概论与初等模型2.ppt

公选课 数学模型 主讲教师 周水生 上课时间 周一晚 周三晚 注意 1 本课程每周4节课 2 交选课卡同学请工整书写姓名 学号 全国大学生数学建模竞赛是教育部组织的 面向全国高等院校学生开展的一项竞赛活动 数学建模竞赛每年举办一次 9月下旬举行 学生3人1队 以学校为单位组织参赛 参加队数不限 是全国高校规模最大的学生课外科技活动 口号 一次参赛 终身受益 今年恰是该赛事成功举办20周年 1992 2011 奖项设置 国1 国2 省1 省2 成功参赛奖 官方网站 关于数学建模竞赛 2005年 795所院校 8492个队 其中甲组 本科 6556队 乙组 专科 1936队 2006年 864所院校 9985队 甲组7682队 乙组2303队 约3万 2007年 969所院校 11742个队 其中甲组9494队 乙组2248队 3万5千多名来自各个专业的大学生参加竞赛 2008年 1023所院校 31个省 市 自治区 包括香港 12846个队 其中甲组10384队 乙组2462队 3万8千多名来自各个专业的大学生参加竞赛 西电的成绩 2007年4个国家奖2008年6个国家奖 关于数学建模竞赛 全国大学生数学建模竞赛创办于1992年 每年一届 目前已成为全国高校规模最大的基础性学科竞赛 也是世界上规模最大的数学建模竞赛 2010年 来自全国33个省 市 自治区 包括香港和澳门特区 及新加坡和澳大利亚的1197所院校 17317个队 其中本科组14108队 专科组3209队 5万多名大学生参加了本项竞赛 摘自http 西电的成绩 6个国家奖 关于数学建模竞赛 美国 国际 数学建模竞赛 每年2月初举行 COMAP ConsortiumforMathematicsandItsApplications 主办 分MCM和ICM两类 非官方组织举办 全球影响较大 英文题目 英文答卷奖项 Outstanding Meritorious HonorableMention SuccessfulParticipant 网站 注记 这两项赛事本校多年来都一直参与 关于数学建模竞赛 美模 开设数模公选课 第4学期的前半学期 5 1前结课 普及数模知识 5 1期间有一个校内竞赛 成绩是选拔的重要依据之一 5 1后先大范围选拔约200余人参加培训 主要针对2年级学生 院系推荐 依据平时成绩 主要看数学课程 英语 计算机课程 培训结束考核 试卷 依据以上成绩信息 综合选拔实际参赛人数的2倍左右同学 进一步培训 测试 7月份 放假 前后大致选定参赛队员 可能会多出一些替补 暑期强化培训 竞赛前强化练习 参赛队员将基本不放暑假 9月中旬参加竞赛 在参加过竞赛的队员中选拔部分参加国际竞赛 参赛队员将基本不放寒假 西电历年的大体组织过程 获奖同学可获得免试推荐研究生资格 本校 外校都可 国内竞赛 国家一等奖 二等奖 省1国际竞赛 Outstanding Meritorious HonorableMention 近几年本校获益同学去清华 北大 中科院 南开 浙大等很多人 参加过数模培训和竞赛的队员在后期工作中表现非常突出 导师非常欢迎 大部分都进行硕博连读 很快就是研究院所的中坚力量 公选课 数学模型 参考书目 不限于 1 数学建模与数学实验 赵静 但琦主编 高等教育出版社 2003年6月第二版 2 数学模型 姜启源编 高等教育出版社 2003 3 数学建模 叶其孝 姜启源等译 机械工业出版社 2004 12 064 数学建模 杨启帆 谈之奕 何勇编 浙江大学出版社 2006年6月 二版 5 数学建模基础 薛毅主编 北京工业大学出版 2004年4月 5 数学建模 刘锋编著 南京大学出版 2005年9月 考核方式 平时作业 2 3次 结课考试注记 成绩仅是选择竞赛队员的依据之一 数学模型 教师邮箱 sszhou 欢迎联系 数学建模讲义 建模概论与初等模型 风洞中的飞机 物理模型 地图 电路图 符号模型 模型是为了一定目的 对客观事物的一部分进行简缩 抽象 提炼出来的原型的替代物 模型集中反映了原型中人们需要的那一部分特征 我们常见的模型 什么是数学模型 一 数学建模概论 玩具 照片 实物模型 数学模型 MathematicalModel 数学建模 MathematicalModeling 数学建模指建立数学模型的全过程 包括模型建立 求解 分析 检验 数学模型 对于一个现实对象 为了一个特定目的 根据其内规律 作出必要的简化假设 运用适当的数学工具 得到的一个数学结构 数学建模 是利用数学方法解决实际问题的一种实践过程 