关于选修2-1“空间向量与立体几何”的教学体会.docx

关于选修2-1“空间向量与立体几何”的教学体会 一关于本章的地位和作用.关于本章在高中数学课程的定位，课标有明确表述：“在本模块中，学生将在学习平面向量的基础上，把平面向量及其运算推广到空间，运用空间向量解决有关直线、平面位置关系的问题，体会向量方法在研究几何图形中的作用，进一步发展空间想像能力和几何直观能力.”应该说“用空间向量处理立体几何问题，提供了新的视角.空间向量的引入，为解决三维空间中图形的位置关系与度量问题提供了一个十分有效的工具.”知识体系的发展脉络见下面知识结构图.从上述对知识结构的分析看，这一章对实现课标总目标中所提“获得必要的数学基础知识和基本技能，通过不同形式的自主学习、探究活动，体验数学发现和创造的历程.提高空间想像、抽象概括、推理论证、运算求解等基本能力.提高数学地提出、分析和解决问题（包括简单的实际问题）的能力，数学表达和交流的能力，发展独立获取数学知识的能力.”是大有好处的.二关于本章重点知识技能的罗列课标及考试内容高考要求层次课标要求层次ABC了解理解掌握空间向量与立体几何空间直角坐标系空间直角坐标系空间两点间的距离公式空间向量及其运算空间向量的概念空间向量基本定理 空间向量正交分解及其坐标表示空间向量线性运算及其坐标表示空间向量数量积及其坐标表示空间向量数量积判断向量共线与垂直空间向量应用直线的方向向量平面法向量线面位置关系线线，线面，面面夹角 从上表对比结果看，课程标准并没有单独对空间直角坐标系及两点间距离公式作单独罗列，这也许就是学习过程与测试过程侧重不同的一种体现，也就是说在学习过程中，这两个知识点只是“在空间中构建单位正交基，并在这组基底下计算向量模长的两个步骤”，而在求两点距离的过程中并不一定要在单位正交基下完成，如问题1如图，三棱锥P-ABC中，PA=PB=6，PC=4，点E是棱PA靠近P点的三等分点，点F为边BC中点，求EF长.反观高考，则有存在使用单位正交基的倾向性.作为对这一知识点为B层次的理解，有问题2北京市2014-7为参考.在空间直角坐标系Oxyz中，已知A(2,0,0)，B(2,2,0)，C(0,2,0)，D(1,1,). 若S1, S2, S3,分别表示三棱锥D-ABC在xOy， yOz， zOx坐标平面上的正投影图形的面积，则A. S1= S2= S3 B. S2= S1且S2S3 C. S3= S1,且S2S3 D. S2= S3且S1S3 这道题对空间直角坐标系的考察在于：要会画出空间直角坐标系并在其上根据点的坐标准确标出点所在位置，同时坐标值也与相关距离概念建立起联系，并应用于传统几何计算，只是这种关联在本题中较简单罢了，而当空间直线坐标系的位置不理想时，对空间想象力的考察将较明显，这就是知识点层级上升到C层级了，如附中曾考察学生的一个问题：问题3如图棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD中心为M，平面ACD1交对角面BB1D1D于MD1，体对角线DB1交MD1于点O，根据立体几何知识，现以O为原点，以向量的方向分别为x,y,z轴正方向建立空间直角坐标系，则点A1的坐标为( ).对表中其他知识点层级的考察，可参考以下北京市2011-2014 这部分的测试问题.问题4北京市2011-16(本题共14分)如图，在四棱锥中，平面ABCD，底面ABCD是菱形，.(I)求证：平面PAC；(II)若，求PB与AC所成角的余弦值；(III)当平面PBC与平面PDC垂直时，求PA的长.问题5北京市2012-16(本题共14分)如图1，在RtABC中，C=90，BC=3，AC=6，D，E分 别是AC，AB上的点，且DEBC，DE=2，将ADE沿DE折起到A1DE的位置，使A1CCD,如图2.