（新课标）2018年高考数学 题目的命制背景及试卷的对策 专题03 立体几何中的数学文化.doc

专题03 立体几何中的数学文化一.专题综述以选择题或者填空题的形式，以垂直关系或者平行关系以及三视图中的表面积、体积问题为背景考查数学文化相关知识，意在考查读题、分析问题能力和逻辑推理能力等.预测：以平行关系、垂直关系、三视图为题材考查空间中的文化二回顾高考1.【2015高考新课标1，理6】九章算术是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题:“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺。问:积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙角处堆放米(如图，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放斛的米约有（ ）(a)14斛 (b)22斛 (c)36斛 (d)66斛【答案】b【解析】设圆锥底面半径为r，则=，所以米堆的体积为=，故堆放的米约为1.6222，故选b.2.【2015高考湖北，理19】九章算术中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑如图，在阳马中，侧棱底面，且，过棱的中点，作交于点，连接 （）证明：试判断四面体是否为鳖臑，若是，写出其每个面的直角（只需写出结论）；若不是，说明理由；（）若面与面所成二面角的大小为，求的值【解析】（解法1）（）因为底面，所以，由底面为长方形，有，而，所以. 而，所以. 又因为，点是的中点，所以. 而，所以平面. 而，所以.又，所以平面. 由平面，平面，可知四面体的四个面都是直角三角形，即四面体是一个鳖臑，其四个面的直角分别为. 设，有，在rtpdb中, 由, 得, 则 , 解得. 所以 故当面与面所成二面角的大小为时，. （解法2）（）如图2，以为原点，射线分别为轴的正半轴，建立空间直角坐标系. 设，则，点是的中点，所以，于是，即. 又已知，而，所以. 因, , 则, 所以.由平面，平面，可知四面体的四个面都是直角三角形，即四面体是一个鳖臑，其四个面的直角分别为. 三典例分析例1. 我国南北朝时期数学家、天文学家祖暅，提出了著名的祖暅原理：“幂势即同，则积不容异”.“幂”是截面积，“势”是几何体的高，意思是两等高立方体，若在每一等高处的截面积都相等，则两立方体体积相等.已知某不规则几何体与如图三视图所对应的几何体满足“幂势同”，则该不规则几何体的体积为()a.4 b.8c.8 d.82【答案】c例2(2017新乡三模)九章算术是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有刍甍，下广三丈，袤四丈；上袤二丈，无广；高一丈，问：积几何？”其意思为：“今有底面为矩形的屋脊状的楔体，下底面宽3丈，长4丈；上棱长2丈，高一丈.问它的体积是多少？”已知1丈为10尺，现将该楔体的三视图给出如下图所示，其中网格纸上小正方形的边长为1丈，则该楔体的体积为()a.5 000立方尺 b.5 500立方尺c.6 000立方尺 d.6 500立方尺【答案】a【解析】该楔形的直观图如图中的几何体abcdef，取ab的中点g，cd的中点h，连fg，gh，hf，则该几何体的体积为四棱锥fgbch与三棱柱adeghf的体积之和，而三棱柱adeghf可通过割补法得到一个高为ef，底面积为s31平方丈的一个直棱柱，故该楔形的体积v22315立方丈5 000立方尺.【规律总结】1.本例以九章算术，祖暅原理为背景，相应考查圆锥的体积公式、三视图及其体积计算.既检测了考生的基础知识和基本技能，又展示了中华民族的优秀传统文化.2.两题很好地诠释了关于2017年普通高考考试大纲修订内容的通知中对数学文化内容的要求，加强对中国优秀传统文化的考查，引导考生提高人文素养、传承民族精神，树立民族自信心和自豪感，试题的价值远远超出试题本身.四强化训练1. 我国古代数学名著九章算术中“开立圆术”曰：置积尺数，以十六乘之，九而一，所得开立方除之，即立圆径.