高考数学一轮复习考点题型课下层级训练40立体几何中的向量方法——证明平行与垂直（含解析）.docx

课下层级训练(四十)证明平行与垂直A级基础强化训练1(2019陕西西安质检)若平面，的法向量分别是n1(2，3,5)，n2(3,1，4)，则()ABC，相交但不垂直D以上答案均不正确【答案】Cn1n22(3)(3)15(4)0，n1与n2不垂直，且不共线与相交但不垂直2(2018辽宁锦州模拟)直线l的方向向量s(1,1,1)，平面的法向量为n(2，x2x，x)，若直线l平面，则x的值为()A2BCD【答案】D由已知得sn0，故121(x2x)1(x)0，解得x.3已知平面内有一点M(1，1,2)，平面的一个法向量为n(6，3,6)，则下列点P中，在平面内的是()AP(2,3,3)BP(2,0,1)CP(4,4,0)DP(3，3,4)【答案】A逐一验证法，对于选项A，(1,4,1)，n61260，n，点P在平面内，同理可验证其他三个点不在平面内4如图，F是正方体ABCD A1B1C1D1的棱CD的中点E是BB1上一点，若D1FDE，则有()AB1EEBBB1E2EBCB1EEBDE与B重合【答案】A分别以DA、DC、DD1为x、y、z轴建立空间直角坐标系(图略)，设正方体的棱长为2，则D(0,0,0)，F(0,1,0)，D1(0,0,2)，设E(2,2，z)，(0,1，2)，(2,2，z)，02122z0，z1，B1EEB.5如图，正方形ABCD与矩形ACEF所在平面互相垂直，AB，AF1，M在EF上，且AM平面BDE.则M点的坐标为()A(1,1,1)BCD【答案】C设AC与BD相交于O点，连接OE，由AM平面BDE，且AM平面ACEF，平面ACEF平面BDEOE，AMEO，又O是正方形ABCD对角线交点，M为线段EF的中点在空间坐标系中，E(0,0,1)，F(，1)由中点坐标公式，知点M的坐标.6在空间直角坐标系中，以点A(4,1,9)，B(10，1,6)，C(x,4,3)为顶点的ABC是以BC为斜边的等腰直角三角形，则实数x的值为_.【答案】2由题意知0，|，又(6，2，3)，(x4,3，6)，解得x2.7已知PA垂直于正方形ABCD所在的平面，M，N分别是CD，PC的中点，并且PAAD1.在如图所示的空间直角坐标系中，则MN_.【答案】连接PD，M，N分别为CD，PC的中点，MNPD，又P(0,0,1)，D(0,1,0)，PD，MN.8如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，O是底面正方形ABCD的中心，M是D1D的中点，N是A1B1的中点，则直线ON，AM的位置关系是_.【答案】垂直以A为原点，分别以，所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系(图略)，设正方体的棱长为1，则A(0,0,0)，M，O，N，0，ON与AM垂直9如图，在四面体A BCD中，AD平面BCD，BCCD，AD2，BD2，M是AD的中点，P是BM的中点，点Q在线段AC上，且AQ3QC.证明：PQ平面BCD.【答案】证明如图，取BD的中点O，以O为原点，OD，OP所在射线分别为y，z轴的正半轴，建立空间直角坐标系Oxyz.由题意知，A(0，2)，B(0，0)，D(0，0)设点C的坐标为(x0，y0,0)因为3，所以Q.因为M为AD的中点，故M(0，1)又P为BM的中点，故P，所以.又平面BCD的一个法向量为a(0,0,1)，故a0. 又PQ平面BCD，所以PQ平面BCD.10(2019山东聊城模拟)如图，在三棱锥PABC中，ABAC，D为BC的中点，PO平面ABC，垂足O落在线段AD上已知BC8，PO4，AO3，OD2.(1)证明：APBC；(2)若点M是线段AP上一点，且AM3.试证明平面AMC平面BMC.【答案】证明(1)如图所示，以O为坐标原点，分别以射线OD，OP为y轴、z轴的正半轴建立空间直角坐标系O xyz.则O(0,0,0)，A(0，3,0)，B(4,2,0)，C(4,2,0)，P(0,0,4)，于是(0,3,4)，(8,0,0)，(0,3,4)(8,0,0)0，即APBC.(2)由(1)知|AP|5，又|AM|3，且点M在线段AP上，又(4，5,0)，则(0,3,4)0，即APBM.又根据(1)的结论知APBC，AP平面BMC，于是AM平面BMC.又AM平面AMC，故平面AMC平面BMC.B级能力提升训练11如图所示，已知直三棱柱ABC A1B1C1中，ABC为等腰直角三角形，BAC90，且ABAA1，D，E，F分别为B1A，C1C，BC的中点，求证：(1)DE平面ABC；(2)B1F平面AEF.【答案】证明(1)如图建立空间直角坐标系Axyz，令ABAA14，则A(0,0,0)，E(0,4,2)，F(2,2,0)，B(4,0,0)，B1(4,0,4) .取AB中点为N，连接CN，则N(2,0,0)，C(0,4,0)，D(2,0,2)，(2,4,0)，(2,4,0)，DENC，又NC平面ABC，DE平面ABC.故DE平面ABC.(2)(2,2，4)，(2，2，2)，(2,2,0)(2)22(2)(4) (2)0，(2)222(4)00.，即B1FEF，B1FAF，又AFEFF，B1F平面AEF.12如图，在棱长为1的正方体ABCD A1B1C1D1中，E，F，G分别为A1B1，B1C1，C1D1的中点(1)求证：AG平面BEF；(2)试在棱BB1上找一点M，使DM平面BEF，并证明你的结论【答案】(1)证明以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴和z轴建立空间直角坐标系，则A(1,0,0)，B(1,1,0)，E，F，G，因为，而，所以，故与平面BEF共面，又因为AG不在平面BEF内，所以AG平面BEF.(2)解设M(1,1，m)，则(1,1，m)，故0，0，所以m0m，所以M为棱BB1的中点时，DM平面BEF.13(2019山东临沂模拟)如图，正三角形ABC的边长为4，CD是AB边上的高，E，F分别是AC和BC边的中点，现将ABC沿CD翻折成直二面角ADCB.(1)试判断直线AB与平面DEF的位置关系，并说明理由；(2)在线段BC上是否存在一点P，使APDE？如果存在，求出的值；如果不存在，请说明理由【答案】解(1)AB平面DEF，理由如下：在ABC中，由E，F分别是AC，BC的中点，得EFAB.又因为AB平面DEF，EF平面DEF，所以AB平面DEF.(2)以点D为坐标原点，直线DB，DC，DA分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系(如图所示)，则A(0,0,