(I)求证：A1C平面BCDE；(II)若M是A1D的中点，求CM与平面A1BE所成角的大小；(III)线段BC上是否存在点P，使平面A1DP与平面A1BE垂直？说明理由问题6北京市2013-17(本题共14分)如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，AA1C1C是边长为4的正方形平面ABC平面AA1C1C，AB3，BC5.(I)求证：AA1平面ABC；(II)求二面角A1BC1B1的余弦值；(III)证明：在线段BC1上存在点D，使得ADA1B，并求的值问题7北京市2014-17. (本题共14分)如图，正方形AMDE的边长为2，B，C分别为AM，MD的中点，在 五棱锥P-ABCDE中，F为棱PE的中点，平面ABF与棱PD，PC 分别交于点G,H.(I)求证：AB/FG；(II)若PA底面ABCDE，且PA=AE，求直线BC与平面ABF所成角的大小，并求线段PH的长. 以上四题的第一问都是综合几何的传统做法，简单直接；四道题的第二问或第二问的部分小问题，都可利用空间向量相关知识程序性解决，很好地体现了相关知识点B层级掌握的程度；四道问题的最后一问，则都是循着根据所给条件确定一点具体位置思路，本质上可理解为利用向量的代数属性布列方程，也就是利用待定系数法求解决定动点位置的数量.当然这些问题也都可较好的利用传统的立体几何方法求解，使得向量方法和传统几何方法相辅相成，总之这一问很好的反应了向量和立体几何位置相关知识点C层级掌握的程度，应该说这些例子无论对解读课标中关于各重点知识掌握程度的描述，还是教学中处理几何分析与向量计算的关系都提供了鲜活的示例.当然这不是说高中教学就是以高考为核心，对高考试题的研究，是为了使对课标的研究增加一个对比的维度，毕竟高考问题的编制过程也是对课程标准解读的一个实践.三关于本章教学方法的一些思考与尝试作为空间向量理论的生成与发展源于平面向量高于平面向量.本章知识体系的完善实质上是一次完整的、生动的概念生成与应用的过程，是解析几何之后又一次完美的数形结合过程，是类比、归纳，演绎的推理模式、算法思想的理想实践域，基于上述丰富的实践内涵，机械地，死板地算法记忆式的学习模式应无助于数学素养的提高，即便是考试成绩的提高. 从学生角度讲，他们最痛苦的是向量工具在具体问题中的使用，如他们对坐标系的构建，对基底的构建不追其理的机械模仿，又如了解异面直线所成角可用向量内积处理的大致思路，而忽略了向量与直线之间的关系，向量夹角与异面直线成角的不同.产生这些问题固然有巩固练习数量不够之嫌，但更是他们对向量运算的几何背景的不关注，缺少类比平面向量相关内容联想空间向量的习惯所致.因此与传统的教学方式相比，附中做了一些尝试，权且作为一种参考.这些尝试主要分两部分，第一节“空间向量及运算”的学习以学生为主，但这种自主学习不等于放任自流，是在教师可控状态下的自主学习，第二节“空间向量在立体几何中的应用”的学习师生共同完成，具体实施如下：步骤A首先以报告形式下发，学生自学完成，上交评分，并于本章第一次课做简单点评，点评中特别强调平面向量知识的梳理，这种梳理可类比到空间向量的知识体系建构过程中，并测试50分钟.(附中每次课程90分钟，测试提前向学生声明).作为报告，其设计宗旨是学生自发研读教材复习平面向量主要理论并作空间向量部分的相应延展，使学生在报告完成过程中使用归纳，类比的方式初步形成空间向量知识架构. 通过报告的习作，对比详细的评分细则和紧接其后的测试，应该说学生空间向量知识架构的生成水平并不低于课堂“逐字逐句”地讲授，附带的好处是“课时的节省”,使深入讨论“工具”的使用成为可能，我觉得是一种利大于弊的学习方式.步骤B 这一阶段我认为是重要的承上启下的步骤.所谓承上是指学生重温并更新了向量的知识结构，启下是指通过研究平面向量解决平面几何问题的方法，为空间向量的使用提供参照平台，因此问题的选择应以使用方法的可持续性为前提，下面几道平面几何问题仅供参考. 