高一数学下第5章《向量的应用》及答案.pdf

高一数学下第5章 向量的应用 解 析及答案 巩固基础 一 自主梳理 理解向量的几何 代数 三角及物理方面的应用 能将当前的问题转 化为可用向量解决的问题 培养学生的创新精神和应用能力 二 点击双基 1 理 2005全国高考卷 理 已知双曲线x2 1的焦点F1 F2 点M在双曲线上且 0 则点M到x轴的距离为 A B C D 解析 如图 不妨设M在右支上 则MF1 MF2 设 MF1 r1 MF2 r2 由定义r1 r2 2a 2 Rt MF1F2中 r12 r22 2c 2 12 式平方代入 后得r1r2 4 S MF1F2 r1r2 2 F1F2 h 2 h h 答案 C 文 若O是 ABC内一点 0 则O是 ABC的 A 内心 B 外心 C 垂心 D 重心 解析 以 为邻边作平行四边形OBDC 则 又 0 O为AD的中点 且A O D共线 又E为OD的中点 O是中线AE的三等分点 且OA AE O是 ABC的重心 答案 D 2 2006山东潍坊检测 已知点A 1 B 0 0 C 0 设 BAC的平分线AE与BC相交于E 若 则 等于 A B C 3 D 解析 由 得 1 1 1 故选择A 答案 A 3 2006湖北八校联考 理 已知向量a 2cos 2cos b 3cos 3sin 若a与 b的夹角为60 则直线xcos ysin 0与圆 x cos 2 y sin 2 的位置关系是 A 相交 B 相交且过圆心 C 相切 D 相离 解析 由题意得 cos cos sin sin 圆心为 cos sin 设圆心到直线的距离为d 则 d 1 直线和圆相离 故选D 答案 D 文 已知直线x y a与圆x2 y2 4交于A B两点 且 其中O为原点 则实数a的值为 A 2 B 2 C 2或 2 D 6或 6 解析 由 得 0 OA OB 联立方程组 整理得2x2 2ax a2 4 0 设A x1 y1 B x2 y2 x1 x2 a x1 x2 y1 y2 a x1 a x2 a2 a x1 x2 x1x2 a2 2 OA OB x1x2 y1y2 0 2 0 a2 4 a 2 又 2a 2 8 a2 4 0 a2 8 a 2 2 而 2 2 2 故选C 答案 C 4 在四边形ABCD中 0 则四边形ABCD是 解析 由 0知 由 知BC AD 四边形ABCD是矩形 答案 矩形 5 若a 1 1 b 1 3 c 3 5 使c xa yb成立的实数x y取值是 解析 依题意 3 5 x 1 1 y 1 3 解得 答案 7 4 训练思维 例1 已知O 0 0 A 1 2 B 4 5 及 t 求 1 t为何值时 P在x轴上 P在y轴上 P在第二象限 2 四边形OABP能否成为平行四边形 若能 求出相应的t值 若不埽 胨得骼碛 解 1 t 1 3t 2 3t 若P在x轴上 则2 3t 0 t 若P在y轴上 只需1 3t 0 t 若P在第二象限 则 t0 a b 2cosx 2 f x cos2x 4 cosx 即f x 2 cosx 2 1 2 2 x 0 0 cosx 1 当 1时 当且仅当cosx 1时 f x 取得最小值1 4 由已知得1 4 解得 这与 1相矛盾 综上所述 为所求 加强篇 8 2006北京海淀模拟 设a 1 cos sin b 1 cos sin c 1 0 其中 0 2 a与c的夹角为 1 b与c的夹角为 2 且 1 2 求sin 的值 解 a 2cos2 2sin cos 2cos cos sin b 2sin2 2sin cos 2sin sin cos 0 2 0 故 a 2cos b 2sin cos 1 cos cos 2 sin cos 1 0 0 点P在y轴上运动 M在x轴上 N为动点 且 0 0 1 求点N的轨迹C的方程 2 过点F a 0 的直线l 不与x轴垂直 与曲线C交于A B两点 设点K a 0 与 的夹角为 求证 0 2 y1y2 2a2 4a2 2a2 0 所以cos 0 所以0 讲评 向量及其运算是新课程的新增内容 由于向量融数 形于一体 具有代数形式和几何形式的双重身份 使它成为中学数学知识的一个交 汇点 成为联系多项内容的媒介 本题是将向量与解析几何 方程 不 等式以及三角函数等知识有机结合 体现了 考试大纲 要求的 在知 识网络交汇点处命题 的精神 我们预测今年的向量高考题的难度可能 上升到压轴题水平 一 教学思路 向量兼具代数的抽象与严谨和几何的直观 