2018-2019学年高中数学_第二章 点、直线、平面之间的位置关系 2.3.3-2.3.4 直线与平面垂直的性质 平面与平面垂直的性质课件 新人教a版必修2

2 3 3直线与平面垂直的性质2 3 4平面与平面垂直的性质 目标导航 新知探求 课堂探究 新知探求 素养养成 点击进入情境导学 知识探究 1 直线与平面垂直的性质定理 a b 平行 探究1 1 垂直于同一个平面的两条直线一定共面吗 2 三角形的两边可以垂直于同一个平面吗 3 过一点有几条直线与已知平面垂直 答案 1 共面 由线面垂直的性质定理可知这两条直线是平行的 故能确定一个平面 2 不可以 若三角形的两边垂直于同一个平面 则这两条边平行 不能构成三角形 3 有且仅有一条 假设过一点有两条直线与已知平面垂直 由直线与平面垂直的性质定理可得这两条直线平行 应无公共点 这与过同一点相矛盾 故只有一条直线 2 平面与平面垂直的性质定理 a l 垂直于交线 探究2 1 如果 则 内的直线必垂直于 内的无数条直线吗 2 如果 过 内的任意一点作 与 交线的垂线 则这条直线必垂直于 吗 答案 1 正确 若设 l a b b l 则a b 故 内与b平行的无数条直线均垂直于 内的任意直线 2 错误 垂直于交线的直线必须在平面 内才与平面 垂直 否则不垂直 自我检测 1 面面垂直的性质定理 已知直线m n和平面 若 m n 要使n 则应增加的条件是 A m n B n m C n D n B 2 线面垂直的性质定理 在正方体ABCD A1B1C1D1中 直线l 平面A1C1 l与棱不重合 则 A B1B l B B1B l C B1B与l异面 D B1B与l相交 B 3 线面 面面垂直的综合应用 已知m n是两条不同的直线 是两个不同的平面 且m n 则下列叙述正确的是 A 若 则m n B 若m n 则 C 若n 则m D 若m 则 4 面面垂直的性质定理 下列命题中错误的是 A 如果平面 平面 那么平面 内一定存在直线平行于平面 B 如果平面 不垂直于平面 那么平面 内一定不存在直线垂直于平面 C 如果平面 平面 平面 平面 l 那么l 平面 D 如果平面 平面 那么平面 内所有直线都垂直于平面 D D 5 面面垂直的性质定理 已知m n l是直线 是平面 l n n l m 则直线m与n的位置关系是 答案 平行 6 线面 面面垂直的应用 设 是空间两个不同的平面 m n是平面 及 外的两条不同直线 从 m n n m 中选取三个作为条件 余下一个作为结论 写出你认为正确的一个命题 用序号表示 答案 或 题型一 直线与平面垂直的性质定理的应用 例1 1 已知两条直线m n 两个平面 给出下面四个命题 m n m n m n m n m n m n m n m n 其中正确命题的序号是 A B C D 课堂探究 素养提升 1 解析 由线面垂直的性质定理可知 正确 对于 当 m n 时 m与n可能平行也可能异面 故 不正确 对于 当m n m 时 n 或n 故 不正确 对于 由m n m 得n 又 所以n 故 正确 故选C 2 如图所示 在正方体ABCD A1B1C1D1中 M是AB上的一点 N是A1C的中点 MN 平面A1DC 求证 MN AD1 2 证明 因为ABCD A1B1C1D1为正方体 所以AD1 A1D 又因为CD 平面ADD1A1 AD1 平面ADD1A1 所以CD AD1 因为A1D CD D 所以AD1 平面A1DC 又因为MN 平面A1DC 所以MN AD1 M是AB的中点 方法技巧证明两条直线平行的方法常见的有 1 公理4 平行于同一条直线的两条直线平行 2 线面平行的性质定理 如果一条直线与一个平面平行 那么经过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行 3 面面平行的性质定理 如果两个平行平面同时和第三个平面相交 那么它们的交线平行 4 线面垂直的性质定理 垂直于同一个平面的两条直线平行 即时训练1 1 如图 已知AB 平面ACD DE 平面ACD ACD为等边三角形 AD DE 2AB F为CD的中点 求证 平面BCE 平面CDE 备用例1 如图所示 已知矩形ABCD 过A作SA 平面AC 再过A作AE SB交SB于点E 过点E作EF SC交SC于点F 1 求证 AF SC 证明 