广东省东莞市南开实验学校高三数学上学期期中试卷 理（含解析）.doc

广东省东莞市南开实验学校2015届高三上学期期中数学 试卷（理科）一选择题（5*8=40分）1（5分）设集合，b=（x，y）|y=3x，则ab的子集的个数是（）a4b3c2d12（5分）log2+log2cos的值为（）a2b1c2d13（5分）已知x，yr，则“x+y=1”是“xy”的（）a充分不必要条件b必要不充分条件c充要条件d既不充分也不必要条件4（5分）已知函数f（x）=，则有（）a函数f（x）的图象关于直线x=对称b函数f（x）的图象关关于点（，0）对称c函数f（x）的最小正周期为d函数f（x）在区间（0，）内单调递减5（5分）已知0ab1，则（）ab（）a（）bc（lga）2（lgb）2d6（5分）已知函数f（x）=x2+2cosx，若f（x）是f（x）的导函数，则函数f（x）在原点附近的图象大致是（）abcd7（5分）已知函数f（x）=，若对任意的xr，不等式f（x）m2m恒成立，则实数m的取值范围是（）a（，b（，1，+）c1，+）d，18（5分）已知方程=k在（0，+）上有两个不同的解、（），则下列的四个命题正确的是（）asin2=2cos2bcos2=2sin2csin2=2sin2dcos2=2sina2二填空题（6*5=30分）（一）必做题：第9、10、11、12、13题为必做题，每道试题考生都必须作答9（5分）若=10（5分）如图是函数在一个周期内的图象，则阴影部分的面积是11（5分）若，则的最大值为12（5分）已知函数f（x）=x+sinx（xr），且f（y22y+3）+f（x24x+1）0，则当yl时，的取值范围是13（5分）设x，y，z为空间不同的直线或不同的平面，且直线不在平面内，下列说法中能保证“若xz，yz，则xy”为真命题的序号有（把所有的真命题全填上）x为直线，y，z为平面；x，y，z都为平面；x，y为直线，z为平面；x，y，z都为直线；x，y为平面，z为直线三、选做题：第14、15题为选做题，考生只能选做一题，两题全答的，只计前一题的得分。【坐标系与参数方程选做题】14（5分）在平面直角坐标系中，倾斜角为的直线l与曲线c：，（为参数）交于a，b两点，且|ab|=2，以坐标原点o为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，则直线l的极坐标方程是（几何证明选讲选做题）15已知o1和o2交于点c和d，o1上的点p处的切线交o2于a、b点，交直线cd于点e，m是o2上的一点，若pe=2，ea=1，amb=45，那么o2的半径为三.解答或证明题16（12分）已知锐角abc中内角a，b，c的对边分别为a，b，c，且c=6，向量=（2sinc，），=（cos2c，2cos21），且（1）求c的大小；（2）若，求的值17（13分）一个袋子中装有6个红球和4个白球，假设袋子中的每一个球被摸到可能性是相等的（）从袋子中任意摸出3个球，求摸出的球均为白球的概率；（）一次从袋子中任意摸出3个球，若其中红球的个数多于白球的个数，则称“摸球成功”（每次操作完成后将球放回）某人连续摸了3次，记“摸球成功”的次数为，求的分布列和数学期望18（13分）如图1，ad是直角abc斜边上的高，沿ad把abc的两部分折成直二面角（如图2），dfac于f（）证明：bfac；（）设dcf=，ab与平面bdf所成的角为，二面角bfad的大小为，试用tan， cos表示tan；（）设ab=ac，e为ab的中点，在线段dc上是否存在一点p，使得de平面pbf？