导数与函数的综合(提高).doc

导数与函数的综合（提高）知识升华考点一、求切线方程的一般方法，可分两步：（1）求出函数在处的导数；（2）利用直线的点斜式得切线方程。要点诠释：求切线方程，首先要判断所给点是否在曲线上.若在曲线上，可用上法求解；若不在曲线上，可设出切点，写出切线方程，结合已知条件求出切点坐标，从而得方程.考点二、判定函数的单调性（1）函数的单调性与其导数的关系设函数y=f(x)在某个区间内可导，则当时，y=f(x)在相应区间上为增函数；当时，y=f(x) 在相应区间上为减函数；当恒有时，y=f(x)在相应区间上为常数函数。要点诠释：在区间(a,b)内，是f(x)在(a，b)内单调递增的充分不必要条件！例如：而f(x)在R上递增。学生易误认为只要有点使，则f(x)在(a，b)上是常函数，要指出个别导数为零不影响函数的单调性，同时要强调只有在这个区间内恒有，这个函数y=f(x)在这个区间上才为常数函数。要关注导函数图象与原函数图象间关系。（2）利用导数判断函数单调性的基本步骤(1) 确定函数f(x)的定义域；(2) 求导数；(3) 在定义域内解不等式；(4) 确定f(x)的单调区间。考点三、求函数的极值与最值（1）极值的概念一般地，设函数y=f(x)在x=x0及其附近有定义，(1)如果对于x0附近的所有点，都有：f(x)f(x0)，称f(x0)为函数f(x)的个极小值，记作y极小值=f(x0)。极大值与极小值统称极值。在定义中，取得极值的点称为极值点，极值点是自变量的值，极值指的是函数值。要点诠释：在函数的极值定义中，一定要明确函数y=f(x)在x=x0及其附近有定义，否则无从比较。函数的极值是就函数在某一点附近的小区间而言的，是一个局部概念，在函数的整个定义域内可能有多个极值，也可能无极值。由定义，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小，并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小。极大值与极小值之间无确定的大小关系。即一个函数的极大值未必大于极小值。极小值不一定是整个定义区间上的最小值。函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点。而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点。连续函数的某一点是极值点的充要条件是该点两侧的导数异号。我们主要讨论可导函数的极值问题，但是函数的不可导点也可能是极值点。如某些间断点也可能是极值点，再如y=|x|，x=0。可导函数在某点取得极值，则该点的导数一定为零，反之不成立。在函数取得极值处，如果曲线有切线的话，则切线是水平的，从而有。但反过来不一定。如函数y=x3，在x=0处，曲线的切线是水平的，但这点的函数值既不比它附近的点的函数值大，也不比它附近的点的函数值小。（2）求极值的步骤确定函数的定义域；求导数；求方程的根；检查在方程根左右的值的符号，如果左正右负，则f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，则f(x)在这个根处取得极小值。 (最好通过列表法)考点四、求函数的最值函数的最值表示函数在定义域内值的整体情况。连续函数f(x)在闭区间a,b上必有一个最大值和一个最小值，但是最值点可以不唯一；但在开区间(a，b)内连续的函数不一定有最大值和最小值。（1）最值与极值的区别与联系：函数最大值和最小值是比较整个定义域上的函数值得出的，是整个定义区间上的一个概念，而函数的极值则是比较极值点附近两侧的函数值而得出的，是局部的概念；极值可以有多个，最大(小)值若存在只有一个；极值只能在区间内取得，不能在区间端点取得；而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点。有极值的函数不一定有最值，有最值的函数未必有极值，极值可能成为最值。（2）在区间a，b上求函数y=f(x)的最大与最小值的步骤求函数y=f(x)在(a，b)内的导数求函数y=f(x)在(a，b)内的极值将函数y=f(x)在(a，b)内的极值与区间两端的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值。