高考数学《立体几何初步》专题 空间的角学案.doc

第8课时 空间的角基础过关1两异面直线所成的角：直线a、b是异面直线，经过空间一点o分别引直线a a，b b，把直线a和b所成的 或 叫做两条异面直线a、b所成的角，其范围是 2直线和平面所成的角：平面的一条斜线和它在平面上的 所成的 角，叫做这条斜线和平面所成的角规定： 一条直线垂直于平面，我们说它们所成的角是 角； 一条直线与平面平行或在平面内，我们说它们所成的角是 角其范围是 公式：coscos1cos2，其中，1是 ，2是 ，是 3二面角：从一条直线出发的 所组成的图形叫做二面角pbefdca4二面角的平面角：以二面角的棱上 一点为端点，在两个面内分别作 棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角，其范围是 典型例题例1. 如图，已知矩形abcd所在平面外一点p，pa平面abcd，e、f分别是ab、pc的中点（1）求ef与平面pad所成角的大小；a1b1d1c1dabc（2）求ef与cd所成角的大小；（3）若pda45，求：二面角fabd的大小解：(1)易知ef平面pad，故ef与平面pad成角为0；(2)易知efcd，故ef与cd成角为90；(3)取ac中点为0，则feo为所求二面角的平面角，易求得feo45变式训练1：如图，abcda1b1c1d1是正四棱柱，若二面角c1bdc的大小为60，求异面直线bc1与ac所成的角的大小答案：arccos例2. 在等腰梯形abcd中，ab20，cd12，它的高为2，以底边的中垂线mn为折痕，将梯形mbcn折至mb1c1n位置，使折叠后的图形成120的二面角，求：cdabb1mnc1 ac1的长； ac1与mn所成的角； ac1与平面admn所成的角答案：(1) 16 (2) arcsin (3) arcsinabocds变式训练2：已知四边形abcd内接于半径为r的o，ac为o的直径，点s为平面abcd外一点，且sa平面abcd，若dacacbsca30，求： 二面角scba的大小； 直线sc与ab所成角的大小答案：(1) arctan (2) arccos例3. abc和dbc所在平面互相垂直，且abbcbd，abcdbc120求： ad与平面dbc所成的角；abdc 二面角abdc的正切值解：(1) 作aebc交bc的延长线于e，由面abc面bcd知ae向bcd，ade即为所求，求得ade45(2) 作efbo于f，afe即为所求，求得tanafe2变式训练3：正三棱柱abca1b1c1中，e是ac中点bb1aecc1a1 求证：平面bec1平面acc1a1； 求证：ab1平面bec1； 若，求二面角ebc1c的大小答案： (1) 略 (2) 略 (3) 45例4: 已知直三棱柱abca1b1c1中，abc90，abbca，aa12ab，m为cc1上的点.(1) 当m在c1c上的什么位置时，b1m与平面aa1c1c所成的角为30；(2) 在(1)的条件下，求am与a1b所成的角.acma1b1c1b解(1) 取a1c1的中点n1，连结b1n1，n1m，由已知易知b1n1平面a1c1ca. b1mn1为b1m与平面a1c1ca所成的角，设c1mx，b1n1a.beadfcsin b1mn1, 解得xa，则c1mc1c, m为c1c的中点.(2) arccos变式训练4：已知正方形abcd，e、f分别是边ab、cd的中点，将ade沿de折起，如图所示，记二aefbcd面角adec的大小为，若acd 为正三角形，试判断点a在平面bcde内的射影g 是否在直线ef上，证明你的结论，并求角的余弦值解：点a在平面bcde内的射影在直线ef上，过点a作ag平面bcde，垂足为g，连结gc、gdacd为正三角形，acad，gcgd，g在cd的垂直平分线上，又ef是cd的垂直平分线，点a在平面bcde内的射影g在直线ef上，过g作ghed，垂足为h，连结ah，则ahdeahg是二面角adec的平面角，即ahg，设原正方形abcd的边长为2a，由直角三角形的射影定理，可得ah，gh，小结归纳1两异面直线所成角的作法： 平移法：在异面直线中的一条直线上选择“特殊点”，作另一条直线的平行线，常常利用中位线或成比例线段引平行线； 补形法：把空间图形补成熟悉的或完整的几何体，如正方体、平行六面体、长方体等，其目的是容易作出两条异面直线所成的角2作出直线和平面所成角的关键是作垂线，找射影3平面