高三数学二轮复习 第一篇 专题突破 专题六 解析几何刺 第2讲 椭圆、双曲线、抛物线第2课时 圆锥曲线中的综合问题课件 文.ppt

第2课时圆锥曲线中的综合问题 总纲目录 考点一定点问题证明直线过定点的基本思想是使用一个参数表示直线方程 根据方程的成立与参数值无关得出x y的方程组 以方程组的解为坐标的点就是直线所过的定点 典型例题 2017课标全国 理 20 12分 已知椭圆c 1 a b 0 四点p1 1 1 p2 0 1 p3 p4中恰有三点在椭圆c上 1 求c的方程 2 设直线l不经过p2点且与c相交于a b两点 若直线p2a与直线p2b的斜率的和为 1 证明 l过定点 又由 知 c不经过点p1 所以点p2在c上 因此解得故c的方程为 y2 1 2 设直线p2a与直线p2b的斜率分别为k1 k2 如果l与x轴垂直 设l x t 由题设知t 0 且 t 2 可得a b的坐标分别为 则k1 k2 1 得t 2 不符合题设 解析 1 由于p3 p4两点关于y轴对称 故由题设知c经过p3 p4两点 从而可设l y kx m m 1 将y kx m代入 y2 1得 4k2 1 x2 8kmx 4m2 4 0 由题设可知 16 4k2 m2 1 0 设a x1 y1 b x2 y2 则x1 x2 x1x2 而k1 k2 由题设k1 k2 1 故 2k 1 x1x2 m 1 x1 x2 0 即 2k 1 m 1 0 解得k 当且仅当m 1时 0 于是l y x m 即y 1 x 2 所以l过定点 2 1 跟踪集训 2017河南郑州质量预测 三 已知动圆m恒过点 0 1 且与直线y 1相切 1 求圆心m的轨迹方程 2 动直线l过点p 0 2 且与点m的轨迹交于a b两点 点c与点b关于y轴对称 求证 直线ac恒过定点 解析 1 由题意得点m与点 0 1 的距离始终等于点m与直线y 1的距离 由抛物线定义知圆心m的轨迹为以点 0 1 为焦点 直线y 1为准线的抛物线 则 1 p 2 圆心m的轨迹方程为x2 4y 2 证明 由题意知直线l的斜率存在 设直线l y kx 2 a x1 y1 b x2 y2 则c x2 y2 由得x2 4kx 8 0 x1 x2 4k x1x2 8 kac 直线ac的方程为y y1 x x1 即y y1 x x1 x x x1x2 8 y x x 2 则直线ac恒过点 0 2 考点二定值问题定值问题就是证明一个量与其中的变化因素无关 这些变化因素可能是直线的斜率 截距 也可能是动点的坐标等 这类问题的一般解法是使用变化的量表达求证目标 通过运算求证目标的取值与变化的量无关 典型例题 2015课标 20 12分 已知椭圆c 1 a b 0 的离心率为 点 2 在c上 1 求c的方程 2 直线l不过原点o且不平行于坐标轴 l与c有两个交点a b 线段ab的中点为m 证明 直线om的斜率与直线l的斜率的乘积为定值 解析 1 由题意有 1 解得a2 8 b2 4 所以c的方程为 1 2 设直线l y kx b k 0 b 0 a x1 y1 b x2 y2 m xm ym 将y kx b代入 1得 2k2 1 x2 4kbx 2b2 8 0 故xm ym k xm b 于是直线om的斜率kom 即kom k 所以直线om的斜率与直线l的斜率的乘积为定值 圆锥曲线中定值问题的特点及两大解法 1 特点 特征几何量不受动点或动线的影响而有固定的值 2 两大解法 从特殊入手 求出定值 再证明这个值与变量无关 引进变量法 其解题流程为 方法归纳 跟踪集训已知抛物线c y2 2px p 0 的焦点f 1 0 o为坐标原点 a b是抛物线c上异于o的两点 1 求抛物线c的方程 2 若oa ob 求证 直线ab过定点 解析 1 依题意知 1 p 2 则抛物线c的方程为y2 4x 2 证明 依题意知 设ab x ty m a x1 y1 b x2 y2 由于oa ob 则 x1x2 y1y2 0 由得y2 4ty 4m 0 y1y2 4m x1x2 m2 代入 式 得m2 4m 0 m 0或4 a b是抛物线上异于o的两点 m 0不合题意 因此m 4 直线ab的方程为x ty 4 直线ab过定点 4 0 考点三最值 范围问题圆锥曲线中常见的最值问题及其解法 1 两类最值问题 涉及距离 面积的最值以及与之相关的一些问题 求直线或圆锥曲线中几何元素的最值以及这些元素存在最值时确定与之相关的一些问题 2 两种常见解法 几何法 若题目的条件和结论能明显体现几何特征及意义 则考虑利用图形性质来解决 代数法 若题目的条件和结论能体现一种确定的函数关系 则可先建立目标函数 再求这个函数的最值 最值常用基本不等式法 配方法及导数法求解 典型例题 的点p x y 过点b作直线ap的垂线 垂足为q 1 求直线ap斜率的取值范围 2 求 pa pq 的最大值 2017浙江 21 15分 如图 已知抛物线x2 y 点a b 抛物线上 解析 1 设直线ap的斜率为k k x 因为 x 所以直线ap斜率的取值范围是 1 1 2 解法一 联立直线ap与bq的方程解得点q的横坐标是xq 因为 pa