2019年高考数学专题函数概念、基本初等函数及导数第4讲利用导数研究函数的单调性、极值及最值梯度训练新人教A版.docx

第4讲利用导数研究函数的单调性、极值及最值选题明细表知识点方法巩固提高A巩固提高B导数几何意义2,3,4,8,9,10,13,141,2,8,12,13函数极值与最值1,6,7,116,11,14,15函数单调性5,12,153,4,5,7,9,10巩固提高A一、选择题1.已知函数f(x)=x3+ax2+bx+a2在x=1处有极值10,则f(2)等于(C)(A)11或18(B)11(C)18 (D)17或18解析:因为函数f(x)=x3+ax2+bx+a2在x=1处有极值10,所以f(1)=10,且f(1)=0,即解得或而当时,函数在x=1处无极值,故舍去.所以f(x)=x3+4x2-11x+16,所以f(2)=18.故选C.2.直线y=x+b是曲线y=ln x(x0)的一条切线,则实数b的值为(C)(A)2(B)ln 2+1(C)ln 2-1(D)ln 2解析:因为y=ln x的导数为y=,所以=,解得x=2,所以切点为(2,ln 2).将其代入直线y=x+b,得b=ln 2-1.故选C.3.(2018全国卷)设函数f(x)=x3+(a-1)x2+ax,若f(x)为奇函数,则曲线y=f(x)在点(0,0)处的切线方程为(D)(A)y=-2x(B)y=-x(C)y=2x(D)y=x解析:因为函数f(x)=x3+(a-1)x2+ax为奇函数,所以f(-1)+f(1)=0,所以-1+a-1-a+(1+a-1+a)=0,解得a=1,所以f(x)=x3+x,所以f(x)=3x2+1,所以f(0)=1,所以曲线y=f(x)在点(0,0)处的切线方程为y=x.故选D.4.在函数y=x3-9x的图象上,满足在该点处的切线的倾斜角小于,且横、纵坐标都为整数的点的个数是(A)(A)0(B)1(C)2(D)3解析:依题意得,y=3x2-9,令0y1得3x20,排除D选项.又e2,所以1,排除C选项.故选B.6.(2017全国卷)若x=-2是函数f(x)=(x2+ax-1)ex-1的极值点,则f(x)的极小值为(A)(A)-1 (B)-2e-3(C)5e-3(D)1解析:f(x)=x2+(a+2)x+a-1ex-1,则f(-2)=4-2(a+2)+a-1e-3=0得a=-1,则f(x)=(x2-x-1)ex-1,f(x)=(x2+x-2)ex-1,令f(x)=0,得x=-2或x=1,当x1时,f(x)0,当-2x1时,f(x)0,则f(x)极小值为f(1)=-1.故选A.7.如图是函数y=f(x)的导函数y=f(x)的图象,给出下列命题:-3是函数y=f(x)的极值点;-1是函数y=f(x)的最小值点;y=f(x)在x=0处切线的斜率小于零;y=f(x)在区间(-3,1)上单调递增.则正确命题的序号是(B)(A)(B)(C)(D)解析:根据导函数图象可知当x(-,-3)时,f(x)0,在x(-3,1)时,f(x)0,所以函数y=f(x)在(-,-3)上单调递减,在(-3,1)上单调递增,故正确;则-3是函数y=f(x)的极小值点,故正确;因为在(-3,1)上单调递增,所以-1不是函数y=f(x)的最小值点,故不正确;因为函数y=f(x)在x=0处的导数大于0,所以切线的斜率大于零,故不正确.故选B.二、填空题8.已知函数f(x)=axln x,x(0,+),其中a为实数,f(x)为f(x)的导函数.若f(1)=3,则a的值为.解析:f(x)=a(ln x+x)=a(ln x+1),因为f(1)=3,所以f(1)=a=3.答案:39.若曲线C1:y=ax3-x2+2x与曲线C2:y=ex在x=1处的两条切线互相垂直,则实数a的值为.解析:由y=ax3-x2+2x,得y=3ax2-2x+2,所以y|x=1=3a,由y=ex,得y=ex,所以y|x=1=e.因为曲线C1:y=ax3-x2+2x与曲线C2:y=ex在x=1处的两条切线互相垂直,所以3ae=-1,解得a=-.答案:-10.若函数f(x)=x2-ax+ln x存在垂直于y轴的切线,则实数a的取值范围是.解析:因为f(x)=x2-ax+ln x,所以f(x)=x-a+.因为f(x)存在垂直于y轴的切线,所以f(x)存在零点,x+-a=0,所以a=x+2.答案:2,+)11.如图是函数y=f(x)的导函数y=f(x)的图象,对此图象,有如下结论:在区间(-2,1)内f(x)是增函数;在区间(1,3)内f(x)是减函数;在x=2时,f(x)取得极大值;在x=3时,f(x)取得极小值.其中正确的是.