中考数学压轴题 二次函数动点问题（二）.doc

2012中考数学压轴题 二次函数动点问题（二）1.如图，在直角坐标系中，点为函数在第一象限内的图象上的任一点，点的坐标为，直线过且与轴平行，过作轴的平行线分别交轴，于，连结交轴于，直线交轴于（1）求证：点为线段的中点；（2）求证：四边形为平行四边形；平行四边形为菱形；（3）除点外，直线与抛物线有无其它公共点？并说明理由（08江苏镇江28题解析）（1）法一：由题可知，即为的中点法二：又轴，（2）由（1）可知，又，四边形为平行四边形设，轴，则，则过作轴，垂足为，在中，平行四边形为菱形（3）设直线为，由，得，代入得： 直线为设直线与抛物线的公共点为，代入直线关系式得：，解得得公共点为所以直线与抛物线只有一个公共点2.如图13，已知抛物线经过原点o和x轴上另一点a,它的对称轴x=2 与x轴交于点c，直线y=-2x-1经过抛物线上一点b(-2,m)，且与y轴、直线x=2分别交于点d、e.（1）求m的值及该抛物线对应的函数关系式；（2）求证： cb=ce ； d是be的中点；（3）若p(x，y)是该抛物线上的一个动点，是否存在这样的点p,使得pb=pe,若存在，试求出所有符合条件的点p的坐标；若不存在，请说明理由.（1） 点b(-2,m)在直线y=-2x-1上， m=-2(-2)-1=3. b(-2,3) 抛物线经过原点o和点a，对称轴为x=2， 点a的坐标为(4,0) . 设所求的抛物线对应函数关系式为y=a(x-0)(x-4). 将点b(-2,3)代入上式，得3=a(-2-0)(-2-4)， . 所求的抛物线对应的函数关系式为，即. （2）直线y=-2x-1与y轴、直线x=2的交点坐标分别为d(0,-1) e(2,-5). 过点b作bgx轴，与y轴交于f、直线x=2交于g， 则bg直线x=2，bg=4.abcodexyx=2gfh 在rtbgc中，bc=. ce=5， cb=ce=5. 过点e作ehx轴，交y轴于h，则点h的坐标为h(0,-5).又点f、d的坐标为f(0,3)、d(0,-1)， fd=dh=4，bf=eh=2，bfd=ehd=90. dfbdhe （sas）， bd=de.，即d是be的中点. （3） 存在. 由于pb=pe， 点p在直线cd上， 符合条件的点p是直线cd与该抛物线的交点. 设直线cd对应的函数关系式为y=kx+b. 将d(0,-1) c(2,0)代入，得. 解得 . 直线cd对应的函数关系式为y=x-1. 动点p的坐标为(x，)， x-1=. 解得 ，. ，. 符合条件的点p的坐标为(，)或(，).3.如图，在平面直角坐标系中，抛物线=+经过a（0，4）、b（，0）、 c（，0）三点，且-=5（1）求、的值；（4分）（2）在抛物线上求一点d，使得四边形bdce是以bc为对角线的菱形；（3分）（3）在抛物线上是否存在一点p，使得四边形bpoh是以ob为对角线的菱形？若存在，求出点p的坐标，并判断这个菱形是否为正方形？若不存在，请说明理由（3分） 解：（1）解法一：抛物线=+经过点a（0，4）， =4 又由题意可知，、是方程+=0的两个根，+=， =6由已知得（-）=25，又（-）=（+）4=24 24=25， 解得=当=时，抛物线与轴的交点在轴的正半轴上，不合题意，舍去= 解法二：、是方程+c=0的两个根， 即方程23+12=0的两个根=，=5，解得 = （2）四边形bdce是以bc为对角线的菱形，根据菱形的性质，点d必在抛物线的对称轴上， 又=4=（+）+ 抛物线的顶点（，）即为所求的点d （3）四边形bpoh是以ob为对角线的菱形，点b的坐标为（6，0），根据菱形的性质，点p必是直线=-3与抛物线=-4的交点， 当=3时，=（3）（3）4=4， 在抛物线上存在一点p（3，4），使得四边形bpoh为菱形 四边形bpoh不能成为正方形，因为如果四边形bpoh为正方形，点p的坐标只能是（3，3），但这一点不在抛物线上4.