典型例题类型一：导数的几何意义和物理意义1在曲线C：上，求斜率最小的切线所对应的切点，并证明曲线C关于该点对称。 【思路点拨】注意到P，Q的任意性，由此断定曲线C关于点A成中心对称。【解析】（1） 当时，取得最小值-13 又当时， 斜率最小的切线对应的切点为A（2，-12）；（2）证明：设为曲线C上任意一点，则点P关于点A的对称点Q的坐标为 且有 将代入的解析式得 ， 点坐标为方程的解 变式1】已知曲线，其中，且均为可导函数，求证：两曲线在公共点处相切。 【证明】注意到两曲线在公共点处相切当且仅当它们在公共点处的切线重合，设上述两曲线的公共点为，则有，于是，对于有； 对于，有 由得，由得 ，即两曲线在公共点处的切线斜率相等，两曲线在公共点处的切线重合，两曲线在公共点处相切。【变式2】求曲线的分别满足下列条件的切线：（1）在点的切线；（2）过点的切线； 【解析】（1）时，在点的切线的切线的斜率， 在点的切线为，即.（2）当切点为点时，切线为 当切点不是点时，设切点为， 则， 解得或（舍去） 切点为的切线为，即， 故过点的切线为或. 【变式3】运动曲线的方程为：，求t=3时的速度，加速度。 【解析】运动曲线的速度为：t=3时的速度：运动曲线的加速度为：t=3时的加速度： 类型二：函数的单调区间2是否存在这样的k值，使函数在区间（1，2）上递减,在（2，）上递增，若存在，求出这样的k值； 【解析】由题意，当时，当时，由函数的连续性可知，即整理得，解得或验证：（）当时， 若，则；若， 则， 符合题意；（）当时， ， 显然不合题意。 综上可知，存在使在（1，2）上递减，在（2，）上递增。3若恰有三个单调区间，试确定的取值范围，并求出这三个单调区间。 【解析】若，则，此时只有一个增区间，与题设矛盾；若，则，此时只有一个增区间，与题设矛盾；若，则并且当时，；当时，综合可知，当时，恰有三个单调区间：减区间；增区间类型三：函数的极值4已知函数f(x)=ax3+bx2-3x在x=1处取得极值。(1)讨论f(1)和f(-1)是函数f(x)的极大值还是极小值；(2)过点A(0,16)作曲线y=f(x)的切线，求此切线的方程。 【解析】(1) 依题意，即，令，得x=-1，x=1，若x(-，-1)(1，+)，则，故f(x)在(-，-1)上是增函数，f(x)在(1，+)上是增函数若x(-1,1)，则，故f(x)在(-1,1)上是减函数所以，f(-1)=2是极大值；f(1)=-2是极小值；(2)曲线方程为y=x3-3x，点A(0,16)不在曲线上设切点为M(x0，y0)，则点M的坐标满足，故切线的方程为注意到点A(0,16)在切线上，有，,解得x0=-2所以切点M(-2，-2)，切线方程为9x-y+16=0 【变式1】已知函数，当且仅当时，取得极值，并且极大值比极小值大4.（1）求常数的值；（2）求的极值。 【解析】（1），令得方程 在处取得极值 或为方程的根， 故有 ，即 又仅当时取得极值， 方程的根只有或， 方程无实根， 即 而当时，恒成立， 的正负情况只取决于的取值情况 当x变化时，与的变化情况如下表：1(1，+)+00+极大值极小值 在处取得极大值，在处取得极小值。 由题意得,整理得 于是将，联立，解得（2）由（1）知， 5已知函数在与x1时都取得极值（1）求a、b的值与函数f（x）的单调区间；（2）若对x1，2，不等式恒成立，求c的取值范围。 【解析】（1）， 由，得 ，b2 ， 函数f（x）的单调区间如下表：x100f（x）极大值极小值 所以函数f（x）的递增区间是与； 递减区间是（2），x1，2， 当时，为极大值， 而，则为最大值 要使（x1，2）恒成立，变式1】设是函数的一个极值点.（）求与的关系式（用表示），并求的单调区间；（）设，.若存在使得成立，求的取值范围. 【解析】（）,由，得 ，即得，令，得或，由于x3是极值点，所以，当，即时，在区间上， 为减函数；在区间上，为增函数；在区间上，为减函数。当，即时，在区间上， 为减函数；在区间上，为增函数；在区间上，为减函数。（）由（）知，当a0时，f (x)在区间（0，3）上的单调递增，在区间（3，4）上单调递减，所以f (x)在区间0，4上的值域是又在区间0，4上是增函数，且它在区间0，4上的值域是，由于，所以只需且，解得.故a的取值范围是（0，）。 