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高数公式大全考研数学三公式汇总高等数学公式汇总第一章 一元函数的极限与连续1、一些初等函数公式： ，2、极限 常用极限：; 两个重要极限3、连续：定义：第二章 导数与微分1、 基本导数公式：2、高阶导数： 牛顿-莱布尼兹公式：3、微分：第三章 微分中值定理与微分的应用1、 基本定理2、第四章 不定积分1、 常用不定积分公式： 2、常用凑微分公式： 3、有特殊技巧的积分第五章 定积分1、基本概念，2、常用定积分公式：；Wallis公式：无穷限积分：瑕积分：；,第六章 定积分应用1、平面图形的面积：直角坐标情形：；参数方程情形：极坐标情形：2、空间立体的体积：由截面面积：旋转体：绕x轴旋转：绕y轴旋转：3、平面曲线的弧长： 总结求极限方法：1、 极限定义；2、函数的连续性；3、极限存在的充要条件；4、两个准则；5、两个重要极限；6、等价无穷小；7、导数定义；8利用微分中值定理；9、洛必达法则；10、麦克劳林公式展开； 求导法：1、 导数的定义（求极限）；2、导数存在的充要条件；3、基本求导公式；4、导数四则运算及反函数求导；5、复合函数求导；6、参数方程确定的函数求导；7、隐函数求导法；8、高阶导数求导法（莱布尼茨公式/常用的高阶导数）； 等式与不等式的证明：1、 利用微粉中值定理；2、利用泰勒公式展开；3、函数的单调性；4、最大最小值；5、曲线的凸凹性第七章 多元函数微分法及其应用一、 定义：二、 微分：，全微分：三、四、曲线的切线和法平面1、曲线方程，切线：，法平面：2、曲线方程，切线：，法平面：3、曲线方程，切向量，切线： 四、曲面的切平面和法线，法向量：，切平面:,法线：2、，切平面，法线：五、方向导数：梯度：第八章：重积分一、 二重积分： 二、重积分的应用：1、体积：2、曲面面积：3、质量：或第九章 无穷级数一、常数项级数二、幂级数：1、收敛半径：2、常用等式：，3、泰勒展开： 第十章 微分方程 线性代数公式汇总 1、行列式1. 行列式共有个元素，展开后有项，可分解为行列式；2. 代数余子式的性质：、和的大小无关；、某行（列）的元素乘以其它行（列）元素的代数余子式为0；、某行（列）的元素乘以该行（列）元素的代数余子式为；3. 代数余子式和余子式的关系：4. 设行列式：将上、下翻转或左右翻转，所得行列式为，则；将顺时针或逆时针旋转，所得行列式为，则；将主对角线翻转后（转置），所得行列式为，则；将主副角线翻转后，所得行列式为，则；5. 行列式的重要公式：、主对角行列式：主对角元素的乘积；、副对角行列式：副对角元素的乘积；、上、下三角行列式（）：主对角元素的乘积；、和：副对角元素的乘积；、拉普拉斯展开式：、范德蒙行列式：大指标减小指标的连乘积；、特征值；6. 对于阶行列式，恒有：，其中为阶主子式；7. 证明的方法：、；、反证法；、构造齐次方程组，证明其有非零解；、利用秩，证明；、证明0是其特征值； 2、矩阵8. 是阶可逆矩阵：（是非奇异矩阵）；（是满秩矩阵）的行（列）向量组线性无关；齐次方程组有非零解；，总有唯一解；与等价；可表示成若干个初等矩阵的乘积；的特征值全不为0；是正定矩阵；的行（列）向量组是的一组基；是中某两组基的过渡矩阵；9. 对于阶矩阵： 无条件恒成立；10.11. 矩阵是表格，推导符号为波浪号或箭头；行列式是数值，可求代数和；12. 关于分块矩阵的重要结论，其中均、可逆：若，则：、；、；、；（主对角分块）、；（副对角分块）、；（拉普拉斯）、；（拉普拉斯） 3、矩阵的初等变换与线性方程组13. 一个矩阵，总可经过初等变换化为标准形，其标准形是唯一确定的：；等价类：所有与等价的矩阵组成的一个集合，称为一个等价类；标准形为其形状最简单的矩阵；对于同型矩阵、，若；14. 行最简形矩阵：、只能通过初等行变换获得；、每行首个非0元素必须为1；、每行首个非0元素所在列的其他元素必须为0；15. 