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文档简介

3.3 微分公式預備知識2.3 以極限定律求極限3.1 微分3.2 微分函數在3.1 微分當中，我們介紹了微分的定義，3.2 微分函數當中介紹了微分函數的觀念。我們欲求一函數之微分函數（或稱導函數），每每須由下列定義來求： （1）過程中需要用到各種極限定律，計算往往冗長不便，在本節中，我們將介紹一些微分公式以替代上述直接由定義求微分的方式，可節省我們很多時間與力氣。3.3.1 微分公式（1） 為一常數，（2）（3） 冪次定律：若為一整數，則（4） 若為一常數，可微分，則（5） 加法定律：若與皆可微分，則（6） 減法定律：若與皆可微分，則（7） 乘法定律：若與皆可微分，則（8） 除法定律：若與皆可微分，則【證明】這些微分公式皆可由式（1）證明：（1） 令，其直觀意義可由圖一中函數圖形每一點之切線皆為水平得到驗證。（2） 令，其直觀意義可由圖二中函數圖形得到驗證。（3） 令，在此限制為正整數，稍後我們可將此推廣至整數，在3.7隱微分中又可將此推廣至有理數，最後在7.4一般對數及指數函數可將此推廣最極至，亦即為所有實數皆成立。（4） 令，（5） 令，（6） 同上，將“”改成“”即可同理推導之，讀者可自行練習。（7） 令，（8） 令， 利用上述之除法定律，可將上述之冪次定律延伸至為整數之情形：定理 3.3.2若為一整數，則。【證明】（1）為正整數，證明如3.3.1。（2）時，左右，故得證。或許有人會注意到上述有問題，當時變成不一定會等於。沒錯，不過這時候有一個更大的問題要先研究，當時，左邊的我們都知道的任何次方是，任何數的次方是，那麼是還是？還是公平起見，取為答案？這不是個小問題！我們要等到7.7不定型極限與羅必達定律才能回答，所以在此假設，避開此問題。（3）為負整數時，令，則為一正整數，由3.3.1中羃次、除法定律及其他公式：綜合上述（1）、（2）、（3），吾人可將羃次定律推廣至為整數。 如前所述，事實上羃次定律可推廣至為實數之情形：3.3.3 一般羃次定律若為一實數，則。雖然直覺上，推廣至實數好像是順理成章之事，但是此定律的證明卻要等到7.4一般對數與指數函數，因為你要先回答是什麼？我們在中學都學過的整數次方是什麼，例如；的負整數次方又是什麼，例如；的有理數次方又是什麼，例如，而且我們學過如何用筆算出的小數，但是你如何定義的無理數次方，如呢？是否為個相乘呢？那麼個相乘又是什麼意思？這些問題都要先回答，然後才能談到上述定律的證明。目前我們不妨先接受這個定律，並用他來計算微分。例題1.求【解】 （由3.3.1之（4）、（5）、（6）（由3.3.1（1）、（2）、（3） 例題2.若，求。【解】由3.3.1（7）乘法定律，另外，由3.3.1（3）（4），可驗證上述答案。 例題3. ，求。【解】由3.3.1（8）除法定律及其他： 例題4.求下列微分：【解】由3.3.3 3.3習題1. 求在處之切線方程式
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