（试题 试卷 真题）专题八　立体几何

专题八立体几何(2012高考北京卷)某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的表面积是()A286B306C5612 D60 12(2012高考陕西卷)将正方形(如图1所示)截去两个三棱锥，得到图2所示的几何体，则该几何体的左视图为()(2012高考天津卷)一个几何体的三视图如图所示(单位：m)，则该几何体的体积为_ m3.(2012高考山东卷) 如图，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，E为线段B1C上的一点，则三棱锥ADED1的体积为_(2012高考安徽卷)若四面体ABCD的三组对棱分别相等，即ABCD，ACBD，ADBC，则_(写出所有正确结论的编号)四面体ABCD每组对棱相互垂直四面体ABCD每个面的面积相等从四面体ABCD每个顶点出发的三条棱两两夹角之和大于90而小于 180连接四面体ABCD每组对棱中点的线段相互垂直平分从四面体ABCD每个顶点出发的三条棱的长可作为一个三角形的三边长 (2012高考课标全国卷) 如图，三棱柱ABCA1B1C1中，侧棱垂直底面，ACB90，ACBCAA1，D是棱AA1的中点 ()证明：平面BDC1平面BDC；()平面BDC1分此棱柱为两部分，求这两部分体积的比(2012高考广东卷) 如图所示，在四棱锥PABCD中，AB平面PAD，ABCD，PDAD，E是PB的中点，F是DC上的点且DFAB，PH为PAD中AD边上的高 (1)证明：PH平面ABCD；(2)若PH1，AD，FC1，求三棱锥EBCF的体积；(3)证明：EF平面PAB.(2012高考福建卷) 如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，ABAD1，AA12，M为棱DD1上的一点 ()求三棱锥AMCC1的体积；()当A1MMC取得最小值时，求证：B1M平面MAC.(2012高考浙江卷) 如图，在侧棱垂直底面的四棱柱ABCDA1B1C1D1中，ADBC，ADAB，AB，AD2，BC4，AA12，E是DD1的中点，F是平面B1C1E与直线AA1的交点 ()证明：()EFA1D1；()BA1平面B1C1EF；()求BC1与平面B1C1EF所成的角的正弦值(2012高考湖南卷) 如右图，在四棱锥PABCD中，PA平面ABCD，底面ABCD是等腰梯形，ADBC，ACBD. ()证明：BDPC；()若AD4，BC2，直线PD与平面PAC所成的角为30，求四棱锥PABCD的体积专题八立体几何B由三视图可得该三棱锥的直观图为(下图)，在直观图中，作SOAC于O，则SO面ABC，作OGAB于G，连SG，则SGAB，由三视图知，ACB90，SO4，AO2，CO3，BC4.在RtAOG及RtACB中，由RtAOGRtACB，OG .在RtSOG中，SG.S表SSACSSBCSABCSSAB45445306.B由图2可知AD1为实线，B1C在左视图中为虚线，所以左视图为B.30由三视图知原几何体是由两个长方体及1个三棱柱组合而成，V34430.VD1EDFVFEDD1SD1DECD.如图所示，利用特值法易知正确，错误，不一定证明：()由题设知BCCC1，BCAC，CC1ACC，所以BC平面ACC1A1.又DC1平面ACC1A1，所以DC1BC.由题设知A1DC1ADC45，所以CDC190，即DC1DC.又DCBCC，所以DC1平面BDC.又DC1平面BDC1，故平面BDC1平面BDC.()设棱锥BDACC1的体积为V1，AC1.由题意得V111.又三棱柱ABCA1B1C1的体积V1，所以(VV1)V111.故平面BDC1分此棱柱所得两部分体积的比为11.解：(1)证明：因为AB平面PAD，所以PHAB.因为PH为PAD中AD边上的高，所以PHAD.因为ABADA，所以PH平面ABCD.(2)连结BH，取BH中点G，连结EG，因为E是PB的中点，所以EGPH，因为PH平面ABCD，所以EG平面ABCD，则EGPH，VEBCFSBCFEGFCADEG.(3)证明：取PA中点M，连结MD，ME.因为E是PB的中点，所以ME綊AB.因为DF綊AB，所以ME綊DF，所以四边形MEDF是平行四边形，所以EFMD.因为PDAD，所以MDPA.因为AB平面PAD，所以MDAB.因为PAABA，所以MD平面PAB，所以EF平面PAB.解：()由长方体ABCDA1B1C1D1知，AD平面CDD1C1，点A到平面CDD1C1的距离等于AD1，又SMCC1CC1CD211，VAMCC1ADSMCC1.()将侧面CDD1C1绕DD1逆时针转90展开，与侧面ADD1A1共面(如图)，当A1，M，C共线时，A1MMC取得最小值由ADCD1，AA12，得M为DD1中点连接C1M，在C1MC中，MC1，MC，CC12，CCMCMC2，得CMC190，即CMMC1，又由长方体ABCDA1B1C1D1知，B1C1平面CDD1C1，B1C1CM.又B1C1C1MC1，CM平面B1C1M，得CMB1M，同理可证，B1MAM，又AMMCM，B1M平面MAC.解：()()因为C1B1A1D1，C1B1平面ADD1A1，所以C1B1平面A1D1DA.又因为平面B1C1EF平面A1D1DAEF，所以C1B1EF.所以A1D1EF.()因为BB1平面A1B1C1D1，所以BB1B1C1.又因为B1C1B1A1，BB1B1A1B1，所以B1C1平面ABB1A1.所以B1C1BA1在矩形ABB1A1中，F是AA1的中点，tan A1B1Ftan AA1B，即A1B1FAA1B.又B1FB1C1B1，故A1B1FBA1B190，故BA1B1F.所以BA1平面B1C1EF.()设BA1与B1F交点为H.连结C1H.由()知BA1平面B1C1EF，所以BC1H是BC1与面B1C1EF所成的角在矩形AA1B1B中，AB，AA12，得BH .在直角BHC1中，BC12，BH，得sinBC1H.所以BC1与平面B1C1EF所成角的正弦值是.解：()证明：因为PA平面ABCD，BD平面ABCD，所以PABD.又ACBD，PA，AC是平面PAC内的两条相交直线，所以BD平面PAC.而PC平面PAC，所以BDPC.()设AC和BD相交于点O，连结PO，由()知，BD平面PAC，所以DPO是直线PD和平面PAC所成的角从而DPO30.由BD平面PAC，PO平面PAC知，BDPO.在RtPOD中，由DPO30得