若存在，求的值；若不存在，请说明理由19（14分）如图，点p（0，1）是椭圆c1：+=1（ab0）的一个顶点，c1的长轴是圆c2：x2+y2=4的直径，l1，l2是过点p且互相垂直的两条直线，其中l1交圆c2于a、b两点，l2交椭圆c1于另一点d（1）求椭圆c1的方程；（2）求abd面积的最大值时直线l1的方程20（14分）如图，实线部分的月牙形公园是由圆p上的一段优弧和圆q上的一段劣弧围成，圆p和圆q的半径都是2km，点p在圆q上，现要在公园内建一块顶点都在圆p上的多边形活动场地（1）如图甲，要建的活动场地为rst，求场地的最大面积；（2）如图乙，要建的活动场地为等腰梯形abcd，求场地的最大面积21（14分）函数的导数为0的点称为函数的驻点，若点（1，1）为函数f（x）的驻点，则称f（x）具有“11驻点性”（1）设函数f（x）=x+2+alnx，其中a0求证：函数f（x）不具有“11驻点性”求函数f（x）的单调区间（2）已知函数g（x）=bx3+3x2+cx+2具有“11驻点性”，给定x1，x2r，x1x2，设为实数，且1，=，=，若|g（）g（）|g（x1）g（x2）|，求的取值范围广东省东莞市南开实验学校2015届高三上学期期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一选择题（5*8=40分）1（5分）设集合，b=（x，y）|y=3x，则ab的子集的个数是（）a4b3c2d1考点：交集及其运算；子集与真子集 专题：数形结合分析：由题意集合，b=（x，y）|y=3x，画出a，b集合所表示的图象，看图象的交点，来判断ab的子集的个数解答：解：集合，为椭圆和指数函数y=3x图象，如图，可知其有两个不同交点，记为a1、a2，则ab的子集应为，a1，a2，a1，a2共四种，故选a点评：此题利用数形结合的思想来求解，主要考查集合和交集的定义及其运算法则，是一道不错的题2（5分）log2+log2cos的值为（）a2b1c2d1考点：对数的运算性质 专题：计算题分析：利用对数的运算法则进行计算即可先结合对数运算法则：loga（mn）=logam+logan，利用二倍角的正弦公式将两个对数式的和化成一个以2为底的对数的形式，再计算即得解答：解：=2故选a点评：本小题主要考查对数的运算性质、对数的运算性质的应用、二倍角的正弦公式等基础知识，考查基本运算能力属于基础题3（5分）已知x，yr，则“x+y=1”是“xy”的（）a充分不必要条件b必要不充分条件c充要条件d既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断 专题：简易逻辑分析：由x+y=1，推出xy，判定充分性成立；由xy，不能得出x+y=1，判定必要性不成立即可解答：解：x，yr，当x+y=1时，y=1x，xy=x（1x）=xx2=，充分性成立；当xy时，如x=y=0，x+y=01，必要性不成立；“x+y=1”是“xy”的充分不必要条件故选：a点评：本题考查了充分与必要条件的判定问题，解题时应判定充分性、必要性是否都成立，然后下结论，是基础题4（5分）已知函数f（x）=，则有（）a函数f（x）的图象关于直线x=对称b函数f（x）的图象关关于点（，0）对称c函数f（x）的最小正周期为d函数f（x）在区间（0，）内单调递减考点：函数y=asin（x+）的图象变换 专题：常规题型分析：分析函数f（x）=性质，要先利用公式化成正弦型、余弦型或正切型函数的标准形式，然后再研究性质解答：解：f（x）=函数f（x）不是轴对称图形，a不正确；函数f（x）的最小正周期为，c不正确；函数在区间（0，）不单调，d不正确；函数f（x）的对称中心为（）kz，函数f（x）的图象关关于点（，0）对称正确，故选b点评：本题考查了三角变换和正切型函数的性质5（5分）已知0ab1，则（）ab（）a（）bc（lga）2（lgb）2d考点：不等式的基本性质 专题：不等式的解法及应用分析：利用不等式的基本性质和指数函数、对数函数的单调性即可得出解答：解：0ab1，可得；（lga）2（lgb）2；lgalgb0，可得综上可知：只有d正确故选：d点评：本题考查了不等式的基本性质和指数函数、对数函数的单调性，属于基础题6（5分）已知函数f（x）=x2+2cosx，若f（x）是f（x）的导函数，则函数f（x）在原点附近的图象大致是（）abcd考点：函数的图象 