【教学设计】《垂径定理》（北师大）.doc

垂径定理教学设计 教材分析圆是一种特殊图形，它既是轴对称图形，又是中心对称图形。该节内容分为2课时。本节课是第1课时，学生通过前面的学习，能用折叠的方法得到圆是一个轴对称图形。其对称轴是任一条过圆心的直线。 教学目标【知识与能力目标】1理解圆的轴对称性及其相关性质；2利用圆的轴对称性研究垂径定理及其逆定理。【过程与方法目标】经历探索圆的对称性及相关性质的过程，进一步体会和理解研究几何图形的各种方法。【情感态度价值观目标】1 培养学生独立探索，相互合作交流的精神。2 通过学习垂径定理及其逆定理的证明，使学生领会数学的严谨性和探索精神，培养学生学习实事求是的科学态度和积极参与的主动精神。 教学重难点3【教学重点】利用圆的轴对称性研究垂径定理及其逆定理。【教学难点】和圆有关的相关概念的辨析理解。 课前准备 （提前一天布置）1. 每人制作两张圆纸片（最好用16K打印纸）2. 预习课本P74P76内容 教学过程第一环节 复习提问1、什么是轴对称图形？我们在学过哪些轴对称图形？如果一个图形沿一条直线对折，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫轴对称图形。如线段、角、等腰三角形、矩形、菱形、等腰梯形、正方形。2、我们所学的圆是不是轴对称图形呢？如果是，它的对称轴是什么? 你能找到多少条对称轴? 归纳：圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条过圆心的直线。第二环节 讲授新课活动内容：（一） 探索垂径定理。 做一做1在一张纸上任意画一个O，沿圆周将圆剪下，把这个圆对折使圆的两半部分重合。2得到一条折痕CD。3在O上任取一点A，过点A作CD折痕 的垂线，得到新的折痕，其中，点M是两条折痕的交点，即垂足。4将纸打开，新的折痕与圆交于另一点B，如右图问题：（1）观察右图，它是轴对称图形吗？如果是，其对称轴是什么？ （2）你能发现图中有那些等量关系？说一说你的理由。在O中，AB为弦，CD为直径,CDAB提问：你在图中能找到哪些相等的量？并证明你猜想的结论。证明过程见PPT。几何语言如图 CD是直径, CDAB,AM=BM, 总结得出垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧。（二） 讲解例题及完成随堂练习。例1如右图所示，一条公路的转弯处是一段圆弧(即图中CD，点O是CD的圆心)，其中CD=600m，E为CD上一点，且OECD，垂足为F，EF=90 m求这段弯路的半径。分析要求弯路的半径，连接OC，只要求出OC的长便可以了.因为已知OECD，所以CFCD300 cm，OFOE-EF，此时得到了一个RtCFO,利用勾股定理便可列出方程.解答过程见PPT。练习：1、如图333所示，弦CD垂直于O的直径AB，垂足为E，且CD，BD，则AB的长为 ( ) A2 B3 C4 D52、如图335所示，O的直径AB垂直弦CD于P，且P是半径OB的中点，CD6 cm，则直径AB的长是 ( ) Acm Bcm Ccm Dcm3如图所示，在O中，AB和AC是互相垂直的两条弦，ODAB于D，OEAC于E且AB8 cm，AC6 cm，那么O的半径OA的长为 。答案：1.B 2.D 3. 5 cm（三） 探索垂径定理逆定理并完成随堂练习。想一想：如下图示，AB是O的弦(不是直径)，作一条平分AB的直径CD，交AB于点M。同学们利用圆纸片动手做一做，然后回答：（1）上图是轴对称图形吗?如果是，其对称轴是什么?（2）你能发现图中有那些等量关系？说一说你的理由。总结得出垂径定理逆定理：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧。讨论（1）过圆心 （2）垂直于弦 （3）平分弦 （4）平分弦所对优弧 （5）平分弦所对的劣弧。（3）（2）（5）（1）（4）（1）（4）（5）（2）（4）（5）（2）（3）（1）（5）（3）（4）（2）（3）（1）（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧。