2019_2020学年高中数学第1章解三角形章末复习课学案新人教B版必修5.docx

第1章 解三角形利用正弦、余弦定理解三角形【例1】如图所示，在ABC中，ABAC2，BC2，点D在BC边上，ADC45，求AD的长度解在ABC中，ABAC2，BC2，由余弦定理，得cos C，sin C.在ADC中，由正弦定理，得，AD.解三角形的一般方法：(1)已知两角和一边，如已知A、B和c，由ABC求C，由正弦定理求a、b(2)已知两边和这两边的夹角，如已知a、b和C，应先用余弦定理求c，再应用正弦定理先求较短边所对的角，然后利用ABC，求另一角(3)已知两边和其中一边的对角，如已知a、b和A，应先用正弦定理求B，由ABC求C，再由正弦定理或余弦定理求c，要注意解可能有多种情况(4)已知三边a、b、c，可应用余弦定理求A、B、C1如图所示，在ABC中，B，AB8，点D在BC边上，CD2，cosADC.(1)求sinBAD；(2)求BD，AC的长解(1)在ADC中，因为cosADC，所以sinADC，所以sinBADsin(ADCB)sinADCcos BcosADCsin B.(2)在ABD中，由正弦定理，得BD3.在ABC中，由余弦定理，得AC2AB2BC22ABBCcos B825228549，所以AC7.三角变换与解三角形的综合问题命题角度1三角形形状的判断【例2】在ABC中，若B60，2bac，试判断ABC的形状解法一：由正弦定理，得2sin Bsin Asin CB60，AC120.2sin 60sin(120C)sin C展开整理得sin Ccos C1.sin(C30)1.0C120，C3090.C60，则A60.ABC为等边三角形法二：由余弦定理，得b2a2c22accos BB60，b，2a2c22accos 60，化简得(ac)20.ac又B60，abcABC为等边三角形命题角度2三角形边、角、面积的求解【例3】ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知abcos Ccsin B(1)求B；(2)若b2，求ABC的面积的最大值解由正弦定理得sin Asin Bcos Csin Csin B又A(BC)，sin(BC)sin(BC)sin Bcos Csin Ccos B，即sin Bcos Ccos Bsin Csin Bcos Csin Csin B，cos Bsin Csin Csin B，sin C0，cos Bsin B且B为三角形内角，B.(2)SABCacsin Bac，由正弦定理知asin A2sin A，同理，c2sin C，SABC2sin A2sin C2sin Asin C2sin Asin2sin A2(sin Acos Asin2A)sin 2A1cos 2Asin1，当2A，即A时，SABC有最大值1.该类问题以三角形为载体，在已知条件中涉及了三角形的一些边角关系，由于正弦定理和余弦定理都是关于三角形的边角关系的等式，通过定理的运用能够实现边角互化，在边角互化时，经常用到三角函数中两角和与差的公式及倍角公式等2在ABC中，a，b，c分别是三个内角A，B，C的对边，若a2，C，cos，求ABC的面积S.解因为cos B2cos21，故B为锐角，所以sin B，所以sin Asin (BC)sinsin Bcoscos Bsin.由正弦定理，得c，所以SABCacsin B 2.正弦、余弦定理在实际中的应用【例4】如图，在一次海上联合作战演习中，红方一艘侦察艇在A处发现在北偏东45方向，相距12海里的B处水面上，有蓝方一艘小艇正以每小时10海里的速度沿南偏东75方向前进，若红方侦察艇以每小时14海里的速度，沿北偏东45方向拦截蓝方的小艇，若要在最短的时间内拦截住，求红方侦察艇所需的时间和角的正弦值思路探究假设经过x小时后在C处追上蓝方的小艇，作出示意图，把实际数据转化到三角形中，利用正、余弦定理求解解如图，设红方侦察艇经过x小时后在C处追上蓝方的小艇，则AC14x海里，BC10x海里，ABC120.根据余弦定理得(14x)2122(10x)2240xcos 120，解得x2.故AC28海里，BC20海里根据正弦定理得，解得sin .故红方侦察艇所需的时间为2小时，角的正弦值为.应用解三角形知识解决实际问题需要下列四步：(1)分析题意，准确理解题意，分清已知与所求，尤其要理解题中的有关名词、术语；(2)根据题意画出示意图，并将已知条件在图形中标出；(3)将所求问题归结到一个或几个三角形中，通过合理运用正弦、余弦定理等有关知识正确求解；(4)检验解出的结果是否具有实际意义，对结果进行取舍，得出正确答案3甲船在A处，乙船在甲船正南方向距甲船20海里的B处，乙船以每小时10海里的速度向正北方向行驶，而甲船同时以每小时8海里的速度由A处向北偏西60方向行驶，问经过多少小时后，甲、乙两船相距最近？解设甲、