k 1 pq xq x 所以 pa pq k 1 k 1 3 令f k k 1 k 1 3 因为f k 4k 2 k 1 2 所以f k 在区间上单调递增 上单调递减 因此当k 时 pa pq 取得最大值 解法二 如图 连接bp ap pq ap pb cos bpq 易知p x x2 则 2x 1 2x2 2x2 2x x2 x x4 x2 x4 x2 x ap pq x4 x2 x 设f x x4 x2 x 则f x 4x3 3x 1 x 1 2x 1 2 f x 在上为增函数 在上为减函数 f x max f 1 故 ap pq 的最大值为 求解范围 最值问题的常见方法解决有关范围 最值问题时 先要恰当地引入变量 如点的坐标 角 斜率等 建立目标函数 然后利用函数的有关知识和方法求解 1 利用判别式构造不等式 从而确定参数的取值范围 2 利用已知参数的取值范围 求新参数的范围 解这类问题的核心是在两个参数之间建立相等关系 3 利用隐含的不等关系 从而求出参数的取值范围 4 利用已知不等关系构造不等式 从而求出参数的取值范围 5 利用函数值域的求法 确定参数的取值范围 方法归纳 跟踪集训已知中心在原点 焦点在y轴上的椭圆c 其上一点p到两个焦点f1 f2的距离之和为4 离心率为 1 求椭圆c的方程 2 若直线y kx 1与曲线c交于a b两点 求 oab面积的取值范围 解析 1 设椭圆的标准方程为 1 a b 0 由条件可得a 2 c 则b 1 故椭圆c的方程为 x2 1 2 设a x1 y1 b x2 y2 由得 k2 4 x2 2kx 3 0 故x1 x2 x1x2 设 oab的面积为s 由x1x2 0 y t 在t 3 上单调递增 t 0 s 考点四探索性问题1 解析几何中的探索性问题 从类型上看 主要是存在类型的相关题型 解决这类问题通常采用 肯定顺推法 将不确定性问题明朗化 其步骤为 假设满足条件的元素 点 直线 曲线或参数 存在 用待定系数法设出 列出关于待定系数的方程组 若方程组有实数解 则元素 点 直线 曲线或参数 存在 否则 元素 点 直线 曲线或参数 不存在 2 反证法与验证法也是求解存在性问题常用的方法 典型例题 2017湖南湘中名校联考 如图 曲线c由上半椭圆c1 1 a b 0 y 0 和部分抛物线c2 y x2 1 y 0 连接而成 c1与c2的公共点为a b 其中c1的离心率为 1 求a b的值 2 过点b的直线l与c1 c2分别交于点p q 均异于点a b 是否存在直线l 使得以pq为直径的圆恰好过点a 若存在 求出直线l的方程 若不存在 请说明理由 解析 1 在c1 c2的方程中 令y 0 可得b 1 且a 1 0 b 1 0 是上半椭圆c1的左 右顶点 由e 及a2 c2 b2 1可得a 2 a 2 b 1 2 存在 由 1 知 上半椭圆c1的方程为 x2 1 y 0 由题易知 直线l与x轴不重合也不垂直 设其方程为y k x 1 k 0 代入c1的方程 整理得 k2 4 x2 2k2x k2 4 0 设点p的坐标为 xp yp 直线l过点b x 1是方程 的一个根 由求根公式 得xp 从而yp 点p的坐标为 同理 由得点q的坐标为 k 1 k2 2k k 4 k 1 k 2 连接ap aq 依题意可知ap aq 0 即 k 4 k 2 0 k 0 k 4 k 2 0 解得k 经检验 k 符合题意 故直线l的方程为y x 1 解决探索性问题的注意事项存在性问题 先假设存在 推证满足条件的结论 若结论正确 则存在 若结论不正确 则不存在 1 当条件和结论不唯一时 要分类讨论 2 当给出结论要推导出存在的条件时 先假设成立 再推出条件 3 当条件和结论都未知 按常规方法解题很难时 要思维开放 采取其他的途径 方法归纳 跟踪集训已知曲线t y2 1 y 0 点m 0 n 0 1 是否存在经过点 0 且斜率为k的直线l与曲线t有两个不同的交点p和q 使得向量 与共线 若存在 求出k的值 若不存在 请说明理由 解析假设存在 则l y kx 代入椭圆方程得 1 2k2 x2 4kx 2 0 因为l与椭圆有两个不同的交点 所以 4k 2 8 1 2k2 0 解得k2 由题意知直线l不经过椭圆的左 右顶点 即k 1 亦即k2 且k2 1 设p x1 y1 q x2 y2 则x1 x2 得y1 y2 k x1 x2 2 2 所以 x1 x2 y1 y2 又 1 向量 与共线等价于x1 x2 y1 y2 所以 解得k 不符合题意 所以不存在这样的直线 k 0 的直线交e于a m两点 点n在e上 ma na 1 当 am an 时 求 amn的面积 2 当2 am an 时 证明 k 2 2016课标全国 21 12分 已知a是椭圆e 1的左顶点 斜率为k 随堂检测 解析 1 设m x1 y1 则由题意知y1 0 由已知及椭圆的对称性知 直线am的倾斜角为 又a 2 0 因此直线am的方程为y x 2 将x y 2代入 1得7y2 12y 0 解得y 0或y 所以y1 因此 amn的面积s amn 2 2 证明 将直线am的方程y k x 2