2011年中考数学压轴题命题趋势探秘.doc

2011年中考数学压轴题命题趋势探秘南京智力方教育倾力汇编： 中考数学压轴题是对学生所学知识的灵活运用及分析问题、解决问题能力的全面考查，它具有很强的导向作用；由于压轴题的知识覆盖面广，综合性强，难度系数大，既考查基础知识和基本技能，又考查数学思想方法和数学探索创新能力，特别是注重发展学生的创造能力方面，有较大的区分度，因此，它是中考选拔功能的集中体现。中考数学压轴题历来是师生共同关注的焦点，对于考生而言，它是一根标尺，可以比较准确地衡量学生的综合解题能力以及数学素养，同时它的得失，可能直接影响到考生今后的发展；对于教师而言，它是一根指挥棒，在教学中起到良好的导向作用。本文试图对近三年泰州市及2010年江苏省各地区中考数学压轴题进行分析，探寻压轴题发展变化的规律，从而对中考前一个月的复习提出一些建议，以期与同行共同探讨。一、近三年我市中考及2010年江苏省各地区中考数学压轴题分析在以前较长一段时期中，由抛物线、圆、相似三角形等组成的综合题是中考的压轴题，这是一类知识型问题。但后来随着对圆作为重要考点的质疑，压轴题对圆不再“青睐”，比如08年泰州市压轴题中就没有圆的相关知识。但是09年江苏省统考中，最后一道压轴题出现了圆，而且是动圆，不仅圆的位置发生变化，圆的大小也同时发生变化。10年的最后一道中考题仍然有圆，但对圆的考察主要是基本概念和基本性质，主要还是突出灵活转化和运用知识的能力。我进一步分析了近三年泰州市及2010年江苏省各地区中考数学压轴题后，发现：动态问题、图象信息题、开放探索性问题等一系列能力型问题成为中考数学压轴题中的主导问题。（一）动态问题动态问题是指图形的运动变化问题，平移、旋转、翻折和质点运动是几何变换中的四种基本变换。这类题目注重培养学生用动态的观点去看待问题，考查学生的空间想象能力和动手操作能力；解题方法灵活多变，其中所含的数学思想和方法丰富，有数型结合思想，方程思想，函数思想，分类讨论思想，数学建模等思想方法。解决这类问题的关键在于如何在“静中取动”或在“动中求静”。例1（2009年江苏省）如图，已知射线DE与 轴和 轴分别交于点 和点 动点 从点 出发，以1个单位长度/秒的速度沿 轴向左作匀速运动，与此同时，动点P从点D出发，也以1个单位长度/秒的速度沿射线DE的方向作匀速运动设运动时间为 秒（1）请用含 的代数式分别表示出点C与点P的坐标；OxyEPDABMC（2）以点C为圆心、 个单位长度为半径的 与 轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），连接PA、PB当 与射线DE有公共点时，求 的取值范围；当 为等腰三角形时，求 的值评析：本题设计的问题考察较多的知识点和思想方法，对动圆的位置和大小的变化，要能通过圆心的坐标和半径来刻画。要能把“ 与射线DE有公共点时”转化成写之等价的t所满足的不等式组，进而求出其解。针对“ 为等腰三角形”的三种情况，要能分类讨论，建立相应的方程，求出t的值。本题表面上比较骇人，但实际上只要耐心画图、尝试，是能找出解题的路径的。所以本题对学生的心理、意志品质也是一种考验。再如2010年无锡市中考第27题。（二）开放探索性问题这类题型没有固定的解题程序，也不能通过死记硬背数学结论来获得答案，它要求学生从不同角度，不同方向进行多方面、多层次的思考；这些题目，一般是内容丰富、立意深刻、背景新颖、形式灵活。开放性问题的教学有助于提高学生的探索、推理、观察能力，可以充分调动学生的主观能动性，增强参与意识，激活学生的创新思维。