微分中值定理的证明及其应用---毕业论文.doc

【标题】微分中值定理的证明及其应用 【作者】蒋 雯 亦 【关键词】Lagrange中值定理Cauchy中值定理辅助函数 【指导老师】吴 先 兵 【专业】数学教育 【正文】1引言在一元函数微积分中，微分中值定理是应用函数局部性质研究函数整体性质的重要工具。Lagrange中值定理、Cauchy中值定理是微分学中的两个重要定理，它们揭示了函数值与导数值之间的内在联系，为微分学的应用和对函数的进一步研究提供了理论依据，对两个微分中值定理的证明一般都划归为Rolle中值定理来证明。因此，Rolle中值定理是基础，Lagrange中值定理及Cauchy中值定理是Rolle中值定理的推广，熟练运用Rolle中值定理，正确掌握函数证明的各种技巧，对解决实际问题非常重要。 2001年，鲁凤菊5给出了证明微分中值定理时构造辅助函数的两种方法及微分中值定理在一元函数、多元向量值函数及抽象函数方面的推广。2007年，贾计荣6用行列式证明Cauchy中值定理及Lagrange中值定理，并对微分中值定理加以推广。2008年，孙彩贤7从不同方面对微分中值定理加以证明，使得抽象的定理灵活化，从而更易理解。李建杰8着重探讨Cauchy中值定理的几种新证法，比较详细地叙述了求证的思路、方法和具体步骤，简述了求证过程对微积分教学的意义。陈鱼昆9分别研究Lagrange中值定理、Cauchy中值定理及Rolle中值定理的某些重要应用。2009年，杨洪秀10列出了证明Lagrange中值定理的几种不同方法。宋振云11通过复数乘法运算构造出一系列Lagrange中值定理证明中满足Rolle中值定理条件的辅助函数，并明确指出了Cauchy中值定理证明中辅助函数的构造方法。微分中值定理的证明和应用，通常以Rolle中值定理作为它的预备定理，证明的关键在于方法的掌握，而教材通常都只用一种方法来证明微分中值定理，因而不能提高学生的思维能力，本文试用多种方法来证明Lagrange中值定理和Cauchy中值定理，再将Rolle中值定理、Lagrange中值定理及Cauchy中值定理分别应用到不同的问题中，让学生能够更加容易掌握和应用微分中值定理。为此，我将在微分中值定理的证明和应用的方法中去进一步拓展和推广。2预备知识定义2.1：设函数在某内有定义，若，则称在点连续。定义2.2：设函数在点的某邻域内有定义，若极限存在，则称函数在点处可导，并称该极限为函数在点出的导数。定理2.112（Rolle中值定理）：若函数满足如下条件：（i）在闭区间上连续；（ii）在开区间内可导；（iii）；则在内至少存在一点，使得。定理2.212（Lagrange中值定理）若函数满足如下条件:（i）在闭区间上连续；（ii）在开区间内可导；则在内至少存在一点，使得。定理2.312（Cauchy中值定理）设函数和满足：（i）在上都连续；（ii）在内都可导；（iii）和不同时为零；（iv），则存在，使得。定理2.48（达布中值定理）若函数在闭区间内可导，并且，不妨设，则对于任何满足的常数，必存在一点，使得。引理110：若S是闭区间的一个完全覆盖，则S包含的一个划分,即存在，使每个闭区间( 1,2,)都属于S。引理210：若函数在开区间内可微，且对任意，则存在，使得且函数在上严格单调。3微分中值定理定理的几种不同证明方法3.1 Lagrange中值定理的几种证明方法3.1.1反证法证明：假设对任意，有，令，则对任意，但设，则，令，于是，并由假设知：对任意的。令：，则是的一个完全覆盖，即对任意的，存在，使得，由引理2知在严格单调，设是含有且长度小于的的任一闭子区间，则，于是在上严格单调，即。由引理1知，在中必存在的一个划分，不妨设这些小区间是按序号排列的，于是对任意的(1,2,，)函数在上严格单调，不妨假设在上严格单调递增，若的右端点为，则的左端点为，而对于，必存在，使得都不空，于是由函数在上的严格单调递增，可得在上严格单调递增，依次类推可得在每个上都严格单调递增，于是在严格单调递增。所以对任意的，有。另一方面，在右连续及在左连续，且,知，即，这与式矛盾，故有，即存在，使得，证毕。