专题：函数的性质及应用分析：由题可得f（x）=2x2sinx，判断导函数的奇偶性，利用特殊值的函数值推出结果即可解答：解：函数f（x）=x2+2cosx，f（x）=2x2sinx=2（xsinx），f（x）=2x+2sinx=（2x2sinx）=f（x），导函数是奇函数，x（0，），xsinx0，b、c、d不正确故选：a点评：本题考查函数的图象，考查同学们对函数基础知识的把握程度以及数形结合的思维能力7（5分）已知函数f（x）=，若对任意的xr，不等式f（x）m2m恒成立，则实数m的取值范围是（）a（，b（，1，+）c1，+）d，1考点：分段函数的应用 专题：计算题；函数的性质及应用；不等式的解法及应用分析：求出分段函数的最大值，把不等式f（x）m2m恒成立转化为m2m大于等于f（x）的最大值恒成立，然后求解不等式得到实数m的取值范围解答：解：对于函数f（x）=，当x1时，f（x）=（x）2+；当x1时，f（x）=0则函数f（x）的最大值为则要使不等式f（x）m2m恒成立，则m2m恒成立，即m或m1故选b点评：本题考查了恒成立问题，训练了分段函数的最值的求法，考查了数学转化思想方法，考查运算能力，是中档题8（5分）已知方程=k在（0，+）上有两个不同的解、（），则下列的四个命题正确的是（）asin2=2cos2bcos2=2sin2csin2=2sin2dcos2=2sina2考点：余弦函数的图象 专题：导数的综合应用分析：将方程=k转化为|cosx|=kx，作出两个函数的图象，利用数形结合，以及导数的几何意义即可得到结论解答：解：=k，|cosx|=kx，要使方程=k（k0）在（0，+）上有两个不同的解，则y=|cosx|的图象与直线y=kx（k0）在（0，+）上 有且仅有两个公共点，所以直线y=kx与y=|cosx|在（，）内相切，且切于点（，cos），此时y=|cosx|=cosx切线的斜率为sin=，sin=cos，2sinsin=2sincos，sin 2=2sin2，故选：c点评：本题主要考查函数的零点与方程的根的关系，导数的几何意义，体现了转化的数学思想二填空题（6*5=30分）（一）必做题：第9、10、11、12、13题为必做题，每道试题考生都必须作答9（5分）若=3考点：对数的运算性质 专题：计算题；转化思想分析：由2x=3，得x=log23，把化为以2为底数的对数，然后运用对数的和等于乘积的对数进行运算解答：解：2x=3，x=log23，又，x+2y=故答案为3点评：本题主要考查对数的运算，关键是化指数式为对数式，然后运用对数的运算法则进行化简计算，此题是基础题10（5分）如图是函数在一个周期内的图象，则阴影部分的面积是考点：定积分 专题：导数的综合应用分析：先根据函数关系式和图象，求得图象与x的正半轴的另一个交点为（，0），再根据定积分的几何意义得到阴影部分的面积解答：解：y=cos（2x），周期t=，阴影部分的面积s=cos（2x）dx+cos（2x）dx=sin（2x）|+sin（2x）|=；故答案为：点评：本题主要考查了定积分的几何意义以及三角函数的问题，关键是求出积分上下限，计算积分值，属于基础题11（5分）若，则的最大值为考点：二倍角的正弦；同角三角函数基本关系的运用 专题：三角函数的求值分析：利用利用三角函数基本关系式、基本不等式即可得出解答：解：，tan0=故答案为：点评：本题考查了三角函数基本关系式、基本不等式，属于基础题12（5分）已知函数f（x）=x+sinx（xr），且f（y22y+3）+f（x24x+1）0，则当yl时，的取值范围是，考点：利用导数研究函数的单调性；函数单调性的性质 