类型四：函数的最值6已知函数.(1)求的单调区间；(2)若对，都有，求的取值范围。 【解析】(1) 的定义域为显然，由得当时，在，上单调增，在上单调减当时，在，上单调减，在上单调增.(2)由（1）知，当时，在上单调减，上单调增，且时，所以没有最大值.当时，在上单调增，上单调减，解得【变式1】设，函数的最大值为1,最小值为,求常数的值 【解析】， 令得解得当在上变化时，与的变化情况如下表：-1(-1,0)01+00+极大值极小值当时，取得极大值；当时，取得极小值。由上述表格中展示的的单调性知最大值在与之中，的最小值在和之中，考察差式，即，故的最大值为由此得考察差式，即，的最小值为由此得，解得于是综合以上所述得到所求。7已知的最大值为3，最小值为-29，求的值； 【解析】这里，不然与题设矛盾令，解得或x=4（舍去）（）若，则当时，在内递增； 当时，在内递减又连续，故当时，取得最大值由已知得而此时的最小值为由得（）若，则运用类似的方法可得当时有最小值，故有；又当时，有最大值，由已知得于是综合（）（）得所求或【变式1】设函数f(x)=ax3+bx+c(a0)为奇函数，其图象在点(1，f(1)处的切线与直线x-6y-7=0垂直，导函数的最小值为-12()求a,b,c的值；()求函数f(x)的单调递增区间，并求函数f(x)在-1,3上的最大值和最小值。 【解析】()f(x)为奇函数，f(-x)=-f(x)即-ax3-bx+c=-ax3-bx-c，c=0的最小值为-12，b=-12又直线x-6y-7=0的斜率为因此，a=2,a=2,b=-12,c=0()f(x)=2x3-12x，列表如下：x+0-0+极大极小所以函数f(x)的单调增区间是f(-1)=10， ， f(3)=18f(x)在-1,3上的最大值是f(3)=18，最小值是类型五：导数的实际应用8如右图所示，在二次函数f(x)=4x-x2的图象与x轴所围成图形中有个内接矩形ABCD，求这个矩形面积的最大值。 【解析】设点B的坐标为(x,0)且0x2,f(x)=4x-x2图象的对称轴为x=2, 点C的坐标为(4-x,0),|BC|=4-2x, |BA|=f(x)=4x-x2.矩形面积为y=(4-2x)(4x-x2)=16x-12x2+2x3y=16-24x+6x2=2(3x2-12x+8)令y=0解得，0x2, 取极值点只有一个，当时，矩形面积的最大值答：这个矩形面积的最大值为。【变式1】一艘渔艇停泊在距岸9km处，今需派人送信给距渔艇km处的海岸渔站，如果送信人步行每小时5km，船速每小时4km，问应在何处登岸再步行可以使抵达渔站的时间最省？ 【解析】如图示设A点为渔艇处，BC为海岸线，C为渔站，且AB=9km,设D为海岸线上一点，CD=x，只需将时间T表示为x的函数，由A到C的时间T，则（0x15）（0x15）令T=0，解得x=3，在x=3附近，T由负到正，因此在x=3处取得最小值，又，比较可知T(3)最小。变式2】统计表明，某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量（升）关于行驶速度（千米/小时）的函数解析式可以表示为：已知甲、乙两地相距100千米.（I）当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油多少升？（II）当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少为多少升？ 【解析】（I）当时，汽车从甲地到乙地行驶了小时， 要耗没（升）. 答：当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油17.5升。（II）当速度为千米/小时时，汽车从甲地到乙地行驶了小时，设耗油量为升，依题意得 令，得 当时，是减函数；当时，是增函数. 当时，取到极小值 因为在上只有一个极值，所以它是最小值. 答：当汽车以80千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少，最少为11.25升。 【变式1】已知曲线，其中，且均为可导函数，求证：两曲线在公共点处相切。 答案与解析 【证明】注意到两曲线在公共点处相切当且仅当它们在公共点处的切线重合，设上述两曲线的公共点为，则有，于是，对于