已知：如图14，抛物线与轴交于点，点，与直线相交于点，点，直线与轴交于点（1）写出直线的解析式（2）求的面积（3）若点在线段上以每秒1个单位长度的速度从向运动（不与重合），同时，点在射线上以每秒2个单位长度的速度从向运动设运动时间为秒，请写出的面积与的函数关系式，并求出点运动多少时间时，的面积最大，最大面积是多少？（解析）解：（1）在中，令， ，又点在上 的解析式为（2） 由，得 ， ，（3）过点作于点 由直线可得：在中，则，此抛物线开口向下，当时，当点运动2秒时，的面积达到最大，最大为5.如图，二次函数的图象经过点d(0，)，且顶点c的横坐标为4，该图象在x轴上截得的线段ab的长为6（1）求该二次函数的解析式；（2）在该抛物线的对称轴上找一点p，使papd最小，求出点p的坐标；（3）在抛物线上是否存在点q，使qab与abc相似？如果存在，求出点q的坐标；如果不存在，请说明理由解：（1）设该二次函数的解析式为ya(xh)2k顶点c的横坐标为4，且过点d(0，)16ak 又对称轴为直线x4，图象在x轴上截得的线段ab的长为6a(1，0)，b(7，0) 09ak 由解得a，k 该二次函数的解析式为y(x4)2（2） 点a、b关于直线x4对称，papb papdpbpddb当点p在线段db上时，papd取得最小值db与对称轴的交点即为所求的点p，如图1设直线x4与x轴交于点mpmod，bpmbdo， 又pbmdbo，bpmbdo，即，pm点p的坐标为(4，)（3）由（1）知点c(4，)，又am3，在rtacm中，tanacm，acm60acbc，acb120如图2，当点q在x轴上方时，过q作qnx轴于n如果abbq，由abcabq，得bq6，abq120qbn60 qn，bn3，on10 此时点q的坐标为(10，)(104)2，点q在抛物线上如果abaq，由对称性知q(2，)，且也在抛物线上当点q在x轴下方时，qab就是acb此时点q的坐标为(4，)综上所述，在抛物线上存在点q，使qab与abc相似点q的坐标为(10，)或(2，)或(4，)2012中考数学压轴题选讲（二）1.如图，在直角坐标系中，点为函数在第一象限内的图象上的任一点，点的坐标为，直线过且与轴平行，过作轴的平行线分别交轴，于，连结交轴于，直线交轴于（1）求证：点为线段的中点；（2）求证：四边形为平行四边形；平行四边形为菱形；（3）除点外，直线与抛物线有无其它公共点？并说明理由2.如图13，已知抛物线经过原点o和x轴上另一点a,它的对称轴x=2 与x轴交于点c，直线y=-2x-1经过抛物线上一点b(-2,m)，且与y轴、直线x=2分别交于点d、e.（1）求m的值及该抛物线对应的函数关系式；（2）求证： cb=ce ； d是be的中点；（3）若p(x，y)是该抛物线上的一个动点，是否存在这样的点p,使得pb=pe,若存在，试求出所有符合条件的点p的坐标；若不存在，请说明理由.3.如图，在平面直角坐标系中，抛物线=+经过a（0，4）、b（，0）、 c（，0）三点，且-=5（1）求、的值；（4分）（2）在抛物线上求一点d，使得四边形bdce是以bc为对角线的菱形；（3分）（3）在抛物线上是否存在一点p，使得四边形bpoh是以ob为对角线的菱形？若存在，求出点p的坐标，并判断这个菱形是否为正方形？若不存在，请说明理由（3分） 4.已知：如图14，抛物线与轴交于点，点，与直线相交于点，点，直线与轴交于点（1）写出直线的解析式（2）求的面积（3）若点在线段上以每秒1个单位长度的速度从向运动（不与重合），同时，点在射线上以每秒2个单位长度的速度从向运动设运动时间为秒，请写出的面积与的函数关系式，并求出点运动多少