问题8利用向量法证明等腰梯形对角线相等.在这道问题中学生将就“如何选择基底”，“如何选择要用基底表示的向量”，“如何使条件向量化”，“如何通过计算表示线段长度”等问题展开讨论，关于这些问题讨论意义绝不只是对平面向量相关知识的复习，更进一步的，在于问题解决的思路都可“原封不动”地应用于空间向量问题的处理.而为了增加学生的感性认识，可重复练习上面所提测试中的问题(学生在考试中这道题的表现并不理想).如图，已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1中， O为AC1中点.设=a， =b， =d， 则以a、b、d为基底， 若DAB=90， A1AB=A1AD=60， |AB|=|AA1|=2， |AD|=1 ，则|=( ).cos=( ).在上正射影的数量为( ).这种对同一问题前后重复练习的方式，也是一种学习方式，学生所得收获不是来自讲评，而是来自自我修正式的习作，学生对知识的理解也许会因此更加深入.问题9利用向量方法写出一条与内角平分线相关的结论. 在这道问题中一方面重复上面所提问题，同时加入新的内容，如向量单位化的方法，意义及应用是什么，共线点的向量表示，及向量方程的求解过程，具体讲这些问题落实于下面各向量表达.同样作为共线点练习，同样可重复练习考试中问题.如图，四面体ABCD中， E、F、M分别为棱BC、AD、DC中点， 点G为DBCD的重心， 用图中的点表示化简向量，如=. (1) (+-)= . (2) (+-)= .问题10利用向量法求点P(x0,y0)到直线Ax+By+C=0的距离.对比前两道平面几何问题，本题的重点在于法向量概念 (当然其引入可结合相关光学知识)，由概念生产的直线法向量的求解方法及直线法向量的应用(在本题中为求解点到直线距离).学生类比这样一种思路，并应用于处理平面法向量及相关问题的过程中，问题的生成和解决将不会有突兀之感.实际上平面法向量的概念缘于线面垂直的立体几何结构，而其求解方法来自线面垂直的判定定理，其应用在“立体几何问题的向量处理方法”中起着核心作用，虽然有各种方法，但法向量的方法一般是通解性的方法，这也是符合算法要求的，即程序化解决一类问题的思想.步骤C 在前两步的基础上，可通过一些相对简单的立体问题的解决，体会前面所获得的平面向量方法的延展性，恰当基底的构建与选择的必要性，以及空间几何位置关系的论述如何转换成“向量语言”进行交流.这部分问题不易过难，重在培养构建基底的算法化思考和对“向量语言”使用的感受与经验积累，同时也使学生先接触一些重要几何命题的向量化研究过程.下面是几个供参考的例子.问题11 已知：，求证：. 本题的关键在基底的构建及基向量的不共面性，同时也应考虑题中线面平行，线线平行等的几何语言到“向量语言”转化过程，即线线平行的向量表示以直线方向向量共线为基础，而线面平行的向量表示以线面平行的判定及平面向量基本定理为基础.问题12关于直线与平面垂直的判定方法的讨论. 本问题练习目的有四，首先，让学生体会一个概念生成的过程，重温线面垂直定义到必须2所提线面垂直的判定定理，并进一步讨论当时所提定理条件的充要性；二则，产生空间两直线垂直位置关系的判定方法及其向量表述，其三，在证明过程中“平面向量基本定理”的自然引用，让学生体会向量方法的便捷；最后，为后继平面法向量的出现提供理论支持.问题13已知：直三棱柱ABC-A1B1C1中，B1C1=A1C1，A1BAC1，求证：A1BB1C.问题14已知：直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面为梯形ABCD，AB/CD，CD=2AB，点P，Q分别为CC1，C1D1中点，求证：AC/平面BPQ.