实数完备性定理的证明及其应用.doc

实数完备性定理的证明及其应用摘要：实数集的完备性是实数集的一个基本特征，它是微积分学的坚实的理论基础，可以从不同的角度来描述和刻画实数集的完备性，因此有多个实数集的完备性基本定理，包含六个实数集完备性基本定理.本文通过证明这六个基本定理的等价性，来对实数集完备性基本定理等价性进行系统的论述，让我们对实数集完备性的基本特征有进一步的认识和理解.关键词：完备性；区间套；连续性Completeness of the system of real numbers and applicationsAbstract : Completeness of the set of real numbers is its basic character , and it is stable background of calculus .It can be described and depicted in different anles , so there are considerable fundamental theorems about it . It contains six basic theorems . That the essay uses three different ways individually to prove the equivalence of the six principle theorems is systematic discussion about it , and makes us acquire more recongnition and understanding .Key Words: Completeness ; Interval;Continuity引言众所周知，数学分析研究的基本对象是函数及其各分析性质（主要包括连续性、可微性以及可积性），所用的知识是极限理论.极限理论问题首先是极限存在问题.一个数列是否存在极限，不仅与数列本身的结构有关，而且也与数列所在数集有关，如果在有理数集Q上讨论极限，那么单调有界的有理数列就不一定存在极限.例如，单调有界的有理数列就不存在极限，因为它的极限是，是无理数.由于实数集关于极限的运算是封闭的，是实数集的优点，是有别于有理数集的重要特征.因此，将极限理论建立在实数集上就使得极限理论有了巩固的基础.所以实数集的完备性是数学分析的基础，他在整个数学分析中占据着重要位置.1.实数完备性定理的定义1.1确界原理 设为非空数集.若有上界，则必有上确界；若有下界，则必下确界.1.2单调有界定理 在实数系中，有界的单调数列必有极限.1.3区间套定理 设为一区间套：1. 2. ，则在实数系中存在唯一的一点即.1.4有限覆盖定理 设是闭区间的一个无限开覆盖，即中每一个点都含于中至少一个开区间内，则在中必存在有限个开区间来覆盖.1.5聚点定理和致密性定理 （聚点定理）直线上的任一有界无限点集至少有一个聚点，即在的任意小邻域内都含有中无限多个点（本身可以属于，也可以不属于）. （致密性定理）任何有界数列必定有收敛的子列.1.6柯西收敛准则 数列收敛的充要条件是：，只要，恒有，（后者有称为柯西条件，满足柯西条件的数列又称为柯西列，或基本列）.2.实数完备性定理的证明定理1（确界原理）设为非空数集.若有上界，则必有上确界；若有下界，则必下确界.证明 我们只需证明非空有上界的数集必有上确界即可，对于非空有下界的数集必有下确界可类似证明.为叙述的方便起见，不妨设含有非负数.由于有上界，故可找到非负整数，使得（1）对于任何有；（2）存在，使.对半开区间作10等分，分点为，则存在中的一个数，使得（1）对于任何有；（2）存在，使得.再对半开区间作10等分，则存在中的一个数，使得（1）对于任何有；（2）存在，使.继续不断地10等分在前一步骤中所得到的半开区间，可知对任何存在中的一个数，使得（1）对于任何有(1)；（2）存在，使.将上述步骤无限地进行下去，得到实数，以下证明，为此只需证明：（i）对一切有；（ii）对任何，存在，使.倘若结论（i）不成立，即存在使，则可找到的为不足近似，使，从而得，与不等式（1）矛盾，于是（i）得证.现设，则存在使的位不足近似，即.根据数的构造，存在使，从而有，即得到，说明（ii）成立.定理2（单调有界定理）在实数系中，有界的单调数列必有极限.证明 不妨设为有上界的递增数列，由确切原理，数列有上确界，记，下面证明就是的极限，事实上，任给，按上确界的定义，存在数列中某一项，使得，又由的递增性，当时有，另外，由于是的一个上界，故对一切都有，所以当时有，这就证得，同理可证有下界的递减数列必有极限，且其极限极为它的下确界.定理3（区间套定理）设为一区间套：1. 2. ，则在实数系中存在唯一的一点即 （2）证明 由于，则知为递增有界数列，依单调有界定理，有极限，且有 （3）同理，递减有界数列也有极限，并按区间套的条件2.有 （4）且 （5） 联合（3）、（5）即得（2）式，最后证明满足（2）式的是唯一的，设数也满足，则由（2）式有，由区间套的条件2.