3 图像变换(1).ppt

第3章图像变换 讲解内容1 图像变换的目的 要求和应用2 图像变换的理论基础3 傅立叶变换 频谱分析概念及其意义4 一维 二维连续 离散傅立叶变换定义 性质及其应用目的1 熟悉二维傅立叶变换定义 性质及其应用 2 掌握一维傅立叶变换算法及频谱分析方法 图像变换的目的在于 使图像处理问题简化 有利于图像特征提取 有助于从概念上增强对图像信息的理解 图像变换通常是一种二维正交变换 一般要求 正交变换必须是可逆的 正变换和反变换的算法不能太复杂 正交变换的特点是在变换域中图像能量将集中分布在低频率成分上 边缘 线状信息反映在高频率成分上 有利于图像处理 因此图像变换广泛应用在图像增强 图像恢复 特征提取 图像压缩编码和形状分析等方面 在此讨论常用的傅立叶变换 消息 反映知识状态的改变 信息 消息中有意义的内容 信号 消息的载体 通过信号传递信息 理论基础 线性系统系统的定义 接受一个输入 并产生相应输出的任何实体 系统的输入是一个或两个变量的函数 输出是相同变量的另一个函数 系统 x t 输入 y t 输出 线性系统线性系统的定义 对于某特定系统 有 x1 t y1 t x2 t y2 t 该系统是线性的当且仅当 x1 t x2 t y1 t y2 t 从而有 a x1 t a y1 t 线性系统线性系统移不变性的定义 对于某线性系统 有 x t y t 当输入信号沿时间轴平移T 有 x t T y t T 则称该线性系统具有移不变性 连续信号与离散信号 连续信号 一个信号 如果在某个时间区间内除有限个间断点外都有定义 就称该信号在此区间内为连续时间信号 简称连续信号 连续信号的取值 在值域内可以是连续的 也可以是跳变的 图1连续信号 离散信号 仅在离散时刻点上有定义的信号称为离散时间信号 简称离散信号 相邻离散时刻点的间隔可以是相等的 也可以是不相等的 定义在等间隔离散时刻点上的离散信号也称为序列 通常记为f k 随k的变化 序列值在值域 A A 上连续取值 序列f k 的数学表示式可以写成闭式 阶跃信号和冲激信号 1连续时间阶跃信号 图2 设图2所示函数 该函数在t 时为常数1 在区间 0 内直线上升 其斜率为1 当 0时 函数 t 在t 0处由零立即跃变到1 其斜率为无限大 定义此函数为连续时间单位阶跃信号 简称单位阶跃信号 用 t 表示即 单位阶跃信号时移t0后可表示为 注意 信号 t 在t 0处和 t t0 在t t0处都是不连续的 可应用几个不同时移的单位阶跃信号把f3 t 表示为 2连续时间冲激信号 当 0时 脉冲宽度趋于零 幅度趋于无限大 而其面积仍等于1 将此信号定义为连续时间单位冲激信号 简称单位冲激信号或 函数 用 t 表示 即 表明单位阶跃信号的微分为单位冲激信号 根据 函数的另一种定义 狄拉克定义式 定义表明 函数除原点以外 处处为零 但其面积为1 即 函数的积分为单位阶跃信号 阶跃序列和脉冲序列 单位阶跃序列 离散时间单位阶跃序列定义为 图3单位阶跃序列 2 单位脉冲序列离散时间单位脉冲序列定义为 图1 4 6单位脉冲序列 因为只有当k 0时 k 的值为1 而当k 0时 k 的值均为零 所以任一序列f k 与 k 相乘时 结果仍为脉冲序列 其幅值等于f k 在k 0处的值 即 而当f k 与 k m 相乘时 则有 点源和狄拉克 函数 一幅图像可以看成由无穷多极小的象素组成 每一个象素都可以看作为一个点源 因此 一幅图像也可以看成由无穷多点源所组成数学上 点源可以用狄拉克 函数来表示 二维 函数定义为满足 狄拉克 函数性质 1 函数为偶函数 即 2 位移性 或用卷积符号 表示为 3 可分性 4 乘积性 5 筛选性 当且仅当 0时 6 指数函数 卷积 1 卷积的定义 设f1 t 和f2 t 是定义在 区间上的两个连续时间信号 我们将积分 定义为f1 t 和f2 t 的卷积 Convolution 简记为 2 卷积的图解机理 信号f1 t 与f2 t 的卷积运算可通过以下几个步骤来完成 第一步 画出f1 t 与f2 t 波形 将波形图中的t轴改换成 轴 分别得到f1 和f2 的波形 第二步 将f2 波形以纵轴为中心轴翻转180 得到f2 波形 第三步 给定一个t值 将f2 波形沿 轴平移就得到了f2 t 的波形 第四步 将f1 和f2 t 相乘 得到卷积积分式中的被积函数f1 f2 t 第五步 计算乘积信号f1 f2 t 波形与 轴之间包含的净面积 便是卷积在t时刻的值 第六步 令变量t在 范围内变化 重复第三 四 五步操作 最终得到卷积信号f1 t f2 t 例1给定信号 求y t f1 t f2 t 图例1 1f1 t 和f2 t 波形 图例1 2卷积的图解表示 当t 0时 f2 t 波形如图2 2 2 c 所示 对任一 乘积f1 f2 t 恒为零 故y t 0 当0 t 3时 f2 t 波形如图2 2 2 d 所示 当t 3时 f2 t 波形如图2 2 2 e 所示 此时 仅在0 3范围内 乘积f1 f2 t 不为零 故有 练习f1 t t f2 t t 求卷积积分f1 t f2 t 取样函数定义为 这是一个偶函数 且x 0时 Sa x 1 当x k 时 Sa k 0 图3 3 4Sa x 函数的波形 一维连续傅立叶变换 定义及基本概念 设f x 为x的函数 如果f x 满足下面的狄里赫莱条件 1 具有有限个间断点 2 具有有限个极值点 3 绝对可积 则有下列式成立 t为时域变量 u为频域变量 1 2 如果令w 2 u 则有 称为傅立叶变换对 函数f x 的傅立叶变换一般是一个复量 它可以用下式表示 指数形式 F w 称为傅立叶谱 w 称为相位谱 E w 为能量谱或功率谱 典型信号的傅里叶变换 例2图3 4 1 a 所示矩形脉冲一般称为门函数 其宽度为 高度为1 通常用符号g t