高考数学一轮复习专题2.13利用导数求函数的单调性、极值、最值练习（含解析）.docx

利用导数求函数的单调性、极值、最值【套路秘籍】-千里之行始于足下一函数的单调性在某个区间(a，b)内，如果f(x)0，那么函数yf(x)在这个区间内单调递增；如果f(x)0，右侧f(x)0，那么f(x0)是极大值；如果在x0附近的左侧f(x)0，那么f(x0)是极小值(2)求可导函数极值的步骤求f(x)；求方程f(x)0的根；考查f(x)在方程f(x)0的根附近的左右两侧导数值的符号如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值三函数的最值(1)在闭区间a，b上连续的函数f(x)在a，b上必有最大值与最小值(2)若函数f(x)在a，b上单调递增，则f(a)为函数的最小值，f(b)为函数的最大值；若函数f(x)在a，b上单调递减，则f(a)为函数的最大值，f(b)为函数的最小值【修炼套路】-为君聊赋今日诗，努力请从今日始考向一单调区间【例1】求下列函数的单调区间：（1）；（2）. （3）)f(x).【答案】见解析【解析】（1）由题意得.令，解得或.当时，函数为增函数；当时，函数也为增函数.令，解得.当时，函数为减函数.故函数的单调递增区间为和，单调递减区间为.（2）函数的定义域为.令，解得；令，解得.故函数的单调递增区间为，单调递减区间为.(3)要使函数f(x)有意义，必须2xx20，即0x2.函数的定义域为0,2f(x)()(2xx2)(2xx2) .令f(x)0，则0.即0x1.函数的单调递增区间为(0,1)令f(x)0，则0，即1x2.函数的单调递减区间为(1,2)【套路总结】用导数研究函数的单调性（1）用导数证明函数的单调性证明函数单调递增（减），只需证明在函数的定义域内（）0（2）用导数求函数的单调区间求函数的定义域求导解不等式0得解集求,得函数的单调递增（减）区间。一般地，函数在某个区间可导，0在这个区间是增函数一般地，函数在某个区间可导，0在这个区间是减函数当求得的单调区间不止一个时，单调区间要用“，”或“和”字等隔开，不要用符号“”连接【举一反三】1函数y4x2的单调增区间为_【答案】【解析】由y4x2，得y8x(x0)，令y0，即8x0，解得x，函数y4x2的单调增区间为.2函数f(x)xexex1的单调增区间是_【答案】(e1，)【解析】由f(x)xexex1，得f(x)(x1e)ex，令f(x)0，解得xe1，所以函数f(x)的单调增区间是(e1，)3已知函数f(x)xln x，则f(x)的单调减区间是_【答案】【解析】因为函数f(x)xln x的定义域为(0，)，所以f(x)ln x1(x0)，当f(x)0时，解得0x0，则其在区间(，)上的解集为，即f(x)的单调增区间为和.考向二极值【例2】求函数f(x)2的极值【答案】见解析【解析】函数的定义域为R.f(x).令f(x)0，得x1或x1.当x变化时，f(x)与f(x)的变化情况如下表：x(，1)1(1,1)1(1，)f(x)00f(x)极小值极大值由表可以看出：当x1时，函数有极小值，且f(1)23；当x1时，函数有极大值，且f(1)21.【套路总结】函数极值问题的常见类型及解题策略（1）函数极值的判断：先确定导数为0的点，再判断导数为0的点的左、右两侧的导数符号（2）求函数极值的方法：确定函数的定义域求导函数求方程的根检查在方程的根的左、右两侧的符号，确定极值点如果左正右负，那么在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么在这个根处取得极小值；如果在这个根的左、右两侧符号不变，则在这个根处没有极值【举一反三】1求函数f(x)x33x29x5的极值【答案】见解析【解析】函数f(x)x33x29x5的定义域为R，且f(x)3x26x9.解方程3x26x90，得x11，x23.当x变化时，f(x)与f(x)的变化情况如下表：x(，1)1(1,3)3(3，)f(x)00f(x)单调递增10单调递减22单调递增因此，x1是函数的极大值点，极大值为f(1)10；x3是函数的极小值点，极小值为f(3)22.考向三最值【例3】求下列各函数的最值：(1)f(x)x34x4，x0,3(2)f(x)sin 2xx(x，)【答案】见解析【解析】(1)因f(x)x34x4，则f(x)x24(x2)(x2)令f(x)0，得x2或x2(舍去)当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x(0,2)2(2,3)f(x)0f(x)所以当x2时，f(x)x34x4有极小值，并且极小值为f(2).又由于f(0)4，f(3)1，因此，函数f(x)x34x4在0,3上的最大值是4，最小值是.(2)f(x)2cos 2x1.令f(x)2cos 2x10，解得x1，x2.当x变化时，f(x)与f(x)的变化情况如下表：x(，)(，)(，)f(x)00f(x)由上表可知f(x)的最大值是，最小值是.