专题：函数的性质及应用分析：判断函数f（x）的奇偶性和单调性，将不等式进行转化，利用直线和圆的位置关系，结合数形结合和的几何意义即可得到结论解答：解：f（x）=x+sinx（xr），f（x）=xsinx=（x+sinx）=f（x），即f（x）=x+sinx（xr）是奇函数，f（y22y+3）+f（x24x+1）0，f（y22y+3）f（x24x+1）=f（x24x+1），由f（x）=1+cosx0，函数单调递增（y22y+3）（x24x+1），即（y22y+3）+（x24x+1）0，（y1）2+（x2）21，y1，不等式对应的平面区域为圆心为（2，1），半径为1的圆的上半部分的几何意义为动点p（x，y）到定点a（1，0）的斜率的取值范围设k=，（k0）则y=kx+k，即kxy+k=0当直线和圆相切是，圆心到直线的距离d=1，即8k26k=0，解得k=此时直线斜率最大当直线kxy+k=0经过点b（3，1）时，直线斜率最小，此时3k1+k=0，即4k=1，解得k=，k，故答案为，点评：本题主要考查直线和圆的位置关系的应用，函数奇偶性和单调性的判断以及直线斜率的取值范围，综合性较强，运算量较大，利用数形结合是解决本题的基本思想13（5分）设x，y，z为空间不同的直线或不同的平面，且直线不在平面内，下列说法中能保证“若xz，yz，则xy”为真命题的序号有（把所有的真命题全填上）x为直线，y，z为平面；x，y，z都为平面；x，y为直线，z为平面；x，y，z都为直线；x，y为平面，z为直线考点：命题的真假判断与应用 专题：压轴题；简易逻辑分析：依据线面、面面平行和垂直的判断和性质定理，逐一判定5个命题得答案解答：解：中x平面z，平面y平面z，x平面y或x平面y又x平面y，故xy成立；中若x，y，z均为平面，则x可与y相交，故不成立；xz，yz，x，y为不同直线，故xy成立；x，y，z均为直线可异面垂直，故不成立；zx，zy，z为直线，x，y为平面可得xy，成立故答案为：点评：本题考查空间直线与平面的位置关系，平面与平面的位置关系，是中档题三、选做题：第14、15题为选做题，考生只能选做一题，两题全答的，只计前一题的得分。【坐标系与参数方程选做题】14（5分）在平面直角坐标系中，倾斜角为的直线l与曲线c：，（为参数）交于a，b两点，且|ab|=2，以坐标原点o为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，则直线l的极坐标方程是（cossin）=1考点：参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程 专题：坐标系和参数方程分析：由题意可得直线l的方程为y=x+b，曲线方程化为直角坐标，表示一个圆，由于弦长正好等于直径，可得圆心（2，1）在直线l上，由此求得b的值，可得直线的方程解答：解：设倾斜角为的直线l的方程为y=x+b，曲线c：（为参数），即 （x2）2+（y1）2=1，表示以（2，1）为圆心、半径等于1的圆由于弦长|ab|=2，正好等于直径，故圆心（2，1）在直线l上，故有1=2+b，解得b=1，故直线l的方程为 y=x1，即xy1=0再根据极坐标与直角坐标的互化公式可得cossin1=0，即（cossin）=1故答案为：（cossin）=1点评：本题主要考查把参数方程化为直角坐标方程，直线和圆的位置关系，属于基础题（几何证明选讲选做题）15已知o1和o2交于点c和d，o1上的点p处的切线交o2于a、b点，交直线cd于点e，m是o2上的一点，若pe=2，ea=1，amb=45，那么o2的半径为考点：圆与圆的位置关系及其判定 专题：直线与圆分析：根据切割线定理和割线定理，证出ep2=eaeb，代入题中数据解得eb=4，从而得到ab=3再在abm中利用正弦定理加以计算，即可得出o2的半径解答：解：pe切o1于点p，ep2=eceded、eb是o2的两条割线，eced=eaebep2=eaeb，即22=1eb，得eb=4，因此，abm中ab=ebea=3，amb=45，设o2的半径为r，由正弦定理，得=2r，即2r=，解之得r=故答案为：点评：本题给出两圆相交，在已知一条圆的切线长的情况下求另一个圆的半径着重考查了圆当中的比例线段和正弦定理等知识，属于中档题三.