Brown运动的拟必然极性函数.doc

Brown运动的拟必然极性函数武汉大学(自然科学版)1993年第3期JOURNALOFWUHANUNVERSIrY(Na锄rsd部侣Edition)No.31993Brown运动的拟必然极性函数(武汉太学,汉0430072)训6(武汉太学数学袁,武汉,摘要本文利用Mal】iavjn分析,刻捌了a.Brown运动m()的一类拟必然投性函数,即设,(?):一,则在一定条件下,a.习c>0使()=()=0.同时还给出了容度大偏差古Iog.>=一刍的一十简单证明.量一Bro.w懂动查壅,塑坐迳堡些大偏差币列强,中图法分类号O211.61I一/极集与极性菌数的描述是Brown运动研究的重要课题,以往的结论都是在概率意义下的,即涉及的可略集都是指概率为0的集合.由于更深刻地研究Brown运动及其泛函的需要,Maliavin引进了容度的概念,从而开创了拟必然分析,其中容度为0的集合(蕴含着概率为0)疏集,才是随机变分学(或称Malliavin分析)中自然的可略集.困此拟必然分析一方面比经典的a分析更精细,另一方面有其自身的内在意义.本文的结论是,除一疏集之外,Brown运动的样本轨道不可能击中某一类函数.1拟必然性设(,H,)为Wiener空问,即=+十,连续,(0)0),赋以有界闭区间上的一致收敛拓扑成一线性拓扑空间;H为w的CarmeronMartin子空间,即H=W,h(),赋以内积(,):1()?()dl成一Hillrt空间;为W上Wiener测度.此时,坐标过程(f),R在下为Brown运动.对,1,令口(,).其中范数为lI.设v是梯度算子,L为OrnsteinUenl3eck算子,D.,为(,片,)上的Sobolev空间,范数为.II/l1.,:l1(卜一L),其中>0,为单位算子.由sug|协这范数等价于如下范数JJ刘,.,=lI:II,+JIV州,对开集OCW,它的(r,p)容度定义为收稿日期,19921120.骆顺龙:男.25岁,博士生.现从事随机分析研究一第3期略顾龙,Bn运动的|l必然楹性函数.(0)一inf训l_/-i.gD.,l,一0.s.删O)对任意集ACW,其(,)容度定义为.,()=infB.,(0):开集0)若.,()=0,则称A为a,疏集.在疏集之外成立的性质称为拟必然性,记为C,p-s.容度有如下基本性质,V>0,pl1).()()VACW2).()一l,.(日)=03)十.,(UA.)=sI1pB.,(.)4)a.,(UA):.,(.)-5).(A)<D.0.,(1imA.)一0_一由1)知疏集必为可咯集,但反之不对.故关于拟必然性的结论比经典的关于o.的结论更精细.2极性函数设c0(z)一(co.(),(),()为d维Brown运动.f(O=(,(),丘(),():R一为任一函数.所谓,()为Brown运动.()的极性函数,在经典意义下是指j>0使()一,()=0所谓拟必然极性函数,我们指将上面的改为.,.即若.,j>0使co(z)=,()一0则称,()为m()的B.,拟必然极性函数.以下是我们的主要结论:定理若vo,lirasup互<.,l,2.则当>2-kr时,.(z-s)t0s)a.,3c>0使()一,(f)一0在证明定理之前,我们有如下推论:?推论l(c.LTakoda,1984)若d>2+叩,则inff)-0;co(Z)一0=B.rs.,V口证明在定理中取正()=即可.其中0=(),l,2,d.推论2设d一2+r+2,其中2+表示不超过2+叩的最大整数,则.,j>0使0)一()一=(f)=0证明因d一1一2+p+2l>2+叩,由推论l知dI维Brown运动击中单点的(r,p)容度为0,从而由投影原理,d维Brown运动击中d一(d1)一1维线性子流形的(,p)容度亦为0.特别,令=(z,.?,):为的一维线性子流形,因此,一a.,了>O使()=O此即.B.,(jc>0使()=(c)=0)j一018武汉大学(自然科学版)1993照推论3(c.f.LeGall,1988)设3,()满足定理中条件,则pj>0使()一,()一0证明取坤<1,则3>2+叩,由定理B.,j>0使)=,()一0由于.(?)(?).故更有pj>0使()=f(O)=o注l定理中要求>2+,坎3.对l,由于一维Brown运动是.最常远的,故谈论极性函数失去意义.