开放性问题一般有条件开放、结论开放、解题策略开放等。例2（2010年泰州市）如图，二次函数 的图象经过点D ，与x轴交于A、B两点求 的值；如图，设点C为该二次函数的图象在x轴上方的一点，直线AC将四边形ABCD的面积二等分，试证明线段BD被直线AC平分，并求此时直线AC的函数解析式；设点P、Q为该二次函数的图象在x轴上方的两个动点，试猜想：是否存在这样的点P、Q，使AQPABP？如果存在，请举例验证你的猜想；如果不存在，请说明理由（图供选用）M 下面进行较为详细的分析：1思路分析：本题的分值共12分，是试卷的倒数第二大题。本题的入口较宽，第题几乎是送分题，只要把D点的坐标代入二次函数解析中就可以求出c的值，进而确定了二次函数的解析式，为第、题作准备；第题是一道“数形结合”的小型综合题，由于设计两个小问题（第1问起到引导思路的作用），因此难度也不算大。其解法思路是：分别过D、B两点作AC上的高，根据直线AC将四边形ABCD的面积二等分，得到ADC和ABC在AC边上的高相等，进而可以得到全等三角形，证得AC和BD的交点M是DB的中点。由于D点坐标已知，B点坐标可求，从而M点坐标容易求得。最后根据A点和E点坐标求出直线AC的函数解析式。第题有好多学生觉得无从下手，甚至认为命题人出题“太偏”，导至本题失分率很高。但笔者认为本题“不偏不怪”，只不过解题思路与第题没有多大关系。必须要“另起炉灶”，用其它方法来解。要使AQPABP，只要AQ=AB，AP=AP（即AP是两个三角形的公共边），QAP=BAP。所以只要在x轴上方的二次函数图象上找到一点Q，使AQ=AB，然后作出QAB的角平分线即可使AQPABP，因此，在x轴上方的二次函数图象上，若能找到一点Q，使AQ=AB，则存在；若不能找到点Q，使AQ=AB，则不存在。一种方法是采用观察法，注意特殊点的坐标，如抛物线的顶点坐标，利用该点和A点坐标可以求出它们之间的距离正好等于AB；另一种方法是采用方程思想，设Q点的坐标为（a， ），用字母a表示出AQ之间的距离，然后令AQ=AB，就可以列出关于a的方程，求出一个符合要求的a值，即可说明存在性。2命题特色和思考（1）本题以二次函数为背景，综合考察了二次函数、一次函数、方程、图形的全等、图形的面积等有关知识。既注重数学基础的考察，又体现了能力立意。特别是第题，学生除了要读懂题意，理解题目的要求，弄清问题的实质，还要具备不怕困难、勇于探索的精神，另外本题对观察和分析能力也提出了较高的要求。（2）本题第、题的解法思路几乎没有什么联系，因此学生要克服思维定势，注意思维的灵活性。（3）第题的关键是理解题意，既要能实现问题的转化，又要注意问题的特殊性，从而灵活的求解。再如，宿迁市2010年中考最后一题。（三）图象信息题表格、图象和图形是一种直观形象的数学语言，包含着很多丰富的信息， 如何观察、提炼这些信息，并通过分析这些信息来解决问题，是考查学生能力的好方式，近来也有这方面的大胆尝试。例3.（2008年泰州市）2008年5月12日14时28分四川汶川发生里氏8.0级强力地震某市接到上级通知，立即派出甲、乙两个抗震救灾小组乘车沿同一路线赶赴距出发点480千米的灾区乙组由于要携带一些救灾物资，比甲组迟出发1.25小时（从甲组出发时开始计时）图中的折线、线段分别表示甲、乙两组的所走路程y甲（千米）、y乙（千米）与时间x（小时）之间的函数关系对应的图像请根据图像所提供的信息，解决下列问题：（1）由于汽车发生故障，甲组在途中停留了 小时；（2分）（2）甲组的汽车排除故障后，立即提速赶往灾区请问甲组的汽车在排除故障时，距出发点的路程是多少千米？