解答或证明题16（12分）已知锐角abc中内角a，b，c的对边分别为a，b，c，且c=6，向量=（2sinc，），=（cos2c，2cos21），且（1）求c的大小；（2）若，求的值考点：三角函数中的恒等变换应用；平面向量共线（平行）的坐标表示 专题：计算题；三角函数的求值分析：（1）由，得2sinc（2cos21）=cos2c，可求得tan2c，从而可得2c，进而得到c；（2）由，得，则，利用差角的正弦公式可求；解答：（1），2sinc（2cos21）=cos2c，即，又c为锐角，2c（0，），；（2），又，且a为锐角，；点评：本题考查平面向量共线的充要条件、和差角公式，考查学生的运算求解能力17（13分）一个袋子中装有6个红球和4个白球，假设袋子中的每一个球被摸到可能性是相等的（）从袋子中任意摸出3个球，求摸出的球均为白球的概率；（）一次从袋子中任意摸出3个球，若其中红球的个数多于白球的个数，则称“摸球成功”（每次操作完成后将球放回）某人连续摸了3次，记“摸球成功”的次数为，求的分布列和数学期望考点：离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列 专题：计算题；概率与统计分析：（）设从袋子中任意摸出3个球，利用排列组合知识能求出摸出的球均为白球的概率（）由一次”摸球成功”的概率p=随机变量服从二项分布b（3，），由此能求出的分布列和数学期望解答：解：（）设从袋子中任意摸出3个球，摸出的球均为白球的概率：p=（4分）（）由一次”摸球成功”的概率p=（8分）随机变量服从二项分布b（3，），的分布列为：（12分）p（=0）=，p（=1）=，p（=2）=，p（=3）=，0123pe=3=2 （14分）点评：本题考查离散型随机变量的分布列和数学期望，在历年2015届高考中都是必考题型解题时要认真审题，注意概率知识的灵活运用18（13分）如图1，ad是直角abc斜边上的高，沿ad把abc的两部分折成直二面角（如图2），dfac于f（）证明：bfac；（）设dcf=，ab与平面bdf所成的角为，二面角bfad的大小为，试用tan，cos表示tan；（）设ab=ac，e为ab的中点，在线段dc上是否存在一点p，使得de平面pbf？若存在，求的值；若不存在，请说明理由考点：直线与平面垂直的性质；直线与平面平行的判定 专题：三角函数的求值；空间位置关系与距离；空间角分析：（1）首先利用折叠，把平面问题转化成空间问题，进一步利用面面垂直转化成线面垂直和线线垂直（2）利用三角函数及定义建立等量关系（3）存在性问题的确定，先确定结论，然后进行证明，进一步得出结论解答：证明：（）addb，addc，bdc是二面角bdac的平面角又二面角bdac是直二面角，bddc，bd平面adc，bdac，又dfac，ac平面bdf，bfac解：（）由（），利用三角形相似得：，解：（）存在，使de平面pbf理由：连接ce交bf于点m，连接pm，则pmdeab=ac，ad=dc，f为ac的中点，而e为ab的中点，m为abc的重心，即在线段dc上存在一点p，此时，使de平面pbf故答案为：（1）略（2）tancos=tan（3）存在，使de平面pbf点评：本题考查的知识要点：面面垂直的性质定理与线面垂直和线线垂直的转化，三角函数只是在三角形中的应用，直二面角的应用，存在性问题的确定与证明方法19（14分）如图，点p（0，1）是椭圆c1：+=1（ab0）的一个顶点，c1的长轴是圆c2：x2+y2=4的直径，l1，l2是过点p且互相垂直的两条直线，其中l1交圆c2于a、b两点，l2交椭圆c1于另一点d（1）求椭圆c1的方程；（2）求abd面积的最大值时直线l1的方程考点：直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程 