高等数学-第1章 函数与极限-1-2极限.doc

1.3 极限教学目的：了解数列及函数极限的概念，会用极限的分析定义证明一些简单极限；掌握极限的性质；了解无穷大、无穷小的概念及其相互关系。教学重点：极限的概念；极限的性质；无穷大、无穷小的概念。教学难点：极限的概念；数列及函数极限的性质。教学内容：1.3.1引言例计算圆的面积。设有半径为 r 的圆，用其内接正n边形的面积逼近圆面积S，如图。R从作正六边形开始，面积记为，然后作正十二()边形，其面积记为,再作正二十四()边形，其面积记为，L，正边形，其面积记为。这个过程无限进行下去，可以得到一个数列：且当n无限增大时,正多边形无限地逼近圆，无限地接近于一个定值，这个定值定义为圆的面积S，记为。例计算由抛物线，轴和直线所围图形（曲边三角形）的面积。y=x2y=x2n=4n=8图 和时的情形将区间分成个相等的小段，则每一段的长度为，分点的坐标分别为，然后过每个分点作轴的垂线，这样曲边三角形被分成个小窄条。每个小窄条的面积都用底宽为，高为（）的小矩形面积近似表示(图1.3.3)。将这些小矩形的面积加起来，得到的近似值： 从图形上看，随着的增大，越来越接近，但无论多么大，始终是的近似值。为了求的精确值，Archimedes设想让无限地增大，面积为的多边形越来越逼近曲边三角形，而无限地接近于一个确定的数，这个确定的数就定义为曲边三角形的面积。称为趋于无穷大时的极限，记为。例3 变速直线运动的速度设某质点沿直线运动，假设直线为一数轴，取定一时刻为测量时间的零点。质点时刻在直线上的位置为。这样质点的位置完全由某一函数确定，设该函数为。我们已经知道匀速直线运动的速度经过的路程所花的时间，但对于变速直线运动的速度该公式就不再适用了。因为不同的时间间隔内会有不同的比值。那么变速直线运动速度应如何求呢？取从时刻到时刻这样一个时间间隔段，在这段时间内质点经过的路程为，比值可以看成是时间内的平均速度。如果很小，在这段时间内，运动可以近似地看成是均匀的，因而可以用来近似代替时刻的速度。越小，近似程度越高。但不论多小，这个平均速度总是近似值，而不是精确值。为了得到精确值，令趋于0，即让无限地接近，则无限地接近时刻的速度。因此我们得到上述求的过程实质上一方面看是研究函数随的变化过程；另一方面看是研究函数在某一点的变化率问题，这一问题的研究，导致微积分学中另一重要分支微分学的产生，这部分内容将在第二章详细讨论。1.3.2 数列的极限1 数列极限的定义定义 设是一给定数列，是一实常数。如果对于任意给定的正数 (不论它多么小)，总可以找到自然数,使得对于时的一切,不等式都成立，那么就称常数a是数列的极限，或者称数列收敛于,记为 或如果数列没有极限，就说数列是发散的。 “对于时的一切,不等式都成立”表示数列中从第项开始所有的项都落在中，如图1.3.4。xa图1.3.4注意（）极限定义中的和有关，但并不是的函数；（）不一定找最小的；（）数列收敛与否，以及收敛数列的极限是什么，与数列前有限项无关，因此改变数列前有限项，不影响数列的收敛性及收敛数列的极限。例4 证明数列的极限为1。证明记，只要取，则时，即，由定义知例5 证明()。证明，（不妨设），要使，只要，两边取自然对数，得，故。因此，取，则时，有，即。由定义知.2. 收敛数列的性质(1) 极限的唯一性定理1.1 收敛数列的极限必唯一.证明 用反证法. 假设数列收敛到两个不同的值，不妨设。因，所以对于，存在自然数N1，使当 n N1 时, 有，从而 (1.3.5)同理, 因故存在自然数N2，使当 n N2 时, 有 ，从而(1.3.6)取，则时，不等式(1.3.5)和(1.3.6)同时成立，矛盾。因此,收敛数列的极限必唯一.(2) 数列的有界性如果存在实数，使数列的所有项都满足，则称数列有界。定理1.2 收敛数列必有界。证明 设数列收敛到，由极限的定义，取，则当时，有即 取，对所有的都有因此，数列有界，即收敛数列必有界。注意 定理的逆命题并不成立，即有界数列不一定收敛，例如，有界，但发散。有界，但却发散。（3）收敛数列的保序性定理1.3设数列，均收敛，若，且，则存在自然数，当时，。证明因，根据极限定义，对于，当时，有即又，对于，当时，有即取，则当时，因此，。