简谐振动及其周期推导与证明(原创).docx

简谐振动及其周期公式的推导与证明简谐振动：如果做机械振动的物体，其位移与时间的关系遵从正弦（或余弦）函数规律，这样的振动叫做简谐振动。位移：用x表示，指振动物体相对于平衡位置的位置变化，由简谐振动定义可以得出x的一般式：（下文会逐步解释各个物理符号的定义）；振幅：用A表示，指物体相对平衡位置的最大位移；全振动：从任一时刻起，物体的运动状态（位置、速度、加速度），再次恢复到与该时刻完全相同所经历的过程；频率：在单位时间内物体完成全振动的次数叫频率，用f表示；周期：物体完成一次全振动所用的时间，用T表示；角频率：用表示，频率的2倍叫角频率，角频率也是描述物体振动快慢的物理量。角频率、周期、频率三者的关系为：=2/T=2f；相位： 表示相位，相位是以角度的形式出现便于讨论振动细节，相位的变化率就是角频率，即；初相：位移一般式中表示初相，即t=0时的相位，描述简谐振动的初始状态；回复力：使物体返回平衡位置并总指向平衡位置的力。（因此回复力同向心力是一种效果力）如果用F表示物体受到的回复力，用x表示小球对于平衡位置的位移，对x求二阶导即得：又因为F=ma，最后可以得出F与x关系式：由此可见，回复力大小与物体相对平衡位置的位移大小成正比。式中的k是振动系统的回复力系数（只是在弹簧振子系统中k恰好为劲度系数），负号的意思是：回复力的方向总跟物体位移的方向相反。简谐振动周期公式：，该公式为简谐振动普适公式，式中k是振动系统的回复力系数，切记与弹簧劲度系数无关。单摆周期公式：首先必须明确只有在偏角不太大的情况（一般认为小于10）下，单摆的运动可以近似地视为简谐振动。我们设偏角为，单摆位移为x，摆长为L，当很小时，有关系式：，而单摆运动的回复力为F=mgsin，那么单摆运动中回复力系数，代入简谐振动周期普适公式可得：简谐振动周期公式推导与证明：（1）求导法：对x求二阶导，得：，由F=ma= -kx得：，。（2）等效替代I：做匀速圆周运动的物体在任意一直径上的垂直投影做简谐振动。这是研究简谐振动的一个重要结论。下面给出证明：如图，设物体做匀速圆周运动，线速度为v，半径为r，角速度为，以圆心为坐标原点建立坐标系，设初始位置与圆心连线和x轴夹角为，经过的时间为t，则该物体在x轴上投影相对于原点的位移x满足，由此可见，该投影做的是一个简谐振动。既然做匀速圆周运动的物体在任意一直径上的垂直投影做简谐振动，那么投影做简谐振动的周期与物体做匀速圆周运动周期相等。投影在x轴方向上运动的加速度与物体向心加速度沿x轴方向分量相等，如果我们把投影当成一个质量为m的物体，那么该物体做简谐运动所需回复力为，注意到刚好是投影偏离原点的位移大小，该位移方向与F方向相反，故，那么，故（3）等效替代II（只对弹簧振子有效）：以弹簧振子为例，设振幅为A，弹簧劲度系数为k，振子质量为m，振动周期为T，假设从最大位移处开始运动的周期内，存在这样的力f，使得在数值上等于物体最大动量。而该周期内，回复力F产生的总冲量大小为由动量定理可知，等价力f产生的冲量与该冲量大小相等，那么，对于弹簧振子，由能量守恒可得：，由此可见，故因而由 可得：（4）能量守恒（只对弹簧振子有效）以弹簧振子为例，振动没有能量损耗时，动能、势能相互转化，机械能守恒。设振子质量