初等行变换的应用：（初等列变换类似，或转置后采用初等行变换）、 若，则可逆，且；、对矩阵做初等行变化，当变为时，就变成，即：；、求解线形方程组：对于个未知数个方程，如果，则可逆，且；16. 初等矩阵和对角矩阵的概念：、初等矩阵是行变换还是列变换，由其位置决定：左乘为初等行矩阵、右乘为初等列矩阵；、，左乘矩阵，乘的各行元素；右乘，乘的各列元素； 、对调两行或两列，符号，且，例如：； 、倍乘某行或某列，符号，且，例如：；、倍加某行或某列，符号,且，如：；17. 矩阵秩的基本性质：、；、；、若，则；、若、可逆，则；（可逆矩阵不影响矩阵的秩）、；（）、；（）、；（）、如果是矩阵，是矩阵，且，则：（）、的列向量全部是齐次方程组解（转置运算后的结论）；、若、均为阶方阵，则；18. 三种特殊矩阵的方幂：、秩为1的矩阵：一定可以分解为列矩阵（向量）行矩阵（向量）的形式，再采用结合律；、型如的矩阵：利用二项展开式；二项展开式：；注：、展开后有项；、组合的性质：；、利用特征值和相似对角化：19. 伴随矩阵：、伴随矩阵的秩：；、伴随矩阵的特征值：；、20. 关于矩阵秩的描述：、，中有阶子式不为0，阶子式全部为0；（两句话）、，中有阶子式全部为0；、，中有阶子式不全为0；21. 线性方程组：，其中为矩阵，则：、与方程的个数相同，即方程组有个方程；、与方程组得未知数个数相同，方程组为元方程；22. 线性方程组的求解：、对增广矩阵进行初等行变换（只能使用初等行变换）；、齐次解为对应齐次方程组的解；、特解：自由变量赋初值后求得；23. 由个未知数个方程的方程组构成元线性方程：、；、（向量方程，为矩阵，个方程，个未知数）、（全部按列分块，其中）；、（线性表出）、有解的充要条件：（为未知数的个数或维数） 4、向量组的线性相关性24. 个维列向量所组成的向量组：构成矩阵；个维行向量所组成的向量组：构成矩阵；含有有限个向量的有序向量组与矩阵一一对应；25. 、向量组的线性相关、无关有、无非零解；（齐次线性方程组）、向量的线性表出是否有解；（线性方程组）、向量组的相互线性表示是否有解；（矩阵方程）26. 矩阵与行向量组等价的充分必要条件是：齐次方程组和同解；(例14)27. ；(例15)28. 维向量线性相关的几何意义：、线性相关；、线性相关坐标成比例或共线（平行）；、线性相关共面；29. 线性相关与无关的两套定理：若线性相关，则必线性相关；若线性无关，则必线性无关；（向量的个数加加减减，二者为对偶）若维向量组的每个向量上添上个分量，构成维向量组：若线性无关，则也线性无关；反之若线性相关，则也线性相关；（向量组的维数加加减减）简言之：无关组延长后仍无关，反之，不确定；30. 向量组（个数为）能由向量组（个数为）线性表示，且线性无关，则(二版定理7)；向量组能由向量组线性表示，则；（定理3）向量组能由向量组线性表示有解；（定理2）向量组能由向量组等价（定理2推论）31. 方阵可逆存在有限个初等矩阵，使；、矩阵行等价：（左乘，可逆）与同解、矩阵列等价：（右乘，可逆）；、矩阵等价：（、可逆）；32. 对于矩阵与：、若与行等价，则与的行秩相等；、若与行等价，则与同解，且与的任何对应的列向量组具有相同的线性相关性；、矩阵的初等变换不改变矩阵的秩；、矩阵的行秩等于列秩；33. 若，则：、的列向量组能由的列向量组线性表示，为系数矩阵；、的行向量组能由的行向量组线性表示，为系数矩阵；（转置）34. 齐次方程组的解一定是的解，考试中可以直接作为定理使用，而无需证明；、只有零解只有零解；、有非零解一定存在非零解；35. 设向量组可由向量组线性表示为：（题19结论）（）其中为，且线性无关，则组线性无关；（与的列向量组具有相同线性相关性）（必要性：；充分性：反证法）注：当时，为方阵，可当作定理使用；36. 、对矩阵，存在，、的列向量线性无关；（）、对矩阵，存在，、的行向量线性无关；37. 线性相关存在一组不全为0的数，使得成立；（定义）有非零解，即有非零解；，系数矩阵的秩小于未知数的个数；38. 设的矩阵的秩为，则元齐次线性方程组的解集的秩为：；39. 若为的一个解，为的一个基础解系，则线性无关；（题33结论） 5、相似矩阵和二次型40. 