问题13和14实际上是从线线垂直和线面垂直的角度在立体几何范畴重复问题8的思路，同时问题13也可作为问题12的即时练习，从传统几何角度讲，这两道问题也是相关位置定理处理的经典问题.问题14可在向量方法讨论结束之后，补充传统几何证明，使学生体会定理对应图形结构在问题解决过程中的作用，当然，问题13也有如此功效，只是应在三垂线定理之后再行讨论.问题15已知，如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD， ，是PC的中点(1)求证：；(2)求证：平面ABE；本题目的实为对不同基底下问题解决过程的难易比较，应该说在本题中利用单位正交基，即建立直角坐标系的方法应好于其他基底选择，但把构建单位正交基的方法应用于上面个体，反倒不一定方便了，总之让学生先行接触此类问题对后面的计算与证明是有好处的.同样本题也可利用传统几何的方法处理.综合上面各题的处理方法，在后面的问题处理过程中，应注意积累构建恰当基底的经验；注意积累条件和结论中几何描述与向量语言之间的相互转化；注意传统几何方法与向量方法的结合，只要条件允许，传统几何方法应给予讨论机会.因为从图形结构的研究也就是图形语言的运用，空间想象力的提升看，传统几何方法都应高于向量方法，但传统几何方法确实有难度，而用向量方法则可实现程序化处理，这应是教学中的一个平衡问题.步骤D作为立体几何的研究方向有两个，也就是位置关系和度量关系.位置关系的相关知识在必修2已基本涉及，但没有相对系统的梳理和论证，究其原因也许是由于必修2立体几何部分的重点任务在空间感的培养，而不是几何逻辑论证，且用传统几何的方法论证很多位置关系定理难度也较大.对理论的夯实，2-1正当其时，这是指知识网络梳理清晰，研究对象重点突出，而度量关系的相关内容则在最后一步骤落实.所谓知识网络梳理清晰，是指在课堂和学生讨论梳理知识网络(如下图，图中箭头方向为位置关系两向可推)，为向量语言的运用提供几何理论的支撑. 课堂时间有限，不可能对所有网络中产生的命题利用向量语言转述并论证，因此课堂更多地是写出定理的向量表达，证明过程课下完成，教师抽检.所谓研究对象重点突出，是指通过对整个网络的梳理，可在课堂选择“线面垂直”作为重点研究对象，成果应有两个一个是平面法向量概念的生成，另一个就是三垂线定理.对法向量的研究将经过论证线面垂直判定定理，垂直同一平面的两直线平行及其逆定理的过程，而对平面法向量的进一步是其在不同方面的应用，如法向量在平面方程确定过程中的应用 (见课本103页，106页)，法向量在面面垂直中的应用(当然判定定理证明过程中的应用用到必修2中面面垂直的定义，这种情况的改变应在引入至二面角后).对三垂线定理及其逆定立的研究，同样应使学生感受定理生成，应用的过程，这一过程离开具体问题的抽象理论推导可能是不恰当的，以下是几个在定理生成过程中使用的问题，也许可作为借鉴.问题16PA垂直矩形ABCD所在平面于点A，AE垂直PE于点E，EF垂直PC于点F，平面AEF交PD于点G，求证：AG垂直PC.本问题说明有些问题直接用向量方法不一定是便利的，甚至要走很大弯路.问题17PA垂直锐角三角形ABC所在平面，求证点H不可能是三角形PBC垂心.对问题17的分析可得到三垂线定理及逆定理及其相关名词概念，图形结构.进而应用与问题13和问题16.步骤E这一环节以计算线线，线面，面面角为主，学生在这部分常常出现的问题是忽略几何背景，为计算而计算，解题过程只是计算流程的简单再现.这种问题的后果是曾在一次考试中学生对问题18的考核结果是第三问卷面分4分，实得分不到2分.问题18已知：如图，长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=BC=1，点P为棱AA1上一个动点.()求证：PCB1D1.()当AP=AA1时，讨论：在C1B1上是否存在点T，使得A1T/平面CPB1，如果存在，计算A1T长，如果不存在，说明理由.()