即通过抽象 简化 假设 引进变量等处理过程后 将实际问题用数学方式表达 以建立起数学模型 然后运用先进的数学方法及计算机技术进行求解 观点 所谓高科技就是一种数学技术 数量关系 1 解释 孟德尔遗传定律的 3 1 数学建模三大功能 解释 判断 预见 美国原子能委员会提出如下处理浓缩放射性废物 封装入密封性很好的坚固的圆桶中 沉入300ft的海里 而一些工程师提出质疑 需要判断方案的合理性 2 判断 放射性废物处理 3 预见 谷神星的发现 行星的轨道半径 水 金 地 火 木 土 1802年 发现了谷神星与3对应 之后还发现了海王星 冥王星 你碰到过的数学模型 航行问题 用x表示船速 y表示水速 列出方程 求解得到x 20 y 5 答 船速每小时20公里 甲乙两地相距750公里 船从甲到乙顺水航行需30小时 从乙到甲逆水航行需50小时 问船的速度是多少 航行问题建立数学模型的基本步骤 作出简化假设 船速 水速为常数 方向一致 用符号表示有关量 x y表示船速和水速 用物理定律 匀速运动的距离等于速度乘以时间 列出数学式子 二元一次方程 求解得到数学解答 x 20 y 5 回答原问题 船速每小时20公里 录象机计数器的用途 问题 经试验 一盘录像带从头走到尾 时间用了183分30秒 计数器读数从0000变到6152 在一次使用中录像带已经转过大半 计数器读数为4580 问剩下的一段还能否录下1小时的节目 要求 不仅仅回答问题 而且建立计数器读数与录像带转过时间的关系 一个数学模型 思考 本题中计数器读数是均匀增长的吗 日常问题 常见的录音机的转轴转动是匀速的吗 问题分析 录象机计数器的工作原理 录象带运动 观察或分析 计数器读数增长越来越慢 模型假设 录象带的运动速度是常数v 计数器读数n与右轮转数m成正比 记m kn 录象带厚度 含夹在两圈间的空隙 为常数w 空右轮盘半径记作r 时间t 0时读数n 0 建模目的 建立时间t与读数n之间的关系 设v k w r为已知参数 模型建立 建立t与n的函数关系有多种方法 1 右轮盘转过第i圈的半径为r wi m圈的总长度等于录象带在时间t内移动的长度vt 所以 模型建立 2 考察右轮盘面积的变化 等于录象带厚度乘以转过的长度 即 3 考察t到t dt录象带在右轮盘缠绕的长度 有 思考 1 3种建模方法得到同一结果 2 模型中有待定参数 确定参数的一种办法是测量或调查 试设计测量方法 参数估计 参数估计 将模型改记作 只需估计 理论上 已知t 183 5 n 6152 再有一组 t n 数据即可 实际上 由于测试有误差 最好用足够多的数据作拟合 若现有一批测试数据 用最小二乘法可得 模型检验 应该另外测试一批数据检验模型 模型应用 回答提出的问题 由模型算得n 4580时t 118 5分 剩下的录象带能录183 5 118 5 65分钟的节目 可以录制60分钟的节目 2 揭示了 t与n之间呈二次函数关系 这一普遍规律 当录象带的状态改变时 只需重新估计a b即可 基本方法 机理分析 测试分析 根据对客观事物特性的认识 找出反映内部机理的数量规律 将研究对象看作 黑箱 通过对量测数据的统计分析 找出与数据拟合最好的模型 二者结合 机理分析建立模型结构 测试分析确定模型参数 数学建模的方法和步骤 机理分析没有统一的方法 主要通过实例研究 CaseStudies 来学习 以下建模主要指机理分析 数学建模的一般步骤 数学模型的分类 按研究方法和对象的数学特征分 初等模型 几何模型 优化模型 微分方程模型 图论模型 逻辑模型 稳定性模型等 按研究对象的实际领域 或所属学科 分 人口模型 交通模型 环境模型 生态模型 生理模型 城镇规划模型 水资源模型 污染模型 经济模型 社会模型等 为了便于学习掌握 可对数学模型做适当的分类 数学建模的重要意义 电子计算机的出现及飞速发展 数学以空前的广度和深度向一切领域渗透 数学建模作为用数学方法解决实际问题的第一步 越来越受到人们的重视 数学建模 计算机技术 知识经济 四 近几年全国大学生数学建模竞赛题 怎样学习数学建模 数学建模与其说是一门技术 不如说是一门艺术 技术大致有章可循 艺术无法归纳成普遍适用的准则 想象力 洞察力 判断力 学习 分析 评价 改进别人作过的模型 亲自动手 认真作几个实际题目 创新意识 数学建模的论文结构 1 摘要 问题 模型 方法 结果 2 问题重述 4 分析与建立模型 5 模型求解 6 模型检验 7 模型推广 8 参考文献 9 附录 3 模型假设 谢谢 例1哥尼斯堡七桥问题符号表示 一笔画问题 抽象分析法 游戏问题 