3.1.2构造行列式型辅助函数证明：设，因在上连续，在内可导，且，故由Rolle定理知，至少存在一点，使得，所以，证毕。3.1.3用复数乘法运算构造辅助函数图3-1证明：如图3-1所示，设曲线弦的倾斜角为，则，取曲线上任意一点，对复数作复数乘法运算：。作辅助函数，注意到，即，则，由Lagrange中值定理的条件知，在上满足Rolle中值定理的条件，因此至少存在一点，使，即所以，证毕。3.1.4构造和差型辅助函数证明：由移项得。由此可以看出它是函数在点的导数，于是可构造函数。容易验证满足Rolle中值定理的三个条件，故，即，故，证毕。3.1.5引入旋转变换证明：Lagrange中值定理与Rolle中值定理的区别仅仅在于区间端点函数值相等与不相等，自然想到能否通过旋转变换使之满足Rolle中值定理条件，从而证明Lagrange中值定理，为此引入坐标系的旋转变换，即，同时有逆变换，即。我们选取合适的，使得，只须，即，变形可得，也就是，同时可知在上连续，在内可微，故知满足Rolle中值定理条件，则存在一点，使得，即：亦即：，证毕。3.1.6区间套证明法图3-2证明：有定理条件，在上连续，在可导，采用如下方法制作区间套：记，将二等分，设分点为，易知为上一点，把该点记为，过作直线，使其斜率等于，此时可能出现两种情况：（1）与只有一个交点，则即为所求；（2）与不只有一个交点，取和相邻的交点对应的横坐标，与作成区间，且。（如图3-2）由以上作法，显然可以知道：，若出现（2），则将二等分，设分点为，记，是上的点，过作直线，使其斜率等于，此时也可能出现两种情况：1与只有一个交点，则即为所求；2与不只有一个交点，取和相邻的交点对应的横坐标，与作成区间，且，显然易知，若出现2，则将二等分，按以上方法找到，如此一直作下去，可能出现两种情况：（i）经过若干步后得到某一个，符合定理要求，定理成立；（ii）在逐次等分过程中，若不出现(i)中的情形，于是得到一个闭区间序列( 1,2,)，由区间的作法可知序列满足：（a）；（b）；（c）。因而构成区间套，有区间套定理，存在一点( 1,2,)，又有前述作法，不可能在内，而且这样的至少存在一个。综上所述，至少存在一点，使得成立，证毕。3.2 Cauchy中值定理的几种证明方法3.2.1反函数法证明：在内可导，且，则或，。设，可知在内为严格单调增函数，由反函数存在条件知有反函数；设，因为在上连续，在内可导，由反函数的连续性、可导性知的反函数在上连续，在内可导；又因为在上连续，在内可导，推得也在上连续，在内可导；由Lagrange中值定理，故存在，使。令，则，因为，则，并注意到，及复合函数、反函数的求导法则，得：代入上式得到，证毕。3.2.2反证法证明：设AB的参数方程为，其中为参数，且，那么曲线上某一点处切线的斜率为，若在内不存在满足，即对任意，或。不妨设，作函数，则，即为内的严格单调增函数，由在上连续，可知，即，与矛盾，原假设不成立，至少存在一点，使得，证毕。3.2.3用原函数构造辅助函数证明：要证明在内至少有一点，使成立，只要证明，而有一个原函数，即，且满足在上连续，在内可导，由Rolle中值定理，则至少存在一点，使得，即，从而结论成立，证毕。3.2.4用常数值结构设辅助函数证明：要证明在内至少存在一点，使得。首先设（常数），则，令，则，即，且满足在上连续，在内可导，由Rolle中值定理，则至少存在一点，使得，即，所以，证毕。3.2.5构造行列式型辅助函数证明：设，由于是，的多项式函数，从而在c上连续，在内可导，且利用行列式性质易见，故由Rolle中值定理知，至少存在一点，使得，由此可得，证毕。4微分中值定理的几种应用4.1 Rolle中值定理的几种应用4.1.1应用Rolle中值定理来讨论方程的根Rolle中值定理常常用来讨论方程的根，是用来确定导函数的根的存在性。例1（1）方程（为常数）在区间内不可能有两个不同的实根；（2）方程（为正整数，为实数），当为偶数时至多有两个实根，当为奇数时至多有三个实根。证明：（1）设，若，使，则由Rolle中值定理知，使，即，解之得，与矛盾，所以不能有两个不等实根。