随机过程复习课及考试要求.doc

中科院研究生院20052006第一学期 随机过程讲稿 孙应飞考试要求：第一章：随机过程及其分类（1） 了解随机过程和有限维分布函数族的概念，掌握随机过程的维分布函数、分布密度的概念。（2） 理解随机过程的均值函数、协方差函数和相关函数的概念，掌握它们的主要性质，并会对给定的简单过程和常用的重要过程计算这些数字特征。（3） 了解随机过程的分类方式及分类。（4） 了解两个随机过程的联合分布的概念。会计算联合随机过程的互协方差函数和互相关函数。第二章：Markov过程（1） 理解马氏链及其转移概率的定义和性质。理解齐次性的概念。了解独立增量过程与马氏过程的关系。（2） 掌握C-K方程，并能利用C-K方程计算转移概率。（3） 了解状态的常返性、遍历性的概念。掌握遍历性的主要定理的条件和结论。能对简单齐次马氏链的状态进行分类。（4） 掌握马氏链的极限性质，掌握平稳分布的概念，能对简单的齐次马氏链找平稳分布。（5） 掌握纯不连续马氏过程转移概率的概念，掌握转移率矩阵（矩阵）的定义和求法。（6） 掌握前进方程、后退方程及福克普朗克方程，会利用此方程求过程的均值函数。（7） 理解生灭过程的定义，并能写出生灭过程的矩阵。第三章：Poission过程（1） 掌握独立增量过程、正交过程及计数过程的定义。（2） 掌握Poission过程的定义及一维分布，会求此过程的数字特征。（3） 掌握Poission过程与指数分布之间的关系。第四章：二阶矩过程、平稳过程和随机分析（1） 掌握二阶矩过程、严平稳过程及宽平稳过程的定义及关系。（2） 了解均方极限、均方连续、均方导数和均方积分的概念，会判断一个随机过程的均方连续性及均方可导性。掌握均方导数过程的相关函数于原过程的相关函数之间的关系。（3） 掌握平稳过程各态历经性的概念。了解判断均值、相关函数具有各态历经性的定理。第五章：平稳过程的谱分析（1） 掌握平稳过程功率谱的定义及性质，会对简单的随机过程求其功率谱。（2） 掌握功率谱与相关函数之间的关系。（3） 掌握随机信号通过线性系统后输入信号与输出信号的功率谱之间的关系。（4） 了解平稳过程的谱分解定理和采样定理。（5） 了解窄带平稳随机信号的表示方式。第六章：高斯（Gauss）过程（1） 掌握维正态随机变量的分布密度、特征函数及基本性质。（2） 掌握正态过程的定义。了解窄带平稳实正态过程的表示法。（3） 了解正态马氏过程的概念，掌握正态实平稳过程实马氏过程的充要条件。（4） 掌握维纳过程的定义，会求标准维纳过程的数字特征。会求偏移系数为，强度为的维纳过程的相关函数。（5） 了解维纳积分、Ito随机积分的定义和基本性质。会解简单的随机微分方程。典型复习题（1） 设是一个实的零均值二阶矩过程，其相关函数为，且是一个周期为的函数，即，求方差函数。（2） 试证明：如果是一独立增量过程，且，那么它必是一个马尔可夫过程。（3） 设随机过程为零初值（）的、有平稳增量和独立增量的过程，且对每个，问过程是否为正态过程，为什么？（4） 设为为零初值的标准布朗运动过程，问次过程的均方导数过程是否存在？并说明理由。（5） 设，是零初值、强度的泊松过程。写出过程的转移函数，并问在均方意义下，是否存在，为什么？（6） 在一计算系统中，每一循环具有误差的概率与先前一个循环是否有误差有关，以0表示误差状态，1表示无误差状态，设状态的一步转移矩阵为：试说明相应齐次马氏链是遍历的，并求其极限分布（平稳分布）。（7） 设齐次马氏链一步转移概率矩阵如下：（a）写出切普曼柯尔莫哥洛夫方程（CK方程）；（b）求步转移概率矩阵；（c）试问此马氏链是平稳序列吗？ 为什么？（8） 设，其中为强度为的Poission过程，随机变量与此Poission过程独立，且有如下分布：问：随机过程是否为平稳过程？请说明理由。（9） 设，其中与独立，都服从（a）此过程是否是正态过程？说明理由。（b）求此过程的相关函数，并说明过程是否平稳。（10） 设，是零初值、强度的泊松过程。（a）求它的概率转移函数；（b）令，说明存在，并求它的二阶矩。（11） 设一口袋中装有三种颜色（红、黄、白）的小球，其数量分别为3、4、3。现在不断地随机逐一摸球，有放回，且视摸出球地颜色计分：红、黄、白分别计1、0、-1分。第一次摸球之前没有积分。以表示第次取出球后的累计积分，（a），是否齐次马氏链？说明理由。（b）如果不是马氏链，写出它的有穷维分布函数族；如果是，写出它的一步转移概率和两步转移概率。（c）令，求。（12） 考察两个谐波随机信号和，其中： 式中和为正的常数；是内均匀分布的随机变量，是标准正态分布的随机变量。（a）求的均值、方差和相关函数；（b）若与独立，求与的互相关函数。