1 因为SA 平面AC BC 平面AC 所以SA BC 因为ABCD为矩形 所以AB BC 又SA AB A 所以BC 平面SAB 所以BC AE 又SB AE BC SB B 所以AE 平面SBC 所以AE SC 又EF SC AE EF E 所以SC 平面AEF 所以AF SC 2 若平面AEF交SD于点G 求证 AG SD 证明 2 因为SA 平面AC 所以SA DC 又AD DC SA AD A 所以DC 平面SAD 所以DC AG 又由 1 有SC 平面AEF AG 平面AEF 所以SC AG 又DC SC C 所以AG 平面SDC 所以AG SD 题型二 平面与平面垂直的性质定理的应用 例2 12分 如图 P是四边形ABCD所在平面外一点 四边形ABCD是 DAB 60 且边长为a的菱形 侧面PAD为正三角形 其所在平面垂直于底面ABCD 规范解答 1 如图所示 连接BD 因为四边形ABCD是菱形 且 DAB 60 所以 ABD是正三角形 2分因为G是AD的中点 所以BG AD 3分又因为平面PAD 平面ABCD 平面PAD 平面ABCD AD 所以BG 平面PAD 6分 1 若G为AD边的中点 求证 BG 平面PAD 2 求证 AD PB 规范解答 2 连接PG 因为 PAD为正三角形 G为AD的中点 所以PG AD 7分由 1 知BG AD 而PG BG G PG 平面PBG BG 平面PBG 所以AD 平面PBG 10分又因为PB 平面PBG 所以AD PB 12分 方法技巧利用面面垂直的性质定理 证明线面垂直的问题时 要注意以下三点 1 两个平面垂直 2 直线必须在其中一个平面内 3 直线必须垂直于它们的交线 即时训练2 1 已知 如图 平面PAB 平面ABC 平面PAC 平面ABC AE 平面PBC E为垂足 证明 1 在平面ABC内任取一点D 作DF AC于点F 作DG AB于点G 因为平面PAC 平面ABC 且交线为AC 所以DF 平面PAC 因为PA 平面PAC 所以DF PA 同理可证 DG PA 因为DG DF D 所以PA 平面ABC 1 求证 PA 平面ABC 证明 2 连接BE并延长交PC于点H 因为E是 PBC的垂心 所以PC BH 又因为AE 平面PBC 所以PC AE 因为BH AE E 所以PC 平面ABE 所以PC AB 又因为PA 平面ABC 所以PA AB 因为PA PC P 所以AB 平面PAC 所以AB AC 即 ABC是直角三角形 2 当E为 PBC的垂心时 求证 ABC是直角三角形 备用例2 如图 平行四边形ABCD中 BD 2 AB 2 AD 4 将 BCD沿BD折起到 EBD的位置 使平面EBD 平面ABD 1 求证 AB DE 2 求三棱锥E ABD的侧面积 题型三 线面 面面垂直的综合问题 例3 如图 三角形PDC所在的平面与长方形ABCD所在的平面垂直 PD PC 4 AB 6 BC 3 1 证明 BC 平面PDA 1 证明 因为长方形ABCD中 BC AD 又BC 平面PDA AD 平面PDA 所以BC 平面PDA 2 证明 取CD的中点H 连接PH 因为PD PC 所以PH CD 又因为平面PDC 平面ABCD 平面PDC 平面ABCD CD 所以PH 平面ABCD 又因为BC 平面ABCD 所以PH BC 又因为长方形ABCD中 BC CD PH CD H 所以BC 平面PDC 又因为PD 平面PDC 所以BC PD 2 证明 BC PD 3 求点C到平面PDA的距离 方法技巧直线 平面之间的平行 垂直关系是重点考查的位置关系 当已知线面 面面垂直或平行时考虑用性质定理转化 要证线面 面面垂直或平行时要用判定定理进行论证 即时训练3 1 如图 在矩形ABCD中 AB 2BC P Q分别为线段AB CD的中点 EP 平面ABCD 1 求证 AQ 平面CEP 2 求证 平面AEQ 平面DEP 证明 2 因为EP 平面ABCD AQ 平面ABCD 所以AQ EP 因为AB 2BC P为AB的中点 所以AP AD 连接PQ 则四边形ADQP为正方形 所以AQ DP 又EP DP P 所以AQ 平面DEP 因为AQ 平面AEQ 所以平面AEQ 平面DEP 题型四 易错辨析 推理不严谨致误 例4 求证 如果一个平面与另一个平面的垂面平行 那么这两个平面互相