【套路总结】一求函数f (x)在a，b上最值的方法（1）若函数f (x)在a，b上单调递增或递减，则f (a)与f (b)一个为最大值，一个为最小值（2）若函数f (x)在区间(a，b)内有极值，先求出函数f (x)在区间(a，b)上的极值，与f (a)、f (b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值（3）函数f (x)在区间(a，b)上有唯一一个极值点时，这个极值点就是最大(或最小)值点注意：（1）若函数中含有参数时，要注意分类讨论思想的应用.（2）极值是函数的“局部概念”，最值是函数的“整体概念”，函数的极值不一定是最值，函数的最值也不一定是极值.要注意利用函数的单调性及函数图象直观研究确定.【举一反三】1求下列函数的最值：(1)f(x)x32x24x5，x3,1；(2)f(x)ex(3x2)，x2,5【答案】见解析【解析】(1)f(x)x32x24x5，f(x)3x24x4.令f(x)0，得x12，x2.f(2)13，f()，f(3)8，f(1)4，函数f(x)在区间3,1上的最大值为13，最小值为.(2)f(x)3exexx2，f(x)3ex(exx22exx)ex(x22x3)ex(x3)(x1)，在区间2,5上，f(x)ex(x3)(x1)0，即函数f(x)在区间2,5上单调递减，x2时，函数f(x)取得最大值f(2)e2；x5时，函数f(x)取得最小值f(5)22e5.考向四利用导数判断图像【例4】已知函数的图象如图所示，则函数的图象可能是【答案】B【解析】由的图象及导数的几何意义可知，当时，；当时，；当时，故B符合.【举一反三】3.已知f(x)=14x2+sin2+x,f(x)为f(x)的导函数,则f(x)的图象是()【答案】A【解析】f(x)=14x2+sin2+x=14x2+cos x,f(x)=12x-sin x,它是一个奇函数,其图象关于原点对称,故排除B,D.又f(x)=12-cos x,当-3x12,f(x)1时，y0；当x1时，y0.令f(x)0，得x1.令f(x)0，得0x1.f(x)在x1处取得极小值也是最小值，且f(1)ln 1.4.设函数f(x)在R上可导，其导函数为f(x)，且函数y(1x)f(x)的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是_(填序号)函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1)；函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1)；函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(2)；函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(2)【答案】【解析】由题图可知，当x0；当2x1时，f(x)0 当1x2时，f(x)2时，f(x)0.由此可以得到函数f(x)在x2处取得极大值，在x2处取得极小值5.函数f(x)=(x-3)ex的单调递增区间是。【答案】(2,+)【解析】函数f(x)=(x-3)ex的导数为f(x)=(x-3)ex=ex+(x-3)ex=(x-2)ex.由函数导数与函数单调性的关系,得当f(x)0时,函数f(x)单调递增,此时由不等式f(x)=(x-2)ex0,解得x2.6.若x=1是函数f(x)=ax+ln x的极值点,则。A.f(x)有极大值-1B.f(x)有极小值-1 C.f(x)有极大值0D.f(x)有极小值0【答案】A【解析】x=1是函数f(x)=ax+ln x的极值点,f(1)=0,a+11=0,a=-1.f(x)=-1+1x=0x=1.当x1时,f(x)0,当0x0,因此f(x)有极大值-1.7.已知a为函数的极小值点，则a=。【答案】2【解析】，令得或，易得在上单调递减，在上单调递增，故的极小值点为2，即.8已知函数，求函数在上的最大值和最小值.【答案】见解析【解析】.当变化时，的变化情况如下表：1+00+递增极大值递减极小值递增因此，当时，有极大值，为；当时，有极小值，为，又，所以函数在上的最大值为2，最小值为.9已知函数在处取得极值.（1）求a、b的值；（2）若有极大值28，求在上的最大值.【答案】见解析【解析】（1）因为，所以.由于在点处取得极值，故有，即，化简得，解得.（2）由（1）知，.令，得.当时，故在上为增函数；当时，故在上为减函数；当时，故在上为增函数.由此可知在处取得极大值，在处取得极小值.由题设条件知，得，此时10.已知函数f(x)x33ax2bxa2在x1处有极值0，求a，b的值【答案】a2，b9.【解析】f(x)3x26axb，且函数f(x)在x1处有极值0.即解得或当a1，b3时，f(x)3x26x33(x1)20，此时函数f(x)在R上为增函数，无极值，故舍去当a2，b9时，f(x)3x212x93(x1)(x3)当x(，3)时，f(x)0，此时f(x)为增函数；当x(3，1)时，f(x)0，此时f(x)为减函数；当x(1，)时，f(x)0，此时f(x)为增函数故f(x)在x1处取得极小值a2，b9.12.设f(x)aln xx1，其中aR，曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线垂直于y轴(1)求a的值；(2)求函数f(x)的极值【答案】见解析【解析