2018年高中数学_第三章 导数应用 3.2.2 最大值、最小值问题课件1 北师大版选修2-2

3 2 2最大值 最小值问题 求极值的步骤 1 求导数 2 解方程 3 对于方程的每一个解 分析在左右两侧的符号 确定极值点 在两侧若的符号 1 左正右负 则为极大值点 2 左负右正 则为极小值点 3 相同 则不是极值点 复习回顾 极值是函数的局部性质 而不是在整个定义域内的性质 即 如果是的极大 小 值点 那么在附近找不到比更大 小 的值 但是 解决实际问题或研究函数性质时 我们往往更关心在某个区间上 函数的哪个值最大 哪个值最小 若是在上的最大 小 值点 则不小 大 于在此区间上的所有函数值 由图知 最大 小 值在极大 小 值点或区间的端点处取得 概括 思考 如何求函数的最大 小 值 问题 对于函数的最值概念的学习 你认为有哪些方面是值得注意的 例1求函数在区间上的最值 最值是在极值点或者区间的端点取得的 所以要想求最值 应首先求出函数的极值点 然后将所有的极大 小 值与端点的函数值进行比较 其中最大 小 的值即为函数的最大 小 值 分析 解 求导得 令 得 通过比较可知 列表可知 是函数的极大值点 是极小值点 计算极值和端点的函数值得 总结 若是在上的最大 小 值点 则不小 大 于在此区间上的所有函数值 函数的最大 小 值 求最值的步骤 1 求f x 在 a b 内的极值 2 将f x 的各极值与f a f b 进行比较 其中最大的一个是最大值 最小的一个是最小值 1 求函数在区间 1 2 上的最值 2 已知函数 1 求f x 单调减区间 2 若f x 在 2 2 上的最大值是20 求它在该区间上的最小值 动手做一做 例2边长为48cm的正方形铁皮 四角各截去一个大小相同的正方形 然后折起 可做成无盖的长方体容器 其容积V是关于截去的小正方形的边长x的函数 1 随x的变化 容积V如何变化 2 截去的小正方形边长为多少时 容器的容积最大 最大容积是多少 分析 解决实际应用问题 首先要分析并列出函数关系 要注意根据实际意义写出定义域 求函数值的变化情况即单调性 求导判断导数符号即可 求最值就是求导 解方程求出极值点 最后通过比较函数值写出最值 解 求导得 令 得 分析可知 x 8是极大值点 极大值为 V f x 在上递增 在上递减 由表知 2 由函数的单调性和图像可知 x 8时最大值点 此时 V f 8 即当截去小正方形边长为8cm时 得到最大容积为 日常生活中 人们常常会遇到这样的一些问题 在一定条件下 怎样使得 用料最省 利润最大 成本最低 选址最优 等等 这类问题一般都可以利用导数的知识得到解决 概括总结 练习 3 设一容积V一定的有铝合金盖的圆柱形铁桶 已知单位面积铝合金的价格是铁的3倍 问如何设计使得总造价最小 提示 设圆柱高h 底半径r 单位面积铁的造价为m 桶总造价为y 则 动手做一做 1 函数的最值是一个整体性概念 最大值必须是整个区间上所有函数值中的最大者 最小值必须是整个区间上所有函数值中的最小者 2 函数的最大值和最小值是比较整个定义区间的所有函数值得到的 极大值和极小值是比较极值点附近的函数值得出的 极值可以有多个 但最值只能有一个 极值只能在区间内取得 最值可以在端点取得 注意 概括总结 返回 小结 若是在上的最大 小 值点 则不小 大 于在此区间上的所有函数值 函数的最大 小 值 求最值的步