习题2.2.doc

对数函数概述一般地，如果a（a大于0，且a不等于1）的b次幂等于N，那么数b叫做以a为底N的对数，记作log aN=b,读作以a为底N的对数，其中a叫做对数的底数，N叫做真数。一般地，函数y=log(a)X，（其中a是常数，a0且a不等于1）叫做对数函数，它实际上就是指数函数的反函数，可表示为x=ay。因此指数函数里对于a的规定，同样适用于对数函数。1定义真数式子没根号那就只要求真数式大于零，如果有根号，要求真数大于零还要保证根号里的式子大于零，底数则要大于0且不为1 。对数函数的底数为什么要大于0且不为1？【在一个普通对数式里 a0，N0，那么：（1）log(a)(MN)=log(a)(M)+log(a)(N);（2）log(a)(M/N)=log(a)(M)-log(a)(N);（3）log(a)(Mn)=nlog(a)(M) （n属于R）（4）log(ak)(Mn)=(n/k)log(a)(M) （n属于R）（5） alog(a)(N)=N对数与指数之间的关系当a大于0，a不等于1时，a的X次方=N等价于log(a)N=xlog(ak)(Mn)=(n/k)log(a)(M) （n属于R）换底公式（很重要）log(a)(N)=log(b)(N)/log(b)(a)= lnN/lna=lgN/lgaln 自然对数 以e为底 e为无限不循环小数(通常情况下只取e=2.71828)lg 常用对数 以10为底折叠编辑本段运算性质一般地，如果a（a0，且a1）的b次幂等于N，那么数b叫做以a为底N的对数，记作log(a)（N）=b，其中a叫做对数的底数，N叫做真数。 对数函数化简问题底数则要0且1 真数0并且，在比较两个函数值时：如果底数一样，真数越大，函数值越大。（a1时）如果底数一样，真数越大，函数值越小。（0a0且a1时，M0,N0，那么：（1）log(a)(MN)=log(a)(M)+log(a)(N);（2）log(a)(M/N)=log(a)(M)-log(a)(N);（3）log(a)(Mn)=nlog(a)(M) （nR）（6）换底公式：log(A)M=log(b)M/log(b)A (b0且b1）设a=nx则a(log(b)n)=（nx）log(b)n=n（xlog(b)n）=nlog(b)（nx）=n(log(b)a)log（a）ab=b 证明：设alog（a)N=X，log（a)N=log（a)X，N=X（9）由幂的对数的运算性质可得(推导公式)对数与指数之间的关系对数函数与指数函数互为反函数当a0且a1时，ax=N x=(a)N关于x=y对称折叠编辑本段表达方式（1）常用对数：lg(b)=log(10)(b)（2）自然对数:ln(b)=log(e)(b)通常情况下只取e=2.71828对数函数的定义对数函数的一般形式为 y=(a)x，它实际上就是指数函数的反函数(图象关于直线y=x对称的两函数互为反函数），可表示为x=ay。因此指数函数里对于a的规定（a0且a1），右图给出对于不同大小a所表示的函数图形： 关于X轴对称、可以看到对数函数的图形只不过的指数函数的图形的关于直线y=x的对称图形，因为它们互为反函数。折叠编辑本段性质定义域求解：对数函数y=loga x 的定义域是x x0，但如果遇到对数型复合函数的定义域的求解，除了要注意真数大于0以外，还应注意底数大于0且不等于1，如求函数y=logx（2x-1）的定义域，需满足x0且x1 。2x-10 ，x1/2且x1，即其定义域为 x x1/2且x1值域：实数集R定点：函数图像恒过定点（1，0）。单调性：a1时，在定义域上为单调增函数，并且上凸对数的图像0a0,a1，b0）当0a1, 0b0;当a1, b1时，y=log（a）b0;当0a1时，y=log（a）b1, 0b1时，y=log（a）b0,a!=1-(log a(x)=lim(x)(log a(x+x)-log a(x)/x)=lim(x)(1/x*x/x*log a(x+x)/x)=lim(x)(1/x*log a(1+x/x)(x/x)=1/x*lim(x)(log a(1+x/x)(x/x)=1/x*log a(lim(x0)(1+x/x)(x/x)=1/x*log a(e)特殊地，当a=e时，(log a(x)=(ln x)=1/x。-设y=ax两边取对数ln y=xln a两边对求x导y/y=ln ay=yln a=axln a特殊地，当a=e时，y=(ax)=(ex)=exln e=ex。（1）对数函数的定义域为大于0