正交矩阵或（定义），性质：、的列向量都是单位向量，且两两正交，即；、若为正交矩阵，则也为正交阵，且；、若、正交阵，则也是正交阵；注意：求解正交阵，千万不要忘记施密特正交化和单位化；41. 施密特正交化：；;42. 对于普通方阵，不同特征值对应的特征向量线性无关；对于实对称阵，不同特征值对应的特征向量正交；43. 、与等价经过初等变换得到；，、可逆；，、同型；、与合同，其中可逆；与有相同的正、负惯性指数；、与相似；44. 相似一定合同、合同未必相似；若为正交矩阵，则，（合同、相似的约束条件不同，相似的更严格）；45. 为对称阵，则为二次型矩阵；46. 元二次型为正定：的正惯性指数为；与合同，即存在可逆矩阵，使；的所有特征值均为正数；的各阶顺序主子式均大于0；(必要条件)概率论与数理统计公式汇总第1章 随机事件及其概率1排列组合 2关系运算A(BC)=(AB)C A(BC)=(AB)C (AB)C=(AC)(BC) (AB)C=(AC)(BC) ，3几何概型v （1）S是直线上的某个线段,长度为l(S),A是S的一个子集，则落在A中的概率为：P(A)=l(A)/l(S)。v （2）S是平面上的某个区域,面积为u(S), 则落在A中的概率为：P(A)=u(A)/u(S)。v （3）S是空间上的某个立体,体积为v(S), 则落在A中的概率为：P(A)=v(A)/v(S)。 甲乙两人相约在7点到8点之间在某地会面，先到者等候另一人20分钟，过时就离开。如果每个人可在指定的任一小时内任意时刻到达，试计算二人能够会面的概率。根据题意，这是一个几何概型问题，于是解：4加法公式P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB) 当P(AB)0时，P(A+B)=P(A)+P(B)5减法公式P(A-B)=P(A)-P(AB) 当BA时，P(A-B)=P(A)-P(B) 当A=时，P()=1- P(B)6条件概率事件B在事件A发生条件下发生的条件概率为 。7乘法公式 P(ABC)P(A)P(B|A)P(C|AB) P(AB)08独立性两个事件的独立性设事件、满足，则称事件、是相互独立的。若事件、相互独立，且，则有若事件、相互独立，则可得到与、与、与也都相互独立。必然事件和不可能事件与任何事件都相互独立. 与任何事件都互斥。多个事件的独立性设ABC是三个事件，如果满足两两独立的条件，P(AB)=P(A)P(B)；P(BC)=P(B)P(C)；P(CA)=P(C)P(A)并且同时满足P(ABC)=P(A)P(B)P(C)那么A、B、C相互独立。 对于n个事件类似。9伯努利概型概率P(A)=p , 发P()=1-p=q，用表示重伯努利试验中出现次的概率，。第二章 随机变量及其分布1离散型随机变量 P(X=xk)=pk，k=1,2,， （1）， （2）2连续型随机变量概率密度 (1) ;(2) 。3分布函数 1 ； 2、单调不减性：若x1x2, 则F(x1)F(x2)； 3 ， ； 4 右连续性： 对于离散型随机变量，； 对于连续型随机变量， 二项分布， 当时，就是（0-1）分布：P(X=1)=p, P(X=0)=q泊松分布或者P()：，泊松分布为二项分布的极限分布（np=，n）。超几何分布随机变量X服从参数为n,N,M的超几何分布，记为H(n,N,M)。几何分布，其中p0，q=1-p。(k次试验，前k-1次失败，第k次成功)随机变量X服从参数为p的几何分布，记为G(p)。均匀分布 axb axbXU(a，b)： 其他，0， xb。当ax1x2b时，X落在区间（）内的概率为。指数分布 , 0, , , x2)二维随机变量的数字特征期望 函数的期望方差协方差cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y).， D（X）= cov(X,Y)= ; D（Y）=。