高中数学 第一章 三角函数 1.1 任意角和弧度制 1.1.1 任意角导学案 新人教A版必修4.doc

1.1.1任意角1.了解任意角的概念，能区分各类角的概念.2.掌握象限角的概念，并会用集合表示象限角.3.理解终边相同的角的含义及表示，并能解决有关问题.1.角(1)定义：平面内一条射线绕着从一个位置旋转到另一个位置所成的图形称为角，所旋转射线的端点叫做角的，开始位置的射线叫做角的，终止位置的射线叫做角的.如图所示.(2)分类：如下表.任意角定义正角按时针方向旋转形成的角负角按时针方向旋转形成的角零角一条射线没有作任何形成的角(3)记法：用一个希腊字母表示，如，；也可用3个大写的英文字母表示(字母前面要写“”)，其中中间字母表示角的顶点，如aob，def，.(1)确定任意角的大小要明确其旋转方向和旋转量；(2)零角的始边和终边重合，但始边和终边重合的角不一定是零角，如周角等；(3)角的范围由0360推广到任意角后，角的加减运算类似于实数的加减运算；(4)画图表示角时，应注意箭头的方向不可丢掉，箭头方向代表角的正负.【做一做1】 将射线om绕端点o按逆时针方向旋转120所得的角为()a.120 b.120 c.60 d.2402.象限角使角的顶点与重合，角的始边与轴的非负半轴重合.那么，角的(除原点外)在第几象限，就说这个角是第几，即象限角的终边在第一或第二或第三或第四象限内，不与重合.如果角的终边在坐标轴上，就说这个角不属于任何象限.【做一做2】 30是()a.第一象限角b.第二象限角c.第三象限角 d.第四象限角3.终边相同的角(1)研究终边相同的角的前提条件是：角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合.(2)终边相同角的集合：所有与角终边相同的角，连同角在内，可构成一个集合s|，kz，即任一与角终边相同的角，都可以表示成角与整数个周角的和.理解集合s|k360，kz要注意以下几点：(1)式中角为任意角；(2)kz这一条件必不可少；(3)k360与之间是“”，如k36030应看成k360(30)，即与30角终边相同；(4)当与的终边相同时，k360(kz).反之亦然.【做一做31】 与95角终边相同的角是()a.5 b.85 c.395 d.265【做一做32】 与210角的终边相同的角连同210角在内组成的角的集合是_.答案：1(1)端点顶点始边终边(2)逆顺旋转【做一做1】 a2原点x终边象限角坐标轴【做一做2】 d3(2)k360【做一做31】 d【做一做32】 |210k360，kz1.象限角与轴线角(终边在坐标轴上的角)的集合表示剖析：(1)象限角：象限角集合表示第一象限角|k360k36090，kz第二象限角|k36090k360180，kz第三象限角|k360180k360270，kz第四象限角|k360270k360360，kz(2)轴线角：角的终边的位置集合表示终边落在x轴的非负半轴上|k360，kz终边落在x轴的非正半轴上|k360180，kz终边落在y轴的非负半轴上|k36090，kz终边落在y轴的非正半轴上|k360270，kz 终边落在y轴上|k18090，kz终边落在x轴上|k180，kz终边落在坐标轴上|k90，kz2.，的终边相同，但是与不一定相等剖析：若，的终边相同，则它们的关系为：将角终边旋转(逆时针或顺时针)k(kz)周即得，所以，的数量关系为k360(kz)，即，的大小相差360的整数k倍，所以与不一定相等.所有与角终边相同的角，连同角在内，可构成一个集合s|k360，kz，即任一与角终边相同的角，都可以表示成角与整数个周角的和.3.锐角、090的角、小于90的角、第一象限角的区别剖析：(1)锐角、090的角、小于90的角、第一象限角的范围，如下表所示.角集合表示锐角|090090的角|090小于90的角|90第一象限角|k360k36090，kz(2)锐角、090的角、小于90的角、第一象限角的关系用venn图表示，如图所示.由(1)(2)可知锐角是090的角，是小于90的角，是第一象限角；090的角是小于90的角，不一定是第一象限角；小于90的角不一定是第一角限角，第一象限角不一定是小于90的角、锐角、090的角.例如390是第一象限角，但390不是小于90的角、锐角或090的角.题型一 在坐标系中画出任意角【例1】 在坐标系中画出下列各角：(1)210；(2)230.分析：先确定旋转的方向，再确定旋转量.反思：在坐标系中画出任意角：(1)当0时，将x轴的非负半轴绕原点按逆时针方向旋转；(2)当0时，将x轴的非负半轴绕原点按顺时针方向旋转|；(3)当0时，将x轴的非负半轴绕原点不作任何旋转.题型二 判断象限角【例2】 在0360之间，求出一个与下列各角终边相同的角，并判断下列各角是哪个象限的角.(1)90828；(2)734.反思：判断角的终边所在位置的步骤是：(1)当0360时，依据下表来判断.的范围终边的位置0x轴非负半轴090第一象限90y轴非负半轴90180第二象限180x轴非正半轴180270第三象限270y轴非正半轴270360第四象限(2)当0或360时，将化为k360(kz，0360)，转化为判断终边所在的位置.题型三 终边相同的角的表示【例3】 若角的终边在函数yx的图象上，试写出角的集合.分析：(思路一)函数yx的图象是第二、四象限的平分线，可以先在0360范围内找出满足条件的角，进一步写出满足条件的所有角，并注意化简.(思路二)结合图形，与135相差180的整数倍，由此写出集合.反思：写出终边落在某条过原点的直线上的角的集合有两种方法：一是分别写出每条终边所代表的角的集合，再取并集；二是在其中一条终边上找出一个角，然后再加上180的整数倍.答案：【例1】 解：在坐标系中画出各角如图所示【例2】 解：(1)90828188282360，则18828即为所求角，因为18828是第三象限角，故90828也是第三象限角；(2)7343463360，则346即为所求角，因为346是第四象限角，故734也是第四象限角【例3】 解法一：由于yx的图象是第二、四象限的平分线，故在0360范围内所对应的两个角分别为135及315，从而角的集合为s|k360135或k360315，kz|2k180135或(2k1)180135，rz，s|k180135，kz解法二：如图所示角的终边在函数yx的图象上，角的集合为s|k180135，kz1215是()a.第一象限角b.第二象限角c.第三象限角d.第四象限角2在360720之间，与367角终边相同的角是.3若角的终边在函数yx的图象上，则角组成的集合为s_.4在坐标系中画出下列各角：(1)180；(2)1 070.5已知1 910.(1)把写成k360(kz,0360)的形式，指出它是第几象限角；(2)求，使与的终边相同，且7200.答案：1b由于215360145，而145是第二象限角，则215也是第二象限角27，353，713与367角终边相同的角可表示为k360367，kz.当k1,2,3时，7，353，713，