（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。练习：1下列命题：圆心不同，直径相等的两圆是等圆；长度相等的两弧是等弧；圆中最长的弦是直径；圆的对称轴是圆的直径；圆不是旋转对称图形其中正确的有( ) A1个 B2个 C3个 D4个2P为O内一点，且OP8 cm，过P的最长弦长为20 cm，则过P的最矩弦长为 。3.如图是一大型圆形工件被埋在土里而露出地表的部分.为推测它的半径，小亮同学谈了他的做法：先量取弦AB的长，再量中点到AB的距离CD的长，就能求出这个圆形工件的半径.你认为他的做法合理吗？如不合理，说明理由；如合理，请你给出具体的数值，求出半径。答案：1B 212 cm提示：过P的最长弦为直径，即直径等于20 cm，最短弦为过P且垂直OP的弦，利用勾股定理可求最短弦的一半长为6 cm，则弦长为12 cm3分析：由CD平分弧AB且垂直于AB,得CD经过圆心O,连AO,由垂径定理得AD=1/2AB, 设圆形工件半径为r,OD=OC-CD=r-CD,在直角三角形AOD中，由勾股定理，求出r。 解、小亮的做法合理.取AB=8 m，CD=2 m, 设圆形工件半径为r,r2=(r2)2+42. 得r=5(m).活动目的：内容（一）的主要目的就是通过学生动手实验，采用折叠的方法认识圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条过圆心的直线；内容（二）的主要目的就是让学生弄清和圆有关的这些概念，便于以后内容的学习研究；内容（三）的主要目的就是通过学生做一做，观察，猜想，验证等的过程得到新知，同时也培养学生合作交流的能力，以及再次体会研究图形的多种方法。内容（四）的主要目的让学生应用新知识构造直角三角形，并通过方程的方法去解决几何问题。内容（五）的主要目的与内容（三）相似。实际教学效果：E对于活动（一），学生在探索圆是轴对称图形时，应该把机会留给学生，让他们相互交流，发表自己的想法；对于活动（二），要注意让学生借助图形去认识，并弄清他们之间的联系和区别，还应该注意补充一些概念，如半圆，劣弧，优弧等；对于活动（三），师生要按四个步骤共同操作，逐步引导学生通过观察，猜想到理论验证垂径定理，并帮助学生去理解和记忆垂径定理，如推理格式：如图所示COAB，CD为O 的直径 AM=BM，AD=BD，AC=BC。 另外在证明垂径定理时，学生对如何证明平分弦所对的弧会较难表述。教师要运用轴对称性启发引导。对于活动（四），教师要引导学生如何应用垂径定理去更好衔接上，至于这一逆定理的探索过程与前面垂径定理的探索过程类似，在完成随堂练习时，教师要提示学生，符合条件图形有三种情况：圆心在平行弦外，在其中一条弦上、在平行弦内，但说理的思路都是一样。第三环节 课堂小结活动内容：师生互相交流总结：1. 本节课我们探索了圆的轴对称性；2. 利用圆的轴对称性研究了垂径定理及其逆定理；3. 垂径定理和勾股定理相结合，构造直角三角形，可解决计算弦长、半径、弦心距等问题。活动目的：通过回顾本节课经历的各个环节，鼓励学生畅谈自己的收获和感想，培养学生良好的学习习惯。实际教学效果：学生在互相交流中，对于归纳出来的内容，会有各种表述，只要合理，教师都应该鼓励。中考链接1如图336所示，在同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C，D，已知AB2CD，AB的弦心距等于CD长的一半，那么大圆与小圆的半径之比是 ( ) A32 B2 C D542.O的半径为5，弦AB的长为8，M是弦AB上的动点，则线段OM的长的最小值为_.最大值为_。3如图，A、B是圆O上的两点，AOB=120，C是AB弧的中点。（1）求证：AB平分OAC；（2）延长OA至P使得OA=AP，连接PC，若圆O的半径R=1，求PC的长。答案：1C提示：AB与CD的弦心距相同 2.分析：当OM垂直于AB时OM最小，当M于A或B重合时，OM最大解：当OM垂直于AB时OM最小，这时AM=1/2AB=4,连AO得直角三角形AOM，由勾股定理得，0M=3,当M于A或B重合时，OM最大为半径53解答：（1）证明：连接OC，AOB=120，C是AB弧的中点，AOC=BOC=60，OA=OC，ACO是等边三角