注意定理1.3的逆命题不成立，但有下述结论：推论1若，存在自然数，当时，（），则。推论2 （收敛数列的保号性）若，且（或），则存在自然数，当时，（或）。推论3若，则存在自然数，当时，。（4）收敛数列与其子列间的关系设是一严格单调递增的无穷数列，则数列称为数列的子数列，简称子列，显然一个数列有无穷多个子列。在子列中，一般项是第项，而在原数列中是第项，。定理1.4 如果数列收敛于，则它的任何子列都收敛，且收敛于。证明设数列是数列的任意子数列。由于，所以，时，有取，则当时，于是，从而。根据定理1.4，若数列有两个子列收敛到不同的值或有一个子列发散，那么原数列一定发散。例如数列：的子列收敛于1，而子列收敛于0。因此原数列发散。定理1.5 对于数列，如果，则。有时利用这个定理证明一些数列极限的存在性。更一般地，若，则。1.3.3 函数极限1自变量趋于无穷大时函数的极限考察函数,当无限增大时，函数值无限地趋于0。定义 设存在，当时函数有定义，是一实常数。如果对于任意给定的正数 (不论它多么小)，总可以找到,使得对于时的一切,不等式成立，那么就称常数是函数当趋于无穷大时的极限。记为 或注意如果是无限增大或的代数值无限变小，而绝对值无限增大时函数值无限地趋于定数，记为或。考察函数的函数值随自变量变化的变化趋势，见图。从图形上看，随无限地增大，曲线上对应的点与直线的距离无限地变小，即随无限增大，的值无限地趋于，因此，；随无限地减小，但无限地增大，曲线上对应的点与直线的距离无限地变小，即的值无限地趋于，因此，。但不存在。几何意义：对于给定一个，作直线与，则总存在，在区间外，函数的图形总介于直线与之间，图1.3.8.图1.3.8 例6证明。证明时，要使，只要，即，取，则当时，有，即 ，因此 。2自变量趋于有限值时函数的极限考察函数，时函数没有定义，时，函数。从图1.3.9看出，当无限地趋近1但总不等于1时，曲线上的点无限地趋近，即函数值无限地趋近2。我们说2是函数，当趋近于1时的极限。图1.3.9无限地趋近1时，函数无限趋近于2的意思是：当与1充分靠近，即当充分小时，与2可以接近到任何预先要求的程度，即可以小于预先给定的任何小正数，无论它多么小。定义设函数在内有定义，（无论多么小），（），当时，恒有，则称时，以为极限，记为或（）几何意义：对于给定一个，作直线与，则总存在，当时，的图形总介于直线与之间，图1.3.10。图1.3.10例7证明(为常数，)。证明，要使，只要即可。因此，取，当，恒有，因此，。例8证明证明时，要使，只要即可。因此，取，当，恒有，因此，。定义（单侧极限）设函数在内有定义，（），当时，恒有，则称为时，的右极限，记为或（），的右极限也记为。类似地定义的左极限，记为或（），的左极限也记为。容易证明时，极限存在的充分必要条件是左极限和右极限都存在且相等。注意，当在点的左、右极限有一个不存在时，极限不存在。即使左、右极限都存在，但不相等时，也不存在。例9证明不存在。证明， 左极限和右极限都存在但不相等，因此，不存在。3 函数极限的性质 函数极限的许多性质及证明都与数列极限的类似，请读者仔细体会，统一掌握，并注意区别它们的不同之处。(1) 极限的唯一性定理1.6 若存在，则极限唯一.与数列极限唯一性的证明类似，请读者自己完成.(2)局部有界性定理1.7 若存在，则，当时，有界。证明 设，由极限的定义，取，则，时，有，即 取，则，因此，时，有界。(3) 局部保序性定理1.8若，且，则，时，。证明由已知，取。因，根据极限定义，时，有即又，对于，时，有即取，则时，因此。推论1若，且，时， ，则。推论2 （局部保号性）若，且（或），则，时，（或）。推论3 若，则，时，。1.3.4无穷小与无穷大1 无穷小定义自变量的某个变化过程中，极限为0的函数称为自变量在这一变化过程中的无穷小。例如，则是时的无穷小；，故是时的无穷小；，是时的无穷小。无穷小是自变量的某个变化过程中，极限为0的函数，0是唯一一个为常数的无穷小。由于与等价，根据无穷小的定义，给出无穷小与函数极限的关系。定理1.9在自变量的同一变化过程中，的极限为的充分必要条件是，其中是无穷小。证明由极限的定义及无穷小的定义很容易得到，请读者自己完成。2 无穷大定义设函数在内有定义(或，时有定义)。如果（无论多么大），（）（或）