得，故有.定理4（有限覆盖定理）设是闭区间的一个无限开覆盖，即中每一个点都含于中至少一个开区间内，则在中必存在有限个开区间来覆盖.证明 用反证法 假设定理的结论不成立，即不能用中有限个开区间来覆盖. 将等分为两个子区间，则其中至少有一个子区间不能用中有限个开区间来覆盖，记这个子区间为，则，且，再将等分为两个子区间，同样，其中至少有一个子区间不能用中有限个开区间来覆盖，记这个子区间为，则至少，且，重复上述步骤并不断地进行下去，则得到一个闭区间列，它满足 即是区间套，且其中每一个闭区间都不能用中有限个开区间来覆盖.由区间套定理，存在唯一的一点，由于是的一个开覆盖，故存在开区间，使，于是知，当充分大时有，这表明只需用中的一个开区间就能覆盖，与挑选时的假设“不能用中有限个开区间来覆盖”相矛盾，从而证得必存在属于的有限个开区间能覆盖.定理5（聚点定理）直线上的任一有界无限点集至少有一个聚点，即在的任意小邻域内都含有中无限多个点（本身可以属于，也可以不属于）. （致密性定理）任何有界数列必定有收敛的子列.1. （聚点定理） 证明 因为有界点集，故存在，使得，记，先将等分为两个子区间，因为无限聚点，故两个子区间中至少有一个含有中无穷多个点，记此子区间为，则，且，再将等分为两个子区间，则其中至少有一个子区间含有中无穷多个点，取出这样的一个子区间，记为，则，且，将此等分子区间无限地进行下去，得到一个区间列，它满足 ， 即是区间套，且其中每一个闭区间都含有中无穷多个点. 由区间套定理知，存在唯一的一点，且对任给的，存在，当时有，从而内含有中无穷多个点，则知为的一个聚点.2. （致密性定理） 证明 设为有界数列 下分两种情况讨论： （i）中含有无穷多个相等的项，记作，则常数列收敛； （ii）不含无穷多个相等的项，记，则为有界无限点集，由聚点定理知至少有一个聚点，由聚点的等价定义知，存在中各项互异的点列，且 即 则得以一敛子列收敛于.定理6（柯西收敛准则）数列收敛的充要条件是：，只要，恒有，（后者有称为柯西条件，满足柯西条件的数列又称为柯西列，或基本列）.证明 必要性 设，有数列极限定义，对任给的,存在，当时有， 因而充分性 先证明该数列必定有界，取，因为满足柯西条件，所以，有，令，则对一切，成立，由致密性定理，在中必有收敛子列：，由条件，当时有，在上式中取，其中充分大，满足，并且令，于是得到，即得到数列收敛.要证明实数完备性定理的等价性,还必须由定理6证明出定理1.用数列的柯西收敛准则证明确界原理证明 设为非空有上界数集，由实数的阿基米德性知，对任何正数，存在整数，使得为的上界，而不是的上界，即存在，使得，分别取，则对每一个正整数，存在相应的，使得为的上界，故存在，使得 （6），又对正整数是的上界，故有，结合（6）式得，同理有，从而有，于是，对任给的，存在，使得当时有，由柯西收敛准则知，数列收敛，记 （7）现在证明就是的上确界，首先，对任何和正整数有，由（7）式得，即是的一个上界，其次，对任何，由及（7）式，对充分大的同时有，又因不是的上界，故存在，使得，结合上式得，这说明为的上确界，同理可证，若为非空有下界数集，则必存在下确界.3.实数完备性定理的应用实数的完备性在闭区间上连续函数性质的证明以及积分学中都有很广泛的应用我们将通过一系列例题阐述实数完备性定理的应用，认识实数完备性定理的重要作用和地位.例1 若函数在闭区间上连续，那么在闭区间上有界.证明 若不然，不妨假设在上无界，那么存在，使得，由此得知，另外，因为是有界数列，所以由致密性定理，有收敛的子列，设，由于，有极限的不等式性质知，故在点连续，有归结原则导出，矛盾，则知假设不成立，从而有函数在闭区间上连续，则在闭区间上有界例2 若函数在闭区间上连续，则在上一致连续.证明 若不然，存在，以及区间上的点列，虽然，但是 （7），因为有界，所以由致密性定理，有一个收敛的子列，设，又，由极限的不等式性质推得，故在点连续，有归结原则与（7）式得，矛盾，则假设不成立，从而有在上一致连续.用有限覆盖定理证命题的一般步骤：（1），使得具有性质，即为一个开覆盖；（2）运用有限覆盖定理（即存在中有限个开区间）设为覆盖了；（3）利用具有性质得出具有性质.例3 用有限覆盖定理证明：闭区间上连续函数的有界性定理.证明 设在区间上连续，根据连续函数的局部有界性定理，对于任意的，存在正数以及正数，当时有 作开区间集，显然覆盖了区间，根据有限覆盖定理，存在中有限个开区间，它们也覆盖了，令，呢么对于任意的，存在，使得，并且有.结束语实数集的完备性是实数集的一个基本特征,它是微积分学的坚实的理论基础.在证明闭区间上连续函数性质的时候,由于实数的完备性定理是等价的,所以可以用任何一个实数的完备性定理证明闭区间上连续函数的性质,只是证明的难度有所区别罢了，在平常的学习过程中我们一定要注重实数的完备性的重要性.参考文献1华东师范大学数学系.数学分析第三版M.北京:高等教育出版社,2001:52-63.2陈纪修,於崇华,金路.数学分析第二版M.北京：高等教育出版社,2004:75-90.3巩增泰.数学的实践与认识 J.西北师范大学数学与信息