化、具体化的方法，即“从一般到特殊”.与特殊化相反.若对一般形式问题更加熟悉，可将特殊形式的问题转化为一般形式的问题.这种方法是通过寻找特殊问题的一般原理，将所求问题中的数量关系和图形、位置关系普遍化，抽象化.借助于已有的公式和结果，将它们用于具体的情况，即“从特殊到一般”例3.1 已知抛物线y2=4（x-1），试在这个抛物线上找一点P，使P点到焦点与到点(4,1)的距离之和最小Py（4,1）0 1 2 3 4 x图3解析：构成命题结构的因素较多，我们挖掘一下特殊因素.可以发现“P点到焦点的距离”比“距离之和最小”更接近本质.因为焦点是抛物线中的一个非常特殊的点.所以我们应抓住“P点到焦点的距离”去探索解决问题的途径.如图3所示，只须过点(4,1)作准线x=0的垂线，该垂线交抛物线于一点.根据平面几何知识，该交点即为我们所求之点P，其坐标为(54,1)这种解法很直接，几乎不用动笔就能得到结论.而这正是挖掘特殊因素带来的效果. 一般化的另外一种理解是标准型化.即把标准形式的东西看作一般，凡是化归为标准形式处理问题的策略都可看作为一般化策略.这种思想在高中数学中处处可见.在每章中都有“核心知识”，基本模型与基本方法.他们就是“标准型”的东西.我们在分析问题时，可根据问题特征，联系已有知识，发现一个一般模型.再研究这个原型.把研究结果落实到所求问题中.二次函数是高中数学重要的数学原型.许多问题都可转化为二次函数问题解决.例3.2 当k为何值时，关于x的方程7x2-k+13x+k2-k-2=0的两根分别在区间(0,1)与(1,2)内.解析：若设0x11,1x22，然后根据韦达定理来求k值，显然不充分.我们考虑将其转化为函数问题.设fx=7x2-k+13x+k2-k-2,如图4所示，该函数图像只有在区间(0,1)和区间(1,2)各穿过一次才能满足题意要求.也就是说，f(x)必须在(0,1)内变号，并且又在(1,2)内变号.其充要条件是：f(0)0f(1)0f(2)0据此可得本题答案是 -2k-1或3k4y0 1 2 x图43.3分解与组合在我们认识事物的过程中，不能只停留在表面.应该深入事物内部.只有这样才能了解问题的本质，发现各种因素的关系，找出问题的解决办法.那么我们可以通过分解和组合的策略，把一个问题分解为几个熟悉的“小”问题.再将这些“小”问题的解决组合起来，就实现了原问题的解决.平面几何中的“割补法”就是这种分解模式的应用.历史上圆周率的发明也是利用了“分解”的模式，将圆分解为多个全等三角形的和，用面积和估算圆的面积.等等. “分解”对研究问题是十分重要的，但它不能独立将问题解决，还需要“组合”.分解与组合是相辅相成的，这种有机结合将问题的本质展现出来，将问题的关系结构重新搭配，更有利于问题的解决.3.4数形结合数学是研究数量关系和空间形式的科学.简单地说，是研究数与形的科学.因为数学的高度抽象性，所以数学难懂，难教，难学.而图形具有简洁性，直观性的特点.这对于人们学习抽象的数学起到了十分重要的作用.所以，数形结合是数学思考和研究问题的基本方法.前苏联数学家格涅坚科曾说过“数学教学是思维和语言的教学，数形结合方法是抽象思维与形象思维相结合、相补充的充分体现.”它能将抽象的问题变得直观、形象.便于思考和研究.也能将直观问题数量化，精确化.促进问题解决.例3.3 若02，求证：sintan解析：这问题可以从证明不等式的一般方法入手解决.但需要较多的公式和变形，计算量较大.根据这个三角问题的特征，可以尝试利用三角函数定义，找单位圆O与直角三角形OAT，如图5所示，取圆心角AOB=2，作射线OT交于P，交O过点A的切线于T，使POA= ，且过P作PHOA，垂足为H.那么sin=PH，=，tan=AT，显然有PHAP，所以sin.又因S扇形OAPSOAT所以12112OAAT，故有AT，即tan 0 H A xyB T P图53.5关系映射反演原则关系（Relationship）映射（Mapping）反演(Inversion)简称为RMI原则.即“给定一个含有目标原像x的关系结构系统S，如果能找到一个可定映映射，即能找到一个能通过确定的数学方法，从映象的关系结构系统S*中将目标映象确定出来的映射，将S映入或映满S*，于是，边可从S通过一定的数学方法，把目标映象x*=x确定出来，再通过反演即逆映射-1，便可把目标原像x=x*确定出来，使原问题获解.”-1反演映射SS*xx*图6 高中数学教学中的许多重要方法和技巧都能在RMI原则下得到统一.例如，函数法，解析法，向量法，构造法，参数法，换元法等，都可被理解为RMI原则的运用17第四章 化归思想的教学研究化归思想在高中数学各部分知识中都有所体现，如何利用高中教材资源，讲解化归思想方法呢？下面以人民教育出版社A版数学教材为例，进行了重新划分.4.1数与形的转化方法及案例研究4.1.1必修1函数的性质数与形的转化是一种十分普遍的转化方式.以形说数更加具体，以数辅形更加准确客观.函数是高中数学中数形结合思想的重要载体.借助图形来研究函数是研究函数的一般方法.例如必修一1.3函数的性质.函数的单调性和奇偶性是通过对图像变化规律的研究得出的性质.这里体现了“以数说形”的思想，要让学生理解体会.以函数单调性为例：首先观察具体的一次函数fx=x和二次函数fx=x2的图像，观察图像如何变化.学生可得出fx=x的图像是由左至右是上升的.函数fx=x2的图像在y轴左侧是由左至右下降的，在y轴右侧是由左至右上升的.那么如何描述函数图像的“上升”和“下降”呢？第一步，用坐标变化观察.以fx=x2为例，列出x，y的对应值表表1x-3-2-10123f（x）9410149可以看到在(-,0)上，x变大时，y随x的增大而减小.在(0,+)上y