Cov (X, Y)=cov (Y, X) cov(aX,bY)=ab cov(X,Y) cov(X1+X2, Y)=cov(X1,Y)+cov(X2,Y)X与Y的相关系数(标准协方差):=X的标准化变量:即“随机变量与期望之差除以均方差”若记则E(X*)=0， D(X*)=1|1，当|=1时，称X与Y完全相关：1. 若随机变量X与Y相互独立，则；反之不真。2. 若（X，Y）N（），则X与Y相互独立的充要条件是X和Y不相关。完全相关而当时，称X与Y不相关。以下五个命题是等价的： cov(X,Y)=0 E(XY)=E(X)E(Y)D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2Cov(X,Y) D(X-Y)=D(X)+D(Y)-2Cov(X,Y).矩1、A =E(X )为X的k阶原点矩（k阶矩）(k=1,2,)，数学期望E(X)即为X的一阶原点矩；2、B =EX-E(X) 为X的k阶中心矩(k=1,2,)，方差D(X)即为X的二阶中心矩。3、=E(X Y )为X、Y的k+l阶混合原点矩(k,l=1,2)。4、为随机变量的k+l阶混合中心矩(k,l=1,2,)。协方差矩阵CC=(C ) =第五章 大数定律和中心极限定理大数定律切比雪夫若X1，X2，具有相同的数学期望E（XI）=，则伯努利当试验次数n很大时，事件A发生的频率与概率有较大判别的可能性很小辛钦中心极限定理 列维林德伯格/独立同分布的中心极限棣莫弗拉普拉斯随机变量X1，X2，相互独立，服从同一分布，且具有相同的数学期望和方差：二项定理若当，则 超几何分布的极限分布为二项分布。泊松定理若当，则 其中k=0，1，2，n，。第六章 样本及抽样分布数理统计的基本概念所研究的对象的全体称为总体,总体的每一个基本单位称为个体.设总体X的分布为F(x)，则样本(X1,X2,Xn)的联合分布为从总体X中抽出若干个个体称为样本，一般记为(X1,X2,Xn)。n称为样本容量。当总体X是离散型时，其分布律为样本的联合分布律为当总体X是连续型时， Xf(x)，则样本的联合密度为（）为样本函数，其中为一个连续函数。若中不包含未知参数，则（）为一个统计量。常见统计量及其性质样本均值 样本方差 样本标准差样本k阶原点矩 样本k阶中心矩 ，,其中为二阶中心矩。正态分布设为来自正态总体的一个样本，则样本函数t分布 定义 若XN(0, 1)，Yc2(n)，X与Y独立，则t(n)称为自由度为n的t分布。p3、(1) t分布表构成(P296)： Pt(n)=p(2) Pt(n) tp(n)=p，tp(n)为水平p的上侧分位数(1) f(t)关于t=0(纵轴)对称；(2) f(t)的极限为N(0,1)的密度函数，即 =。样本函数 其中t(n-1)表示自由度为n-1的t分布。设n个相互独立的 X1,X2,Xn，XiN(0,1)，则 称为自由度为n的c2分布。（1）求解：(2) c2分布的可加性X1,X2 相互独立，则X1+X2 c2(n1+n2)p(1)构成 Pc2(n)=p，已知n,p可查表(P298)求得;水平为的上侧分位数分位点(2)。样本函数其中表示自由度为n-1的分布。F分布 若Xc2(n1)，Yc2(n2) ，X,Y独立，则 称为第一自由度为n1 ，第二自由度为n2的F分布，其概率密度为F分布表(P294)及有关计算(1)构成：PF(n1,n2)=p(2)有关计算PF(n1,n2)=p =Fp(n1,n2)性质：样本函数 其中表示第一自由度为，第二自由度为的F分布。正态总体的抽样分布定理4、(双正态总体的抽样分布)设(X1,X2,Xn1)是N(1,12)的样本，(Y1,Y2,Yn2)是N(2,22)的样本，且相互独立，S12，S22是样本方差，则(1)(2) 称为混合样本方差。1.若 则2.设(X1,X2,Xn)是正态总体N(,2)的样本，则(1)与S2独立(2)(3) 3.设(X1,X2,Xn)是正态总体N(,2)的样本，则第七章 参数估计（1）点估计(用某个函数值作为总体未知函数的估计值)矩估计极大似然估计样本的k阶原点矩为 这样，我们按照“当参数等于其估计量时，总体矩等于相应的样本矩”的原则建立方程，即有样本的似然函数,简记为Ln.