2019年高中数学综合检测试题（含解析）新人教A版必修4.docx

综合检测试题(时间:120分钟满分:150分)一、选择题(本大题共10小题,每小题4分,共40分)1.已知向量=(3,1),=(2,4),则向量等于(C)(A)(5,5) (B)(6,4)(C)(-1,3)(D)(1,-3)解析:向量=(3,1),=(2,4),则向量=-=(2,4)-(3,1)=(-1,3),故选C.2.设(0,),若sin =,则cos 等于(D)(A)(B)(C)(D)解析:因为(0,),sin =,则cos =,故选D.3.将函数y=sin 2x的图象向左平移个单位长度,所得图象的函数解析式为(A)(A)y=sin(2x+)(B)y=sin(2x-)(C)y=sin(2x+)(D)y=sin(2x-)解析:依题意将函数y=sin 2x的图象向左平移个单位长度得到y=sin 2(x+)=sin(2x+),故选A.4.已知a,b为两非零向量,若|a+b|=|a-b|,则a与b的夹角的大小是(D)(A)30(B)45(C)60(D)90解析:若|a+b|=|a-b|,平方得a2+2ab+b2=a2-2ab+b2,即ab=0.又a,b为两非零向量,所以ab,即a与b的夹角的大小是90.故选D.5.下列函数中,最小正周期为,且图象关于直线x=对称的是(B)(A)y=sin(x-)(B)y=sin(2x+)(C)y=cos(x+)(D)y=cos(2x+)解析:函数的最小正周期为,则=,所以=2,据此可得选项A,C错误;考察选项B,D,当x=时,sin(2x+)=sin(2+)=1,满足题意;当x=时,cos(2x+)=cos(2+)=0,不满足题意.故选B.6.设两非零向量a,b的夹角为,若对任意实数,|a+b|的最小值为2,则(B)(A)若|a|确定,则唯一确定(B)若确定,则|a|唯一确定(C)若|b|确定,则唯一确定(D)若确定,则|b|唯一确定解析:令g()=(a+b)2=a2+2ab+2b2,是关于的二次函数,当且仅当=-=-时,g()取得最小值4,所以b2()2-2ab+a2=4,化为a2sin2=4.所以确定,则|a|唯一确定.故选B.7.已知等边ABC的边长为2,P为ABC内(包括三条边上)一点,则(+)的最大值是(A)(A)2(B)(C)0(D)-解析:建立如图所示的平面直角坐标系,则A(0,),B(-1,0),C(1,0),设点P的坐标为(x,y),则=(-x,-y),+=2(-x,-y).故(+)=2(-x,-y)(-x,-y)=2(x2+y2-y)=2x2+(y-)2-,令t=x2+(y-)2,则t表示ABC内(包括三条边上)上的一点P与点(0,)间的距离的平方.结合图形可得当点P与点B或C重合时t可取得最大值,且最大值为tmax=,故(+)的最大值为2(-)=2.选A.8.已知函数f(x)=sin(x+)对任意的xR都有f(-x)=f(+x),若函数g(x)=2cos(x+)-1,则g()的值为(C)(A)-3 (B)1(C)-1 (D)1或-3解析:由f(-x)=f(+x)知函数f(x)的对称轴为x=,即函数f(x)=sin(x+)在x=时取最大值或最小值,f()=1,由sin2(x+)+cos2(x+)=1得cos(+)=0,所以有g()=2cos(+)- 1=-1,故选C.9.设(0,),(0,),且tan =,则(C)(A)2-=(B)2+=(C)2-= (D)2+=解析:因为tan =,则=,即sin -sin sin =cos cos ,所以sin =cos cos +sin sin =cos(-)=cos(-).因为(0,),(0,),tan =,所以-(0,),-(-,),所以-=-,即2-=,故选C.10.已知-,-,0,且sin -cos 2等于()-(),则sin(-)等于(C)(A)-(B)0(C)(D)解析:因为sin -cos 2=()-(),所以cos(-)-()=cos 2-,因为-,-,0,所以-,0,2-,0,构造函数f(x)=cos x-,很明显函数f(x)在区间-,0上单调递增,则-=2,-=,据此可得,sin(-)=sin =.选C.二、填空题(本大题共7小题,多空题每题6分,单空题每题4分,共36分)11.