“开立圆术”相当于给出了已知球的体积v，求其直径d的一个近似公式d.人们还用过一些类似的近似公式.根据=3.141 59判断，下列近似公式中最精确的一个是( )【答案】d【解析】因为且3.142 857-3.141 59=0.001 267.综上可知，选项d最精确.2. 九章算术中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑，如图，网格纸上正方形小格的边长为，图中粗线画出的是某几何体毛坯的三视图，第一次切削，将该毛坯得到一个表面积最大的长方体，第二次切削沿长方体的对角面刨开，得到两个三棱柱，第三次切削将两个三棱柱分别沿棱和表面的对角线刨开得到两个鳖臑和两个阳马，则阳马与鳖臑的体积之比为（ ）a. b. c. d. 【答案】b3. 中国古代数学名著九章算术卷第五“商功”共收录28个题目，其中一个题目如下：今有城下广四丈，上广二丈，高五丈，袤一百二十六丈五尺，问积几何？其译文可用三视图来解释：某几何体的三视图如图所示（其中侧视图为等腰梯形，长度单位为尺），则该几何体的体积为（ ）a. 3795000立方尺 b. 2024000立方尺 c. 632500立方尺 d. 1897500立方尺【答案】d4. 九章算术中，将底面是直角三角形的直三棱柱称之为“堑堵”，将底面为矩形，一条侧棱垂直于底面的四棱锥称之为“阳马”，已知某“堑堵”与某“阳马”组合而成的几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积（ ）a. b. c. d. 【答案】a【解析】几何体左侧为“堑堵”，底面两直角边长分别为的直角三角形，高为1；右侧为“阳马”，垂直底面的侧棱长为底面是边长为1正方形；因此体积为，选a.5. 祖暅（公元前5-6世纪)，祖冲之之子，是我国齐梁时代的数学家. 他提出了一条原理：“幂势既同，則积不容异. ”这句话的意思是：两个等高的几何体若在所有等高处的水平截面的面积相等，则这两个几何体的体积相等. 该原理在西方直到十七世纪才由意大利数学家卡瓦列利发现，比祖暅晚一千一百多年. 椭球体是椭圆绕其轴旋转所成的旋转体. 如图将底面直径皆为，高皆为的椭半球体及已被挖去了圆锥体的圆柱体放置于同一平面上. 以平行于平面的平面于距平面任意高处可横截得到及两截面，可以证明总成立. 据此，短轴长为，长轴为的椭球体的体积是 _ 【答案】6. 鲁班锁是中国传统的智力玩具，起源于古代汉族建筑中首创的榫卯结构，这种三维的拼插器具内部的凹凸部分（即榫卯结构）啮合，十分巧妙，外观看是严丝合缝的十字立方体，其上下、左右、 前后完全对称从外表上看，六根等长的正四棱柱体分成三组，经榫卯起来，如图3，若正四棱柱体的高为，底面正方形的边长为，现将该鲁班锁放进一个球形容器内，则该球形容器的表面积的最小值为_（容器壁的厚度忽略不计） 【答案】【解析】表面积最小的球形容器可以看成长、宽、高分别为1、2、6的长方体的外接球设其半径为r, ，所以该球形容器的表面积的最小值为7中国古代数学名著九章算术中记载了公元前344年商鞅督造一种标准量器商鞅铜方升，其三视图如图所示（单位：寸），若取3，其体积为12.6（立方寸），则图中的为（ ）a. 1.2 b. 1.6 c. 1.8 d. 2.4【答案】b【解析】由三视图知，商鞅铜方升由一圆柱和一长方体组合而成由题意得：,则.8. 九章算术是我国古代的数学巨著，其卷第五“商功”有如下的问题：“今有刍甍，下广三丈，袤四丈，上袤二丈，无广，高一丈。问积几何？”意思为：“今有底面为矩形的屋脊形状的多面体(如图)”，下底面宽丈，长丈，上棱丈，.与平面的距离为1丈，问它的体积是 ( )a. 4立方丈 b. 5立方丈c. 6立方丈 d. 8立方丈【答案】b【解析】延长ef、fe分别到h、g，且|fh|=|eg|=1，则该几何体为直三棱柱，三棱锥f-bch的体积为 ，三棱柱的体积为 ，所以所求体积为 。故选b。9. 中国古代名词“刍童”原来是草堆的意思，古代用它作为长方棱台（上、下底面均为矩形额棱台）的专用术语.关于“刍童”体积计算的描述，九章算术注曰：“倍上表，下表从之.亦倍下表，上表从之，各以其广乘之，并，以