2019_2020学年高中数学第2章变化率与导数44.1导数的加法与减法法则4.2导数的乘法与除法法则学案北师大版.docx

4.1导数的加法与减法法则 4.2导数的乘法与除法法则学 习 目 标核 心 素 养1理解导数的四则运算法则(重点)2能够利用导数的四则运算法则求导(重难点)通过利用导数的四则运算法则求导，培养了学生的数学运算的核心素养.1导数的加法与减法法则两个函数和(差)的导数等于这两个函数导数的和(差)，即f(x)g(x)f(x)g(x)，f(x)g(x)f(x)g(x)2导数的乘法与除法法则一般地，若两个函数f(x)和g(x)的导数分别是f(x)和g(x)，则f(x)g(x)f(x)g(x)f(x)g(x)，(g(x)0)特别地，当g(x)k时，有kf(x)kf(x)1函数yx的导数是()A1B1C1 D1Ayx，yx1.2已知函数f(x)ax33x22，若f(1)4，则a的值是()A.B. C.D.C由f(x)ax33x22，得f(x)3ax26x，所以f(1)3a64，故a.3若f(x)，则f(x)_.f(x).导数的四则运算【例1】(1)函数y(2x23)(3x2)的导数是_；(2)函数y2xcos x3xln x的导数是_；(3)函数y的导数是_思路探究：仔细观察和分析各函数的结构特征，紧扣求导运算法则，联系基本初等函数求导公式，必要时可进行适当的恒等变形后求导(1)y18x28x9(2)y2x ln 2 cos x2x sin x3 ln x3(3)y(1)法一：y(2x23)(3x2)(2x23)(3x2)4x(3x2)(2x23)318x28x9.法二：y(2x23)(3x2)6x34x29x6，y18x28x9.(2)y(2xcos x3xln x)(2x)cos x2x(cos x)3xln xx(ln x)2xln 2cos x2xsin x32xln 2cos x2xsin x3ln x3.(3)y.求导的两点要求1先区分函数的结构特点，即函数的和、差、积、商，再根据导数的四则运算法则求导数2对于较复杂的函数式，应先进行适当的化简变形，化为较简单的函数式后再求导，可简化求导过程1求下列各函数的导数(1)y(1)；(2)yxsin cos ；(3)y.解(1)化简得y1xx，yxx. (2)yxsin cos xsin x，yx(sin x)1cos x.(3)y.利用导数求曲线的切线方程【例2】求过点(1，1)与曲线f(x)x32x相切的直线方程思路探究：点(1，1)不一定是切点，故设出切点坐标(x0，y0)，求出f(x0)写出切线方程，利用点(1，1)在切线上求x0，从而求出切线方程解设P(x0，y0)为切点，则切线斜率为kf(x)3x2，故切线方程为yy0(3x2)(xx0)(x0，y0)在曲线上，y0x2x0.又(1，1)在切线上，将式和(1，1)代入式得1(x2x0)(3x2)(1x0)解得x01或x0.k1或k.故所求的切线方程为y1x1或y1(x1)，即xy20或5x4y10.求切线的注意点1求曲线的切线方程一定要分清是求曲线在点P处的切线方程，还是求过点P与曲线相切的直线方程2本题中点(1，1)虽然在曲线上，但经过该点的切线不一定只有一条，即该点可能是切点，也可能是切线与曲线的交点2求曲线y在点(1,1)处的切线方程解y，当x1时，y0，即曲线在点(1,1)处的切线斜率k0.因此，曲线y在点(1,1)处的切线方程为y1导数运算法则的综合应用探究问题1二次函数yf(x)的图像过原点，且它的导函数yf(x)的图像是过第一、二、三象限的一条直线，则函数yf(x)的图像的顶点在第几象限？提示设f(x)ax2bx(a0)，f(x)2axb，yf(x)2axb的图像是一条过第一、二、三象限的直线，即a0，b0，0，0，f(x)的图像的顶点在第三象限2若函数f(x)ax4bx2c满足f(1)2，试求f(1)的值提示由f(x)ax4bx2c得f(x)4ax32bx，又f(1)2，所以4a2b2，即2ab1，f(1)4a2b2(2ab)2【例3】已知函数f(x)的图像在点M(1，f(1)处的切线方程为x2y50，求函数yf(x)的解析式思路探究：利用点M为切点是切线与曲线的公共点，以及切线的斜率为f(1)联立方程组，可求出a，b的值解由函数f(x)的图像在点M(1，f(1)处的切线方程为x2y50，知12f(1)50，即f(1)2，由切点为M点得f(1).f(x)，即解得a2，b3或a6，b1(由b10，故b1舍去)所以所求的函数解析式为f(x).解决与切线有关的问题时，要充分运用切点的坐标.特别是切点的横坐标，因为切点的横坐标与导数有着直接的联系.3已知函数f(x)ax2bx3(a0)，其导函数f(x)2x8.(1)求a，b的值；(2)设函数g(x)exsin xf(x)，求曲线g(x)在x0处的切线方程解(1)因为f(x)ax2bx3(a0)，所以f(x)2axb，又知f(x)2x8，所以a1，b8.(2)由(1)可知g(x)exsin xx28x3，所以g(x)exsin xexcos x2x8，所以g(0)e0sin 0e0cos 02087，又知g(0)3，所以g(x)在x0处的切线方程为y37(x0)即7xy30.1解决函数求导的问题，应先分析所给函数的结构特点，选择正确的公式和法则，对较为复杂的求导运算，在求导之前应先将函数化简，然后求导，以减少运算量2一般情况下，应用和、差、积、商的求导法则和基本初等函数的导数公式求导数时，要尽量少用积、商的求导法则在求导之前，可先对函数进行化简，然后求导，这样可减少运算量，提高运算速度，避免出错3公式推广：(1)u(x)v(x)w(x)u(x)v(x)w(x)；(2)(uvw)(uvw)(uvw)(uvw)1判断(正确的打“”，错误的打“”)(1)yx2cos x，则y2xcos xx2sin x()(2)y2x，则yx2x1()(3)ysin xcos x，则ycos xsin x()(1)(2)(3)(1)y2xcos xx2sin x，(1)正确；(2)y2xln2，(2)错误；(3)ycos xsin x，(3)错误2若曲线yx1(R)在点(1,2)处的切线经过坐标原点，则_.2因为yx1，所以在点(1,2)处的切线斜率k，则切线方程为y2(x1)又切线过原点，故02(01)，解得23已知函数f(x)fsin xcos x，则f_.f(x)fco