解析:由y=f(x)的图象可知,在(-3,-)上,f(x)0时,有0的解集为.解析:因为当x0时,有0恒成立,即0,在(2,+)内恒有f(x)0,在(-2,0)内恒有f(x)0的解集,即不等式f(x)0的解集.故答案为(-,-2)(0,2).答案:(-,-2)(0,2)13.(2018全国卷)曲线y=2ln(x+1)在点(0,0)处的切线方程为.解析:因为y=2ln(x+1),所以y=.令x=0,得y=2,由切线的几何意义得切线斜率为2,又切点为(0,0),所以切线方程为y=2x.答案:y=2x三、解答题14.已知函数f(x)=ln x+ax.(1)若函数f(x)在x=1处的切线方程为y=2x+m,求实数a和m的值;(2)若函数f(x)在定义域内有两个不同的零点x1,x2,求实数a的取值范围.解:(1)因为f(x)=ln x+ax,所以f(x)=+a.因为函数f(x)在x=1处的切线方程为y=2x+m,所以f(1)=1+a=2,得a=1.又因为f(1)=ln 1+a=1,所以函数f(x)在x=1处的切线方程为y-1=2(x-1),即y=2x-1,所以m=-1.(2)由(1)知f(x)=+a=(x0).当a0时,因为f(x)=0,所以函数f(x)=ln x+ax在(0,+)上单调递增,从而函数f(x)至多有一个零点,不符合题意;当a0),所以函数f(x)在(0,-)上单调递增,在(-,+)上单调递减,所以函数f(x)max=f(-)=ln(-)+a(-)=ln(-)-1.所以要满足函数f(x)在定义域内有两个不同的零点x1,x2,必有f(x)max=ln(-)-10,得a-.所以实数a的取值范围是(-,0).15.设函数f(x)=-x2+ax+ln x(aR).(1)若a=1时,求函数f(x)的单调区间;(2)设函数f(x)在,e上有两个零点,求实数a的取值范围.(其中e是自然对数的底数)解:(1)定义域为(0,+),f(x)=-2x+1+=0,即2x2-x-10,即0x0,即x1,所以g(x)的减区间为,1,增区间为(1,e,所以g(x)min=g(1)=1,又g()=e+,g(e)=e-,函数f(x)在,e上有两个零点,则a的取值范围是1,e-.巩固提高B一、选择题1.若曲线f(x)=acos x与曲线g(x)=x2+bx+1在交点(0,m)处有公切线,则a+b等于(C)(A)-1(B)0(C)1(D)2解析:依题意得,f(x)=-asin x,g(x)=2x+b,于是有f(0)=g(0),即-asin 0=20+b,b=0,m=f(0)=g(0),即m=a=1,因此a+b=1.故选C.2.已知函数f(x)=asin x+bx3+4(aR,bR),f(x)为f(x)的导函数,则f(2 017)+f(-2 017)+f(2 018)-f(-2 018)等于(D)(A)0(B)2 017(C)2 018(D)8解析:设g(x)=asin x+bx3,所以f(x)=g(x)+4,且g(-x)=-g(x),所以f(2 017)+f(-2 017)=g(2 017)+4+g(-2 017)+4=8,又因为f(x)=acos x+3bx2,所以f(x)为R上的偶函数,则f(2 018)-f(-2 018)=0,所以f(2 017)+f(-2 017)+f(2 018)-f(-2 018)=8.故选D.3.(2018浙江卷,10)已知a1,a2,a3,a4成等比数列,且a1+a2+a3+a4=ln(a1+a2+a3).若a11,则(B)(A)a1a3,a2a3,a2a4(C)a1a4(D)a1a3,a2a4解析:因为ln xx-1(x0),所以a1+a2+a3+a4=ln (a1+a2+a3)a1+a2+a3-1,所以a4=a1q3-1.由a11,得q1,所以ln (a1+a2+a3)0,矛盾.因此-1q0,a2-a4=a1q(1-q2)a3,a2a4.故选B.4.函数f(x)=ex-3x-1(e为自然对数的底数)的图象大致是(D)解析:由题意,知f(0)=0,且f(x)=ex-3,当x(-,ln 3)时,f(x)0,所以函数f(x)在(-,ln 3)上单调递减,在(ln 3,+)上单调递增,结合图象知只有选项D符合题意,故选D.5.已知函数f(x)是定义域为R的奇函数,且f(-5)=-1,f(x)的导函数y=f(x)的图象如图所示.若正数a满足f(2a+1)1, 则-的取值范围是(B)(A)(-2,0)(B)(-,-)(C)(-,+)(D)(-,0)解析:由题意知f(x)为R上的增函数且f(5)=-f(-5)=1,所以2a+15得0a,所以-.故选B. 6.