2019_2020学年高中数学第三章空间向量与立体几何3.1.4空间向量的正交分解及其坐标表示练习新人教A版.docx

3.1.4 空间向量的正交分解及其坐标表示 学生用书P137(单独成册)A基础达标1已知M，A，B，C四点互不重合且任意三点不共线，则下列式子中能使向量，成为空间的一个基底的是()A.B.C.D.2解析：选C.对于选项A，由xyz(xyz1)M，A，B，C四点共面，知，共面；对于选项B，D，易知，共面，故选C.2已知a，b，c是空间一组基底，pab，qab，一定可以与向量p，q构成空间另一组基底的是()AaBbCc Dp2q解析：选C.因为a，b，c不共面，所以p，q，c不共面若存在x，yR，使cxpyq(xy)a(xy)b成立，则a，b，c共面，这与已知a，b，c是空间一组基底矛盾，故p，q，c不共面3已知正方体OABCOABC的棱长为1，若以，为基底，则向量的坐标是()A(1，1，1) B(1，0，1)C(1，1，1) D(1，0，1)答案：A4.如图，梯形ABCD中，ABCD，AB2CD，点O为空间内任意一点，设a，b，c，则向量可用a，b，c表示为()Aab2cBab2cCabcD.abc解析：选D.()abc.5设i，j，k是单位正交基底，已知向量p在基底a，b，c下的坐标为(8，6，4)，其中aij，bjk，cki，则向量p在基底i，j，k下的坐标是()A(12，14，10) B(10，12，14)C(14，12，10) D(4，3，2)解析：选A.依题意，知p8a6b4c8(ij)6(jk)4(ki)12i14j10k，故向量p在基底i，j，k下的坐标是(12，14，10)6在长方体ABCDA1B1C1D1中，若3i，2j，5k，则向量在基底i，j，k下的坐标是_解析：3i2j5k，所以向量在基底i，j，k下的坐标是(3，2，5)答案：(3，2，5)7已知空间的一个基底a，b，c，mabc，nxaybc，若m与n共线，则x_，y_解析：因为m与n共线，所以存在实数，使mn，即abcxaybc，于是有解得答案：118如图，点M为OA的中点，为空间的一个基底，xyz，则有序实数组(x，y，z)_解析：，所以有序实数组(x，y，z).答案：9已知e1，e2，e3为空间的一个基底，且2e1e23e3，e12e2e3，3e1e22e3，e1e2e3.(1)判断P，A，B，C四点是否共面；(2)能否以，作为空间的一个基底？若能，试以这一基底表示；若不能，请说明理由解：(1)假设P，A，B，C四点共面，则存在实数x，y，z，使xyz，且xyz1，即2e1e23e3x(e12e2e3)y(3e1e22e3)z(e1e2e3)又e1，e2，e3不共面，所以，解得与xyz1矛盾，故P，A，B，C四点不共面(2)若，共面，则存在实数m，n，使mn，同(1)可得关于m，n的方程无解，所以，不共面，因此，可以作为空间的一个基底令a，b，c，由e12e2e3a，3e1e22e3b，e1e2e3c，得所以2e1e23e32(3ab5c)(ac)3(4ab7c)17a5b30c17530.10已知平行六面体OABCOABC，且a，b，c.(1)用a，b，c表示向量；(2)设G，H分别是侧面BBCC和OABC的中心，用a，b，c表示.解：(1)bca.(2)()()(abcb)(abcc)(cb)B能力提升11如图所示，在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别在B1B和D1D上，且BEBB1，DFDD1.若xyz，则xyz()A1 B0C. D1解析：选C.因为()，所以x1，y1，z，所以xyz.12正方体ABCDA1B1C1D1中，点E，F分别是底面A1C1和侧面CD1的中心，若0(R)，则_解析：如图，连接A1C1，C1D，则E在A1C1上，F在C1D上，易知EF綊A1D，所以，即0，所以.答案：13已知，在棱长为2的正四面体ABCD中，以BCD的中心O为坐标原点，OA为z轴，OC为y轴建立空间直角坐标系，如图所示，M为AB的中点，求的坐标解：易知BCD的中线长为2，则OC.所以OA，设i，j，k分别是x，y，z轴正方向上的单位向量，x轴与BC的交点为E，则OEBD，所以()()()ijk，所以.14(选做题)如图，三棱锥PABC中，点G为ABC的重心，点M在PG上，且PM3MG，过点M任意作一个平面分别交线段PA，PB，PC于点D，E，F，若m，n，t，求证：为定值，并求出该定值解：连接AG并延长交BC于点H(图略)，由题意，可令