（2）先证明如下结论：若多项式的导函数有个实根，则至多有个实根。设有个以上实根，则至少为个，设其前个实根依次为，则由Rolle中值定理知，（，）使（，）。与有个实根矛盾，故结论成立。记，则。当为偶数时，即时，。方程仅有一个实根。故，即至多有两个实根。当为奇数时，即时，。方程至多有两个实根。故，即至多有三个实根。4.1.2应用Rolle中值定理证明等式Rolle中值定理常常用来讨论一阶导数、二阶导数，通常用构造辅助函数或辅助区间的方法来解决问题。例2设在上连续，在内可导，且，证明在内至少存在一点，使得。证明：（辅助函数法）令，由题设知在上连续，在内可导，又因为，所以由Rolle中值定理知存在一点，使得，即，即得结论。例设函数在闭区间上连续，在开区间内二阶可导，并且曲线和连接点与的直线段在内相交。求证：，使得。证明：（辅助区间法）设是曲线与弦交点的横坐标。根据Lagrange中值定理，我们有，使得；，使得。由此推出。又因为在上连续，在上可导，所以对在上用Rolle中值定理，可知，使得。例设函数在上可导，且。求证：，使得。证明：（辅助函数法）设辅助函数显然在上连续，在内可导，进一步，对，我们有。分两种情况：第一种情况，。根据Rolle中值定理，使得，所以。第二种情况，不妨设，那么由式，有。因为连续且，所以，使得。于是根据连续函数的中间值定理，使得。现在对在上用Rolle中值定理，我们有，使得，所以。对于的情况，可类似证明。4.2 Lagrange中值定理的几种应用4.2.1应用Lagrange中值定理证明等式证明等式，可令，在（其中）上便可直接应用Lagrange中值定理。例5求证。证明：令在上用Lagrange中值定理（其中），有（其中介于和之间）。即有所以有。例6设函数，在内可导，且，。证明，使。证明：（辅助函数法）作辅助函数，则有，。在与上对分别使用Lagrange中值定理，可知，使，。联立两式即得。例7设在上连续，在上可导，。求证：，使得。证明：（辅助区间法）令，则，使，即。因为在上连续，在内可导，所以在上用Lagrange中值定理，则，使得。4.2.2应用Lagrange中值定理证明不等式求证形如的不等式，一般令，再在上用Lagrange中值定理，一般根据的符号正负便可判断与的大小关系。例8求证当时，。证明：令，在上用Lagrange中值定理，有（其中），所以，当时，不等式成立，即。4.2.3应用Lagrange中值定理求极限例9求。解：设函数，若令，则由Lagrange中值定理知存在一点（其中介于和之间）使得，即有，则有（其中介于和之间）。4.3 Cauchy中值定理的几种应用4.3.1应用Cauchy中值定理证明等式例10设函数在点的某个邻域内具有二阶导数，证明：对充分小的，存在，使得。证明：（辅助函数法）设，由已知，存在，使在内有二阶导数，则当时，在上满足Cauchy中值定理条件，使，即，而在上满足Cauchy中值定理条件，且，则，使。记，则有，。例11设函数在闭区间上可微分，并且。证明，其中。证明：令，不妨设，易知在上连续，在上可导，且有，由Cauchy中值定理，存在一点使得，将分别代入上式，即得亦即。4.3.2用Cauchy中值定理证明不等式例12设函数在上连续可导，且。证明。证明：记，使取定的，因，故在上有界。同样的，在上也有界。因此只要证明在上有界。对，由Cauchy中值定理可知，使而其中，而为常数。于是由有，由此得出，或即，从而有。同样可证，综上所述。4.3.3应用Cauchy中值定理证明函数的一致连续性例13设函数在上可导，且存在，证明在上一致连续。分析：定义在半开闭区间上连续函数一致连续的充要条件是存在，而题设条件与导数有关，因此可综合利用Cauchy中值定理及Cauchy收敛准则证明这一结论。证明：由条件存在，故当时有界，即及，对有。考虑，对（不妨设），在上，满足Cauchy中值定理条件，于是有，也即有。，再令，则对有。由右极限的Cauchy收敛准则可知存在，又，从而在上一致连续。4.3.4应用Cauchy中值定理求极限例14求。解：设，由Cauchy中值定理得，。因，由夹逼原则，于是。5总结及后续工