与此相反,可以证明设,(f)满足Lipschitz条件,则1dim>0()一,()音C一乩其中dim指Hausdorff维数.由此可见此时o(ty频繁地击中,().注2对2,还没有相应结果但可以证明此时象集的HadoHf维数拟必然为2,即dim()f矗一20.,一s3定理的证明为证明定理,我们先列出如下f理:引理1?m()为如前所设的Brown运动,则Vk>O,有lim,.j:ls.v>0,:12l,d(20-s)1og-L).一引理2j对4.亡,一1,2,有,(1ima-)l0.,(A)引理3.设皿.,G.口<6.,>0,l,2,.则c,.,l(m<<)1+m(r),d争,一.(.一日<<+)一其中ra(r)是依赖于r及cminc的常数.现在证明定理,由引理l及定理条件知j<o.使lirasup堕堕二<,.,一吼v,>0,l(卜s)og毒;)令.Im(寺)一(寺)I().则3tG1,2使oO)=f(OCfimB.,一s.往证?.,um鼠一.,而由引理-这只需证B,(墨)0实际上,我们将证明B-,(鼠)一0.(告)一(告)I()】第3期骆晨龙tBrown运动的拟必然握性函数(詈)(告)(ini(k).(),(inik)+()1+m(r),(丢()?m.()(告)()五(告)一(+c)(),(詈),.(告)+(+c)()1+m(),d争,(告()?(+c)?(,lo2g2n5,?2故.,(且)一0(1og2.)一.,从而r.一(日).这样,我们就证明了,jI1,2使()=,()=0,同理可证.,j0<n,+1使(),(f)=O,VO.因此.cj>O使(f),()一.,0jo<l,+1使(),()一0.,j0<,n+1使(f),(f)一0li!理证毕.4一个大偏差结论与极性函数的研究有关,我们给出下面关于容度大偏差的简单证明,它刻划了Brown运动样本轨道所能到达范围的一个渐近性质.设一1,VT>0,定义I1口(IsIJ甜pI(f)I命题孝gc.(11Itt>)一j1,V>.,该命题的证明依赖于如下两个引理引理g):一刍引理51Vt>1,A>吉,有11mII>)2,i).exp一2r等2-),p)现在证明命题由引理d及(?)(?),知lirablogG.,I111t>)一寺由于对固定p,f,有l.g,llIb>)一2一i=卸(一却武祝大学(自然科学版)l993年取>,一吾,立得再令f一.,得命题证毕1.以IIr>z)一j1E.2T一-r.lira11.啦.,(1lII,>)一1参考文献1MalliavinP.1mplieitfunctionin丘nnecora=k口l1theWienerspa.Inlto?proceediitTart-喧ueldInter.symp嘴.口l1StochtieAnalysis.Kinoku=JyaKatakaandKycto.i982.3693862黄志远.随机分析学基础.武汉武汉大学出版杜,1988.2833203SugltaHSotmlevspacesofWienerfunctionalandMalllavincalculus.JMathKyotoUnlv.198525:31d84FukushimaMBasicpropertiesofBrownianmotionandacapacityontheWienerspa.JMaths0cJapan1984aB(1)1611755TakedaM.(f-p)-Capaclty(313thewie=erspaandpropertiesBrownianmotion.zW,I984,1日:1491626RenJ.Analysequasis0.redes6quationsdrnneu髂stcchastques./iullScMath-1990-11t1872137Lepal#JFSur/asfoncdonspolalrpotrkmouveme=tbrownle=.LNM,1988,1321j186189QUASISUREPOLARFUNCTIONSFORBROWN/ANMOTIONLuoShunlong(DepartmentofMathematics,WuhanUniverty,Wuhan.hina,430072)AbstractIntermsofMalliavincalculus,Wecharacterizesomekindofquasisurepolarfan.ionsforddimensnalBrownianmotion(),thatis,under