（6分）（3）为了保证及时联络，甲、乙两组在第一次相遇时约定此后两车之间的路程不超过25千米，请通过计算说明，按图像所表示的走法是否符合约定（4分）评析：本题少了咄咄逼人的态势，改变了以往压轴题中代数、几何单调的整合。突破了传统的行程问题的命题模式，而用函数图象关系的信息背景来衬托，使代数中方程、不等式、函数，甚至几何知识巧妙地融为一体，不失为一道耳目一新、别具一格的好题。由于解法较多，它考查了学生的阅读理解分析、图象信息捕捉、合情联想建模、数形结合转化等综合解决实际问题的能力。再如，2010年扬州市中考的第27题。（四）与高中知识衔接的新型题更高层次的知识，往往可以借助于已有知识经验探索得到，一些高中内容，与初中内容有密切的联系，因而也成为命题人员选择的素材。出现的题型有定义新运算型、阅读理解型、综合探索型等。例4（2010年南通市）已知抛物线yax2bxc经过A（4，3）、B（2，0）两点，当x=3和x=3时，这条抛物线上对应点的纵坐标相等经过点C（0，2）的直线l与 x轴平行，O为坐标原点（1）求直线AB和这条抛物线的解析式；（2）以A为圆心，AO为半径的圆记为A，判断直线l与A的位置关系，并说明理由；（3）设直线AB上的点D的横坐标为1，P（m，n）是抛物线yax2bxc上的动点，当PDO的周长最小时，求四边形CODP的面积评析：此题以抛物线的准线、焦点性质为背景进行命题，构思非常巧妙，对学生的数学能力进行了很好的考查。再如，2010年泰州市的最后一题，也有与高中斜率知识衔接的倾向。二中考前一个月的复习策略对于压轴题的复习，我认为可以精选一些题目以专题的形式进行系统地归类复习，强化训练。具体做法：发挥备课组的力量，备课组的五位教师分工负责，利用剪、贴的方法收集历年来的中考数学压轴题，进行专题训练。在复习中注意以下问题：1、精心选题中考试题具有良好的教学导向功能，既引导学生学会学习，乐于科学探究，乐于在生活中用数学；又引导我们数学教师积极投身到数学课程改革中去，努力改进初中数学教学，研究如何按照中考试题的要求把握平时练习、复习。因此可以收集历年来有代表性的中考数学压轴题，并进行分类整理以专题的形式进行复习。“试题源于课本”已成为历年中考的命题原则，具有良好的导向作用。因此在最后的复习阶段可以对课本的例、习题在认真研究的基础上加以变式再创造，在复习教学中开展陈题新解，以一题多解、一题多变、多题一解等的形式将知识串联，方法归纳，以少胜多，提高学生的解题能力。2、加强解题策略指导在每一次的考试中，我们教师都会发现有部分基础较好的学生对于压轴题的解答得分率也不高，认真分析、究其原因主要是会而不对，对而不全，全而不美的问题。因此我们可以让学生向错误学习，放手让学生自己去搞点讲评，自己动手建立错题档案，对于错的题目进行反复训练。对于综合性的压轴题，让学生总结题目考查了哪些知识点，每个知识点是从哪个角度考查的，题目考查了哪些数学思想方法，本题有哪几种解题方法，最佳解法是什么？当自己出错时，是知识上的错误还是方法上的错误，是解题过程的失误还是心理上的缺陷导致的失误。切实解决会而不对，对而不全，全而不美的问题。3、要求书写规范每一次的批卷中总是发现：有部分学生在解最后一题的压轴题时，解题步骤不规范，导致失分；甚至由于第1小题书写不规范，导致自己在做后面的小题时，抄错而不得分。因此我们在平时的教学中要讲清楚每一题中每一步的评分标准，要舍得时间让学生在课堂上把一道题解答完整，并相互批改，互相纠错；而最重要的就是