已知函数f(x)的定义域为-1,5, 部分对应值如表,x-1045f(x)1221f(x)的导函数y=f(x)的图象如图所示. 下列关于f(x)的命题:函数f(x)的极大值点为0,4;函数f(x)在0,2上是减函数;如果当x-1,t时,f(x)的最大值是2,那么t的最大值为4;当1a2时,函数y=f(x)-a有4个零点;函数y=f(x)-a的零点个数可能为0,1,2,3,4个.其中正确命题的个数是(B)(A)4(B)3(C)2(D)1解析:根据函数f(x)的定义域为-1,5, 以及部分的对应值如表,x-1045f(x)1221导函数图象能说明原函数增减的变化趋势,可知在x=0取得极大值,在x=2处取得极小值,在x=4处取得极大值,故函数f(x)的极大值点为0,4,正确.对于函数f(x)在0,2上是减函数,也成立.对于如果当x-1,t时,f(x)的最大值是2,那么t的最大值为4,错误,对于当1a2时,函数y=f(x)-a有4个零点,错误.函数y=f(x)-a的零点个数可能为0,1,2,3,4个,成立.故正确的命题有3个.故选B.7.以下四图,都是同一坐标系中三次函数及其导函数的图象,其中一定正确的序号是(A)(A)(B)(C)(D)解析:中三次函数的图象由左到右是先减后增再减,对应的导数是先小于0,再大于0,最后又小于0,导数的正负与原函数的单调性一致,所以正确.中三次函数的图象由左到右是先减后增再减,对应的导数是先小于0,再大于0,最后又小于0,导数的正负与原函数的单调性一致,所以正确.中三次函数的图象由左到右是先增后减再增,对应的导数在原函数的增区间上既有负值,又有正值,导数的正负与原函数的单调性不一致,所以错误.中三次函数的图象由左到右是先增后减再增,对应的导数在原函数的增区间上为负值,导数的正负与原函数的单调性不一致,所以错误.故选A.二、填空题8.已知函数y=f(x)及其导函数y=f(x)的图象如图所示,则曲线y=f(x)在点P处的切线方程是.解析:根据导数的几何意义及图象可知,曲线y=f(x)在点P处的切线的斜率k=f(2)=1,又过点P(2,0),所以切线方程为x-y-2=0.答案:x-y-2=09.已知函数f(x)=x2ex,若f(x)在t,t+1上不单调,则实数t的取值范围是.解析:f(x)=2xex+x2ex=exx(x+2)=0,得x=-2或x=0.即f(x)的极值点为-2,0,所以t-2t+1或t0t+1,得-3t-2或-1t0(其中f (x)是函数f (x)的导函数),则下列不等式中成立的有.(填序号)(1)f(-)f(-)(3)f(0)f(-)(4)f()0,所以为增函数.所以,所以f()f(),又因为f(x)为偶函数,所以f(-)f(),f(-)f(-).故(2)正确,(1)错误.因为,所以f(0)f(),又因为f(x)为偶函数,所以f(0)f(-),故(3)正确.因为,所以f()0).当a0时,f(x)0,f(x)在(0,+)上递增,又f(0)=1,所以f(x)在(0,+)上无零点.当a0时,由f(x)0解得x,由f(x)0解得0x0恒成立,则称函数f(x)在区间D上为凹函数.已知函数f(x)=x3-x2+1在区间D上为凹函数,则x的取值范围是.解析:因为f(x)=x3-x2+1,因为f(x)=3x2-3x,f(x)=6x-3,令f(x)0,解得x.答案:(,+)13.(2017镇海模拟)函数f(x),g(x)的定义域都是D,直线x=x0(x0D)与y=f(x),y=g(x)的图象分别交于A,B两点,若|AB|的值是不等于0的常数,则称曲线y=f(x),y=g(x)为“平行曲线”,设f(x)=ex-aln x+c(a0,c0),且y=f(x),y=g(x)为区间(0,+)的“平行曲线”,g(1)=e,g(x)在区间(2,3)上的零点唯一,则a的取值范围是.解析:因为y=f(x),y=g(x)为区间(0,+)的“平行曲线”,所以函数g(x)是由函数f(x)的图象经过上下平移得到的,即g(x)=f(x)+h=ex-aln x+c+h,又g(1)=e-aln 1+c+h=e+c+h=e,所以c+h=0,即g(x)=ex-aln x,由g(x)=ex-aln x=0得a=,令h(x)=,则g(x)在区间(2,3)上有唯一零点等价于函数y=h(x)与函数y=a有唯一交点,h(x)=,当x2时,h(x)0,函数h(x)在区间(2,3)上单调递增,所以函数y=h(x)与函数y=a有唯一交点等价于h(2)ah(3),即a8-8ln 2;(2)若a3-4ln 2,证明:对于任意k0,直线y=kx+a与曲线y=f(x)有唯一公共点.证明:(1)函数f(x)的导函数f(x)=-,由f(x1)=f(x2)得-=-,因