2019高考数学一轮复习_第九章 平面解析几何 9.4 双曲线及其性质课件 文

第九章平面解析几何 高考文数 9 4双曲线及其性质 知识清单 考点一双曲线的定义及性质1 双曲线的定义及性质 2 点P x0 y0 和双曲线 1 a 0 b 0 的关系 1 P在双曲线内 含焦点 1 2 P在双曲线上 1 3 P在双曲线外 1 考点二直线与双曲线的位置关系设AB为双曲线 1 a 0 b 0 的弦 A x1 y1 B x2 y2 弦中点M x0 y0 设直线AB的斜率存在 且不为零 记为k k 0 1 弦长 AB x1 x2 y1 y2 2 k 3 直线AB的方程为y y0 x x0 4 弦AB的垂直平分线方程为y y0 x x0 知识拓展1 过焦点F1的弦AB与双曲线交在同支上 则AB与另一个焦点F2构成 的 ABF2的周长为4a 2 AB 2 过双曲线的一个焦点且与实轴垂直的弦的长为 3 P为双曲线上的点 F1 F2为双曲线的两个焦点 且 F1PF2 则 F1PF2的面积为 4 焦点到渐近线的距离为b 5 1 等轴双曲线 实轴长和虚轴长相等的双曲线叫做等轴双曲线 2 双曲线为等轴双曲线 双曲线离心率e 两条渐近线互相垂直 6 双曲线 1 a 0 b 0 的共轭双曲线为 1 a 0 b 0 它们有共同的渐近线y x 离心率满足的关系为 1 7 设P A B是双曲线上的三个不同的点 其中A B关于原点对称 则直线PA与PB的斜率之积为 求双曲线标准方程的方法1 定义法 由题目条件判断出动点轨迹是双曲线 由双曲线的定义确定2a 2c 然后确定a2 b2的值 再结合焦点位置写出双曲线方程 2 待定系数法 根据双曲线焦点的位置设出相应形式的标准方程 然后根据条件列出关于a b的方程组 解出a b 从而写出双曲线的标准方程 3 利用待定系数法求双曲线标准方程的常用设法 与双曲线 1 a 0 b 0 共渐近线的双曲线方程可设为 0 若双曲线的渐近线方程为y x 则双曲线方程可设为 0 若双曲线过两个已知点 则双曲线方程可设为 1 mn 0 也可设为Ax2 By2 1 AB 0 方法技巧 例1 1 2017天津 5 5分 已知双曲线 1 a 0 b 0 的右焦点为F 点A在双曲线的渐近线上 OAF是边长为2的等边三角形 O为原点 则双曲线的方程为 D A 1B 1C y2 1D x2 1 2 设双曲线与椭圆 1有共同的焦点 且与椭圆相交 其中一个交点的坐标为 4 则此双曲线的标准方程是 解析 1 不妨设点A在第一象限 由题意可知c 2 点A的坐标为 1 所以 又c2 a2 b2 所以a2 1 b2 3 故所求双曲线的方程为x2 1 故选D 2 解法一 椭圆 1的焦点坐标是 0 3 设双曲线方程为 1 a 0 b 0 根据双曲线的定义知2a 4 故a 2 又b2 32 a2 5 故所求双曲线的标准方程为 1 解法二 椭圆 1的焦点坐标是 0 3 设双曲线方程为 1 a 0 b 0 则a2 b2 9 又点 4 在双曲线上 所以 1 联立 解得a2 4 b2 5 故所求双曲线的标准方程为 1 解法三 设双曲线的方程为 1 27 36 由于双曲线过点 4 故 1 解得 1 32 2 0 经检验 1 32 2 0都是分式方程的根 但 0不符合题意 应舍去 所以 32 故所求双曲线的标准方程为 1 答案 2 1 求双曲线的离心率 范围 的方法1 根据已知条件确定a b c的关系 再求出e 要注意区分双曲线的渐近线的斜率与离心率的关系以及双曲线离心率的范围 2 求解双曲线离心率范围的方法 在解析几何中 求范围问题一般可从以下几个方面考虑 与已知范围联系 通过求值域或解不等式来完成 通过判别式 的大小建立不等关系 利用点与曲线的位置关系构建不等关系 利用解析式的结构特点 如a2 a 等的非负性来完成范围的求解 例2 2016山东 14 5分 已知双曲线E 1 a 0 b 0 矩形ABCD的四个顶点在E上 AB CD的中点为E的两个焦点 且2 AB 3 BC 则E的离心率是 解析由已知得 AB CD BC AD F1F2 2c 因为2 AB 3 BC 所以 6c 2b2 3ac 3e 2 e2 1 3e 2e2 3e 2 0 解得e 2 或e 舍去 答案2 例3 2017河南百校联盟二联 15 已知A 1 2 B 1 2 动点P满足 若双曲线 1 a 0 b 0 的渐近线与动点P的轨迹没有公共点 则双曲线离心率的取值范围是 解题导引由 得点P的轨迹方程由双曲线方程得渐近线方程利用直线与圆的位置关系列出a b的不等式转化为e的不等式 得e的范围 解析设P x y 由题设条件 得动点P的轨迹方程为 x 1 x 1 y 2 2 0 即x2 y 2 2 1 它是以 0 2 为圆心 1为半径的圆 又双曲线 1 a 0 b 0 的渐近线方程为y x 即bx ay 0 由题意可得 1 又b2 c2 a2 所以1 故离心率的取值范围为 1 2 答案 1 2 直线和双曲线位置关系问题的求解方法1 有关直线与圆锥曲线的位置关系问题 通常转化为一元二次方程根的问题来讨论 从而可以利用根与系数之间的关系转化为含有特定系数的方程来求解 2 当直线与双曲线只有一个公共点时 只讨论二次项系数不为0且判别式等于0是不够的 还应讨论二次项系数等于0的情况 此时得到的斜率k恰好等于双曲线渐近线的斜率 这样的直线l与双曲线相交 但交点只有一个 所以直线与双曲线有一个公共点是直线与双曲线相切的必要不充分条件 3 求解直线与双曲线相交的弦长问题时 常结合 根与系数的关系 利用弦长公式 AB k为直线的斜率 进行求解 例4 2017广东惠州二调 9 过点P 2 1 作直线l 使l与双曲线 y2 1有且仅有一个公共点 这样的直线l共有 B A 1条B 2条C 3条D 4条 解题导引 解析 当直线l的斜率不存在时 直线l的方程为x 2 此时直线l与双曲线有且仅有一个公共点 2 0 满足题意 当直线l的斜率存在时 设直线l的方程为y 1 k x 2 即y kx 1 2k 由得x2 4 kx 1 2k 2 4 即 1 4k2 x2 8 1 2k kx 4 1 2k 2 4 0 若1 4k2 0 则k 当k 时 方程 无实数解 因此k 不满足题意 当k 时 方程 有唯一实数解 因此k 满足题意 当1 4k2 0 即k 时 64k2 1 2k 2 16 1 4k2 1 2k 2 1 0不成立 此 时满足题意的实数k不存在 综上所述 满足题意的直线l共有2条 选B 例5若双曲线E y2 1 a 0 的离心率为 直线y kx 1与双曲线E的右支交于A B两点 1 求k的取值范围 2 若 AB