向量本身是一个数形结合 的产物 因此在向量的复习中要注意数与形的结合 代数与几何的结 合 形象思维与逻辑思维的结合 应用向量可以解决平面几何中的一些 问题 在物理和工程技术中应用也很广泛 教学要结合实例 引导学生 把向量的相关知识和实际问题相结合 渗透向量解决问题的高效性 二 注意问题 与向量相关的综合应用问题类型较多 往往都和几何图形或某种类型 曲线相关联 这就要求在转化成向量方法或抽象为确定的数学模型时 一定要注意和题意等价 善于综合全局 把握转化合理性 三 参考资料 例1 已知a x2 x b x x 3 x 4 4 1 求f x a b的表达式 2 求f x 的最小值 并求此时a与b的夹角 解 1 f x a b x2 x x x 3 x3 x2 3x x 4 4 2 f x x2 2x 3 x 3 x 1 列表 x 4 4 3 3 3 1 1 1 4 4 f x 0 0 f x 极大值9 极小值 故当x 1时 f x 有最小值为 此时a 1 b 1 2 设 为a与b的夹角 则cos 又由 0 得 例2 如图所示 对于同一高度 足够高 的两个定滑轮 用一条 足够长 绳子跨过它们 并在两端分别挂有4 kg和2 kg的物体 另在两个滑轮中间的 一段绳子悬挂另一物体 为使系统保持平衡状态 此物体的质量应是多少 忽略滑轮半径 绳子的重量 剖析 先进行受力分析 列出平衡方程 然后用数学方法求解 解 设所求物体质量为m kg时 系统保持平衡 再设F1与竖直方向的夹角 为 1 F2与竖直方向的夹角为 2 则有 其中g为重力加速度 由 式和 式消去 2 得 m2 8mcos 1 12 0 即m 4cos 1 2 cos 2 0 由 式知 式中m 4cos 1 2 不合题意 舍去 又 4cos2 1 3 0 解得 cos 1 1 经检验 当cos 1 时 cos 2 0 不合题意 舍去 2 m 6 综上 所求物体的质量在2 kg到6 kg之间变动时 系统可保持平衡 讲评 1 m的范围是通过函数y 4x 2 的单调性求得的 2 实际问题的处理要注意变量的实际意义 本题容易忽 略cos 2 0的实际限制 优化测控 一 选择题 本大题共12小题 每小题5分 共60分 1 2006江苏南京期末 已知向量a 1 0 b 1 1 c 1 0 若 c a b R 则 的值分别为 A 1 0 B 1 1 C 0 1 D 1 0 解析 c a b 1 0 1 1 而c 1 0 故选择D 答案 D 2 有三个命题 向量 与 是共线向量 则A B C D必在同一直线上 向量a与向量b平行 则a与b的方向相同或相反 四边形ABCD是平行四边形的充要条件是 其中正确的是 A B C D 解析 与 共线 AB与CD也可以平行 中a与b也可能有0 答案 B 3 2006四川成都检测 设向量a cos25 sin25 b sin20 cos20 若t是实 数 且u a t b 则 u 的最小值为 A B 1 C D 解析 a b 1 a b sin20 cos25 cos20 sin25 sin45 u 2 a t b 2 a2 2t a b t2b2 t2 t 1 t 2 u 选C 答案 C 4 已知 a 4 b 8 且a与2b a互相垂直 则向量a与b的夹角是 A arccos B arccos C D 解析 由a 2b a 得a 2b a 0 2 a b cos a 2 0 cos arccos 答案 A 5 2006北京西城模拟 向量 1 0 1 若动点P x y 满足条件 则P x y 的变动范围 不含边界的阴影部分 是 解析 1 0 1 设P x y 则 x y 即 经分析 选A 答案 A 6 已知向量 1 1 1 a 其中a为实数 O为原点 当这两向量的夹角在 0 变动时 a的取值范围是 A 0 1 B C 1 1 D 1 解析 只需保证直线AO和OB的夹角为此范围就行 显然kOA 1 kOB a 应用夹角公式tan 可得选项C 答案 C 7 已知向量m与向量n互相垂直且 m n 若m 2 1 则n等于 A 1 2 B 2 1 C 2 1 或 2 1 D 1 2 或 1 2 解析 设n x y 由题意设 解得 或 n 1 2 或 1 2 答案 D 8 已知四边形ABCD是菱形 点P在对角线AC上 不包括端点A C 则 等于 A 0 1 B 0 C 0 1 D 0 解析 由平行四边形法则及共线的充要条件容易得到选项A 答案 A 9 2006西安五校联考 已知向量a 3 