图论 创始人欧拉 完美的回答 连通图中至多两结点的度数为奇数 则该图可一笔画 二 初等模型 1111 1110 1010 1011 1101 0000 0001 0101 0100 0010 例2人狗鸡米过河问题 模型表示 建立 人 狗 鸡 米 的4维0 1向量 是一个简单的游戏 但可以建立经典计算机编程求解 如 1 0 1 0 表示狗 米已过河 人 鸡没有等 可取状态 24 6 10种 可取过河方式 4种 1100 1010 1001 1000 运算方式 按位异或运算 xor 例 一次运算过程 0011 0101 0110 0111 XOXX 图论解法 示例3椅子能在不平的地面上放稳吗 模型假设 模型构成 椅脚连线为正方形ABCD 如右图 t 椅子绕中心点O旋转角度 f t A C两脚与地面距离之和g t B D两脚与地面距离之和 f t g t 0 1 椅子四条腿一样长 椅脚与地面接触处可视为一个点 四脚的连线呈正方形 2 地面高度是连续变化的 沿任何方向都不会出现间断 没有像台阶那样的情况 即地面可视为数学上的连续曲面 3 对于椅脚的间距和椅腿的长度而言 地面是相对平坦的 使椅子的任何位置至少有三只脚同时着地 模型构成 由假设1 f和g都是连续函数 由假设3 椅子在任何位置至少有三只脚同时着地 对任意t f t 和g t 中至少有一个为0 当t 0时 不妨设g t 0 f t 0 原题归结为证明如下的数学命题 已知f t 和g t 是t的连续函数 对任意t f t g t 0 且g 0 0 f 0 0 则存在t0 使f t0 g t0 0 模型求解 最后 因为f t g t 0 所以f t0 g t0 0 令h t f t g t 则h 0 0和h 0 由f和g的连续性知h也是连续函数 根据连续函数的基本性质 必存在t0 0 t0 使h t0 0 即f t0 g t0 将椅子旋转90 对角线AC与BD互换 由g 0 0 f 0 0可知g 0 f 0 方法总结 1 一个变量t表示位置 引入距离函数 只设两个 证明技巧 转动90度 模型推广 1 若对象是4条腿同长的长方形桌子 结果怎样 2 某甲早8时从山下旅店出发沿一路径上山 下午5时到达山顶并留宿 次日早8时沿同一路径下山 下午5时回到旅店 某乙说 甲必在两天中的同一时刻经过路径中的同一地点 为什么 数学解法 巧妙的形象解法 建模示例4商人们怎样安全过河 问题 智力游戏 随从们密约 在河的任一岸 一旦随从的人数比商人多 就杀人越货 但是乘船渡河的方案由商人决定 商人们怎样才能安全过河 问题分析 多步决策过程 决策 每一步 A到B或B到A 船上的人员 要求 在安全的前提下 两岸的随从数不比商人多 经有限步使全体人员过河 模型构成 xk 第k次渡河前A岸的商人数 yk 第k次渡河前A岸的随从数 xk yk 0 1 2 3 k 1 2 sk xk yk 过程的状态 S x y x 0 y 0 1 2 3 x 3 y 0 1 2 3 x y 1 2 S 允许状态集合 uk 第k次渡船上的商人数 vk 第k次渡船上的随从数 dk uk vk 决策 D u v u v 1 2 允许决策集合 uk vk 0 1 2 k 1 2 sk 1 sk 1 kdk 状态转移律 求dk D k 1 2 n 使sk S按转移律由s1 3 3 到达sn 1 0 0 多步决策问题 模型求解 穷举法 编程上机 图解法 状态s x y 16个格点 允许决策D 移动1或2格 k奇 左下移 k偶 右上移 s1 sn 1 d1 d11给出安全渡河方案 评注和思考 规格化方法 易于推广 考虑4名商人各带一随从的情况 允许状态S S x y x 0 y 0 1 2 3 x 3 y 0 1 2 3 x y 1 2 D u v u v 1 2 建模示例5报童的诀窍 问题 报童每天清晨从报社购进报纸零售 晚上将没有卖掉的报纸退回 设报纸每份的购进价为b 零售价为a 退回价为c 请为该报童筹划一下 他应如何确定每天购进报纸的数量 以获得最大收入 假设和分析 1 设a b c 且一般地a b b c 2 需求量是随机的 但是有规律 可以通过市场调查和经验统计其规律 比如在其销售范围内每天报纸需求量为r的概率是f r r 0 1 2 一个概率分布 3 若设其购进n份报纸 每天报童的销售净收益是随机的 于是讨论其平均净收益G n 期望收益 如下 平均净收益G n 期望收益 问题转化为 模型建立 一个离散概率模型 最大化期望收益 模型求解 求导等技巧直接不能用 数学模型 姜启源编 P273 将离散量r看成连续量