（13） 令谐波随机信号： 式中为固定的实数；是内均匀分布的随机变量，考察两种情况：（a）幅值为一固定的正实数；（b）幅值为一与独立，分布密度函数为的随机变量；试问谐波随机信号在两种情况下是平稳的吗？（14） 设是一强度为的Poission过程，记，试求随机过程的均值和相关函数。（15） 研究下列随机过程的均方连续性，均方可导性和均方可积性。当均方可导时，试求均方导数过程的均值函数和相关函数。（a），其中是相互独立的二阶矩随机变量，均值为，方差为；（b），其中是相互独立的二阶矩随机变量，均值为，方差为。（16） 求下列随机过程的均值函数和相关函数，从而判定其均方连续性和均方可微性。（a），其中是参数为1的Wienner过程。（b）,其中是参数为的Wienner过程。（17） 讨论Wienner过程和Poission过程的均方连续性、均方可导性和均方可积性。（18） 设有平稳随机过程，它的相关函数为，其中为常数，求（为常数）的自协方差函数和方差函数。（19） 设有实平稳随机过程，它的均值为零，相关函数为， 若，求的自协方差函数和方差函数。（20） 设和是参数分别为和的时齐Poission过程，证明在的任一到达时间间隔内，恰有个事件发生的概率为：（21） 设随机振幅、随机相位正弦波过程，其中随机变量和相互独立，且有分布：令： 试求过程的均值函数。（22） 设有一泊松过程，固定两时刻，且，试证明（23） 设为零均值的标准布朗运动，和为两个待定的正常数（），问在什么情况下仍为标准的布朗运动？说明理由。（24） 设有无穷多只袋子，各装有红球只，黑球只及白球只。今从第1个袋子随机取一球，放入第2个袋子，再从第2个袋子随机取一球，放入第3个袋子，如此继续。令（a）试求的分布；（b）试证为马氏链，并求一步转移概率。（25） 设有随机过程，与是相互独立的正态随机变量，期望均为0，方差分别为和。证明过程均方可导，并求导过程的相关函数。（26） 设是初值为零标准布朗运动过程，试求它的概率转移密度函数。（27） 设有微分方程，初值为常数，是标准维纳过程，求随机过程在时刻的一维概率密度。（28） 设给定随机过程及实数，定义随机过程试将的均值函数和自相关函数用过程的一维和二维分布函数来表示。（29） 设是一个零均值的平稳过程，而且不恒等于一个随机变量，问是否仍为平稳过程，为什么？（30） 设为平稳过程，其自相关函数是以为周期的函数，证明：是周期为的平稳过程。典型复习题解答（1）解：由定义，有：（2）证明：我们要证明：，有形式上我们有：因此，我们只要能证明在已知条件下，与相互独立即可。由独立增量过程的定义可知，当时，增量与相互独立，由于在条件和下，即有与相互独立。由此可知，在条件下，与相互独立，结果成立。（3）解：任取，则有：由平稳增量和独立增量性，可知并且独立因此是联合正态分布的，由可知是正态过程。（4）解：标准布朗运动的相关函数为：如果标准布朗运动是均方可微的，则存在，但是：故不存在，因此标准布朗运动不是均方可微的。（5）解：泊松过程的转移率矩阵为：其相关函数为：由于在，连续，故均方积分存在。（6）解：由遍历性定理可知此链是遍历的，极限分布为。（7）解：（a）略 （b）（c）此链不具遍历性（8）解：由于：故是平稳过程。（9） 证明：（a）任取 ，则有：由于与独立，且都服从，因此可得服从正态分布，由上式可知随机向量 服从正态（高斯）分布，所以过程是正态（高斯）过程。（b）由：由于相关函数不是时间差的函数，因此此过程不是平稳过程。（10）解：（a） （b）先求相关函数：对任意的，在处连续，故均方连续，因此均方可积，存在。将代入计算积分即可。由，得：（11）解：（a）是齐次马氏链。由于目前的积分只与最近一次取球后的积分有关，因此此链具有马氏性且是齐次的。状态空间为：。 （b） （c）即求首达概率，注意画状态转移图。（12）解：（a），（b）（13）解：（a）如12题（b）略（14）解：利用导数过程相关函数与原过程相关函数的关系即可得：（15）解：略。（16）解：（a） 连续，故均方连续，均方可积。（b） 均方连续，均方可积。（17）解：略。（18）解：略。（19）解：（20）证明：令为的任一到达时间间隔并且，即的分布密度为：由此可知：（21）解：由定义，随机过程的均值函数为：而由于当时，随机变量的分布密度为：因此有：即： （22）证明：由于，有其中所以（23）解：由为标准布朗运动可知为正态过程，由正态分布的性质可知为正态过程，令，则有因此，要使仍为标准的布朗运动，必须，即：（24）解：（a）的分布为：（b）的一步转移概率为：（25）证明：计算得：由于相关函数的导数为：它是一连续函数，因此过程均方可导，导过程的相关函数由上