专题：圆锥曲线的定义、性质与方程；圆锥曲线中的最值与范围问题分析：（1）由题意可得b=1，2a=4，即可得到椭圆的方程；（2）设a（x1，y1），b（x2，y2），d（x0，y0）由题意可知：直线l1的斜率存在，设为k，则直线l1的方程为y=kx1利用点到直线的距离公式和弦长公式即可得出圆心o到直线l1的距离和弦长|ab|，又l2l1，可得直线l2的方程为x+kx+k=0，与椭圆的方程联立即可得到点d的横坐标，即可得出|pd|，即可得到三角形abd的面积，利用基本不等式的性质即可得出其最大值，即得到k的值解答：解：（1）由题意可得b=1，2a=4，即a=2椭圆c1的方程为；（2）设a（x1，y1），b（x2，y2），d（x0，y0）由题意可知：直线l1的斜率存在，设为k，则直线l1的方程为y=kx1又圆的圆心o（0，0）到直线l1的距离d=|ab|=又l2l1，故直线l2的方程为x+ky+k=0，联立，消去y得到（4+k2）x2+8kx=0，解得，|pd|=三角形abd的面积s=，令4+k2=t4，则k2=t4，f（t）=，s=，当且仅，即，当时取等号，故所求直线l1的方程为点评：本题主要考查了椭圆的几何性质、直线与圆及椭圆的位置关系等基础知识，同时考查了推理能力和计算能力及分析问题和解决问题的能力20（14分）如图，实线部分的月牙形公园是由圆p上的一段优弧和圆q上的一段劣弧围成，圆p和圆q的半径都是2km，点p在圆q上，现要在公园内建一块顶点都在圆p上的多边形活动场地（1）如图甲，要建的活动场地为rst，求场地的最大面积；（2）如图乙，要建的活动场地为等腰梯形abcd，求场地的最大面积考点：在实际问题中建立三角函数模型 专题：计算题；三角函数的求值分析：（1）先过s作shrt于h，则有：srst=，由题意知：rst在月牙形公园里，rt与圆q只能相切或相离，rt左边的部分是一个大小不超过半圆的弓形，建立不等关系：rt4，sh2，当且仅当rt切圆q于p时（如下左图），上面两个不等式中等号同时成立从而得出场地面积的最大值即可；（2）同（1）的分析，要使得场地面积最大，ad左边的部分是一个大小不超过半圆的弓形，ad必须切圆q于p，再设bpa=，写出等腰梯形abcd面积的表达式，再利用导数求得其极大值也是最大值即可解答：解：（1）如下右图，过s作shrt于h，srst=（2分）由题意，rst在月牙形公园里，rt与圆q只能相切或相离；（4分）rt左边的部分是一个大小不超过半圆的弓形，则有rt4，sh2，当且仅当rt切圆q于p时（如下左图），上面两个不等式中等号同时成立此时，场地面积的最大值为srst=4（km2）（6分）甲图乙图（2）同（1）的分析，要使得场地面积最大，ad左边的部分是一个大小不超过半圆的弓形，ad必须切圆q于p，再设bpa=，则sabcd=（ad+bc）2sin=（4+22cos）2sin=4（sin+sincos）（8分）令y=sin+sincos，则y=cos+coscos+sin（sin）=2cos2+cos1（11分）若y=0，又时，y0，时，y0，（14分）函数y=sin+sincos在处取到极大值也是最大值，故时，场地面积取得最大值为（km2）（16分）点评：本题主要考查了在实际问题中建立三角函数模型解题的关键是利用三角函数这个数学模型，建立函数关系式，最后利用导数知识求最值21（14分）函数的导数为0的点称为函数的驻点，若点（1，1）为函数f（x）的驻点，则称f（x）具有“11驻点性”（1）设函数f（x）=x+2+alnx，其中a0求证：函数f（x）不具有“11驻点性”求函数f（x）的单调区间（2）已知函数g（x）=bx3+3x2+cx+2