4 b 2 1 如果向量a b与向 量 b互相垂直 则实数 的值为 A B C 2 D 解析 a b 3 4 2 1 3 2 4 b 2 1 若 a b b 则 2 3 2 4 0 故选D 答案 D 10 若a与b的夹角为60 b 4 a 2b a 3b 72 则向量a的模是 A 2 B 4 C 6 D 12 解析 由题意知a2 a b 6b2 7a 把 b 4 cos60 代入得 a 2 2 a 24 0 a 6或 a 4 舍 答案 C 11 命题p ABC及点G满足 0 命题q G是 ABC的重心 则p是q的 A 充分不必要条件 B 必要不充分条件 C 充分必要条件 D 既不充分又不必要条件 解析 若G是 ABC的重心 由课本例题可知 0成立 若 0 则 可证CG必经过AB的中点 答案 C 12 在平面直角坐标系中 O为原点 a b 对任意一点M 它关于A的对称点为S S关于点B的对称点为N 则 用a b表示为 A 2 b a B a b C a b D a b 解析 2 2 2 2 四边形OASB是平行四边形 答案 A 二 填空题 本大题共4小题 每小题4分 共16分 13 3e1 3e2 且 则 解析 3e2 3e1 e2 e1 2e1 e2 答案 2e1 e2 14 2006北京海淀模拟 若向量a 3 2 b 0 1 则向量2a b的坐标是 a b 解析 a 3 2 b 0 1 2a b 6 4 0 1 6 5 a b 3 0 2 1 2 答案 6 5 2 15 若对n个向量a1 a2 an存在n个不全为零的实数k1 k2 kn 使得 k1a1 k2a2 knan 0成立 则称向量a1 a2 an为 线性相关 依此规定 能说明a1 1 0 a2 1 1 a3 2 2 线性相关 的实数k1 k2 k3依次可以 取 写出一组数值即可 不必考虑所有 情况 解析 设k1a1 k2a2 k3a3 0 即k1 1 0 k2 1 1 k3 2 2 0 0 k1 4k3 k2 2k3 取k3 1得一组k1 k2 k3依次为 4 2 1 答案 4 2 1 16 2006江苏南京期末 若 a 1 b 2 c a b 且c a 则向量a与b的夹角 为 解析 c a b且c a c a 0 即 a b a 0 a2 a b 1 cos a b a b 答案 三 解答题 本大题共6小题 共74分 17 本小题满分12分 已知向量a 3 4 求 1 与a平行的单位向量b 2 与a垂直的单位向量c 3 将a绕原点逆时针方向旋转45 得到的向量e的坐标 解 1 设b a 则 b 1 b 或b 2 由a c a 3 4 可设c 4 3 求得c 或c 3 设e x y 则x2 y2 25 又a e 3x 4y a e cos45 即3x 4y 由上面关系求得e 或e 而向量e由a绕原点逆时针方向旋转45 得到 故e 18 本小题满分12分 已知a b c分别是 ABC三个内角A B C的对 边 1 若 ABC面积为 c 2 A 60 求a b的值 2 若acosA bcosB 试判断 ABC的形状 证明你的结论 解 1 由已知得 bcsinA bsin60 b 1 由余弦定理a2 b2 c2 2bccosA 3 a 2 由正弦定理得2RsinA a 2RsinB b 2RsinAcosA 2RsinBcosB 即sin2A sin2B 由已知A B为三角形内角 A B 90 或A B 故 ABC为直角三角形或等腰三角形 19 本小题满分12分 向量a 1 cos2 b 2 1 c 4sin 1 d sin 1 其中 0 1 求a b c d的取值范围 2 若函数f x x 1 判断f a b 与f c d 的大小 并说明理由 解 1 a b 2 cos2 c d 2sin2 1 2 cos2 a b c d 2cos2 0 0 2 0 cos2 1 0 2cos2 2 a b c d的取值范围是 0 2 2 f a b 2 cos2 1 1 cos2 2cos2 f a b 2 cos2 1 1 cos2 2sin2 于是有f a b f c d 2 cos2 sin2 2cos2 0 0 2 0 f a b f c d 20 本小题满分12分 ABC的三个内角A B C满足下列条件 1 A B0 1 用k表示a b 2 求a b的最小值 并求此时a与b夹角的大小 解 1 将 ka b a kb 两边平方得 a b 2 k 1 2 0 又k 0 即a b cos 又0 18