高数下第九章例题及答案.doc

复习三 重积分 1了解二重的几何意义, 会交换二次积分的次序. 例1设D为闭圆域x2+y2R2, 则= . 解: 此积分表示以半径为R的半球体的体积, 即. 例2改变二次积分的积分次序得( ). (A); (B); (C); (D). 解: 积分区域为D=(x, y)|0x1, 0yx2, 积分区域又可表示为 , 所以 . 2会利用直角坐标和极坐标计算二重积分, 会利用直角坐标、柱面坐标和球面坐标计算三重积分. 例1计算, 其中D由x=0, y=1, y=x围成. 解: 因为D=(x, y)|0x1, xy1, 所以 , 计算无法进行. 因为D=(x, y)|0y1, 0xy, 所以 . 例2计算, 其中D由曲线、直线y=x围成. 解: 积分区域可表示为D=(x, y)|0y1, y2xy, 于是 =1-sin1. 例3将化成极坐标形式的二次积分 . 解: 积分区域为 , 在极坐标下, 所以 . 例4计算二重积分,其中D为x2+y2=1所围成的闭区域. 解: . 例5计算三重积分, 其中W为平面x=0, y=0, z=0, x+y+z=1所围成的四面体. 解: 积分区域可表示为 W=(x, y, z)| 0z1-x-y, 0y1-x, 0x1, 于是 . 例6计算三重积分其中W为x2+y2=2z 及z=2所围成的闭区域. 解: 在柱面坐标下积分区域可表示为 W: 0q2p, 0r2, , 于是 . 例7计算三重积分, 其中W是由球面x2+y2+z2=1所围成的闭区域. 解: 在球面坐标下积分区域W可表示为 0q2p, 0jp, 0r1, 于是 . 3会计算立体的体积, 会计算曲面的面积, 会计算质心或形心. 例1求由抛物柱面z=2-x2及椭圆抛物面z=x2+2y2所围成的立体的体积. 解: . 例2求锥面被柱面z2=2x所割下的部分的曲面面积. 解: 曲面与z2=2x的交线在xOy面上的投影为 . 所求曲面在xOy在上的投影区域为D=(x, y)|x2+y22x. . 例3求由曲线ay=x2, x+y=2a(a0)所围成闭区域的形心. 解: 闭区域可表示为. 因为 , , . 所以 , . 练习三 1. 设区域D为x2+y2a2, 且, a=_. 2. 设D由y2=x及y=x-2所围成, 则=( ). (A); (B); (C); (D). 3. 交换下列二次积分的顺序, 并画出积分区域草图. (1); (2); (3). 4. 设D: |x|1, 0y1, 则=_. 5. 曲面x2+y2+z2=R2(z0)和所围成的立体的体积可表为二重积分_. 6. 计算二次积分. 7. 利用极坐标计算积分. 8. 计算二重积分, 其中D: x2+y22x . 9. 计算二重积分, D是以点(0, 0),(0, p), (p, p) 为顶点的三角形区域. 10. 计算二重积分, 其中D为直线y=x和抛物线y=x2所围成的平面区域. 11. 计算二重积分, 其中D是圆环形闭区域(x, y)| a2x2+y2b2. 12. 计算二重积分, 其中D为圆域: x2+y2R2 . 13. 求, 其中W是由曲线绕z轴旋转一周的曲面与平面z=4所围立体. 14. 计算, 其中W是由曲面与围成. 15.