已知弧长为 cm2的弧所对的圆心角为,则这条弧所在的扇形面积为cm2,扇形的周长为cm.解析:由=得R=4,S=42=2,C=2R+=(+8)(cm).答案:2+812.设角的终边过点P(-3,-4),则tan =,=.解析:由三角函数定义r=|OP|=5,tan =,=-.答案:-13.已知(,),sin =,则tan =,=.解析:因为(,),sin =,所以cos =-,tan =-,=-2.答案:-214.=.(用数字作答)解析:=-4.答案:-415.已知cos(+)=,其中为锐角,则sin(-)的值为, cos(-)的值为.解析:由题cos(+)=,得sin(+)=,sin(-)=sin(+)-=sin(+-cos(+=(-)=,cos(-)=cos(+)-=cos(+)+sin(+)= (+)=.答案:16.已知f(x)=sin(x+)(0),f()=f(),且f(x)在区间(,)上有最小值,无最大值,则=.解析:如图所示,因为f(x)=sin(x+),且f()=f(),又f(x)在区间(,)内只有最小值、无最大值,所以f(x)在=处取得最小值.所以+=2k-(kZ).所以=8k-(kZ).因为0,所以当k=1时,=8-=;当k=2时,=16-=,此时在区间(,)内已存在最大值.故=.答案:17.在锐角ABC中,AC=BC=2,=x+y(其中x+y=1),函数f()=|-|的最小值为,则|的最小值为.解析:由函数f()=|-|的最小值为可知AB=BC,所以ABC是等边三角形.当x=y=0.5时,有最小值为.答案:三、解答题(共74分)18.(本小题满分14分)已知平面上三个向量a,b,c,其中a=(1,2).(1)若|c|=2,且ac,求c的坐标;(2)若|b|=,且(a+2b)(2a-b),求a与b的夹角.解:(1)因为ac,设c=a=(,2),由|c|=2=2,所以c的坐标为(2,4)或(-2,-4).(2)(a+2b)(2a-b)=2a2+3ab-2b2=0,设为a,b的夹角,则cos =-1,因为0,所以=.19.(本小题满分15分)已知m=(sin x,cos x)(0x),n=(1,-1),且mn=,(1)求sin(x+)+cos(x+)的值;(2)求的值.解:(1)根据题意,mn=sin x-cos x=,两边平方得1-2sin xcos x=,即1-sin 2x=,sin 2x=,所以(sin x+cos x)2=(sin x-cos x)2+2sin 2x=,又0x,所以sin(x+)+cos(x+)=cos x+sin x=.(2)由(1)可求得sin x=,cos x=,则 =-.20.(本小题满分15分)已知函数f(x)=2sin xcos(x-)+cos x,x0,.(1)求f();(2)求f(x)的最大值与最小值.解:(1)f()=2sin cos(-)+cos =2(+)=.(2)f(x)=2sin xcos(x-)+cos x=2sin x(cos x+sin x+cos x)=sin 2x+(1-cos 2x)=sin(2x-)+.因为x0,所以2x-,.又因为y=sin z在区间-,上是递增,在区间,上递减.所以,当2x-=,即x=时,f(x)有最大值;当2x-=-,即x=0时,f(x)有最小值0.21.(本小题满分15分)设平面向量a=(sin x,cos2x-),b=(cos x,-1),函数f(x)=ab.(1)求f(x)的最小正周期,并求出f(x)的单调递增区间;(2)若锐角满足f()=,求cos(2+)的值.解:(1)由题意得f(x)=ab=sin xcos x+-cos2x=sin 2x- cos 2x=sin(2x-).所以f(x)的最小正周期为.由-+2k2x-+2k,kZ,得k-xk+,kZ.所以函数f(x)的单调递增区间为k-,k+,kZ.(2)由(1)可得f()=sin(-)=,因为为锐角,所以-,所以cos(-)=,所以cos(2+)=cos2(-)+=-sin 2(-)=-2sin(-)cos(-)=-.22.(本小题满分15分)设G为ABC的重心,过G作直线l分别交线段AB,AC(不与端点重合)于P,Q.若=,=.(1)求+的值;(2)求的取值范围.解:(1)连接AG并延长交BC于M,则M是BC的中点,