高中数学 第一章 导数及其应用 1.4 生活中的优化问题举例课件 新人教A版选修22(1).ppt

1 4生活中的优化问题举例 类型一面积 体 容 积有关的最值问题 典例1 如图 四边形abcd是一块边长为4km的正方形地域 地域内有一条河流md 其经过的路线是以ab的中点m为顶点且开口向右的抛物线 河流宽度忽略不计 新长城公司准备投资建一个大型矩形游乐园 pqcn p为河流md上任意一点 问如何施工才能使游乐园的面积最大 并求出最大面积 解题指南 首先依据图形建立合适的坐标系 设出点的坐标 引入变量构建与面积有关的函数关系式 再利用导数求最值 解析 以m为原点 ab所在直线为y轴建立直角坐标系 则d 4 2 设抛物线方程为y2 2px 因为点d在抛物线上 所以22 8p 解得 所以抛物线方程为y2 x 0 x 4 设p y2 y 0 y 2 是曲线md上任一点 则 pq 2 y pn 4 y2 所以矩形游乐园的面积为s pq pn 2 y 4 y2 8 y3 2y2 4y 求导得s 3y2 4y 4 令s 0 得3y2 4y 4 0 解得或y 2 舍 当y 时 s 0 函数s为增函数 当y 时 s 0 函数s为减函数 所以当时 s有最大值 得 所以游乐园最大面积为 即游乐园的两邻边分别为km km时 面积最大 最大面积为km2 方法总结 利用导数解决实际问题的基本流程 巩固训练 已知矩形的两个顶点位于x轴上 另两个顶点位于抛物线y 4 x2在x轴上方的曲线上 求矩形的面积最大时的边长 解析 设矩形边长ad 2x 则 ab y 4 x2 则矩形面积为s 2x 4 x2 00 当时 s 0 所以当时 s取得最大值 此时 即矩形的边长分别为时 矩形的面积最大 补偿训练 用长为90cm 宽为48cm的长方形铁皮做一个无盖的容器 先在四个角分别截去一个小正方形 然后把四边翻转90 角 再焊接而成 如图所示 问该容器的高为多少时 容器的容积最大 最大容积是多少 解析 设容器的高为xcm 容器的容积为v x cm3 则v x x 90 2x 48 2x 4x3 276x2 4320 x 0 x 24 v x 12x2 552x 4320 12 x2 46x 360 12 x 10 x 36 令v x 0 得x1 10 x2 36 舍去 当00 v x 是增函数 当10 x 24时 v x 0 v x 是减函数 因此 在定义域 0 24 内 函数v x 只有当x 10时取得最大值 其最大值为v 10 10 90 20 48 20 19600 cm3 故当容器的高为10cm时 容器的容积最大 最大容积是19600cm3 类型二费用 用料 最省问题 典例2 2017 重庆高二检测 某企业拟建造如图所示的容器 不计厚度 长度单位 米 其中容器的中间为圆柱形 左右两端均为半球形 按照设计要求容器的体积为立方米 假设该容器的建造费用仅与其表面积有 关 已知圆柱形部分每平方米建造费用为3千元 半球形部分每平方米建造费用为4千元 设该容器的总建造费用为y千元 1 将y表示成r的函数f r 并求该函数的定义域 2 讨论函数f r 的单调性 并确定r和l为何值时 该容器的建造费用最小 并求出最小建造费用 解题指南 1 总造价等于两个半球合成一个球的表面的造价加上圆柱的侧面的造价 2 对y f r 求导然后研究单调性与最值 解析 1 因为容器的体积为立方米 所以 解得所以圆柱的侧面积为两端两个半球的表面积之和为4 r2 所以又所以定义域为 2 因为所以令f r 0 得 令f r 0 得0 r 2 所以f r 的单调增区间为 单调减区间为 0 2 所以当r 2时 该容器的建造费用最小 为96 千元 此时 延伸探究 1 试讨论该容器表面积有无最小值 若有 求出最小值 若没有 说明理由 解析 因为容器的体积为立方米 所以 解得 所以圆柱的侧面积为两端两个半球的表面积之和为4 r2 故该容器的表面积则令s 0 解得 所以应在时 取得最小值 而由 1 可知r 取不到 所以无最小值 2 若由于场地的限制 该容器的半径要限制在范围内 求容器建造费用的最小值 解析 因为所以令y 0 得 令y 0 得0 r 2 故当r 时 函数单调递减 故当时 方法总结 利用导数解决生活中的优化问题的一般步骤 1 分析实际问题中各量之间的关系 列出实际问题的数学模型 写出实际问题中变量之间的函数关系y f x 2 求函数的导数f x 解方程f x 0 3 比较函数在区间端点和使f x 0成立的点的数值的大小 最大 小 者为最大 小 值 4 写出答案 补偿训练 甲 乙两地相距400千米 汽车从甲地匀速行驶到乙地 速度不得超过100千米 时 已知该汽车每小时的运输成本p 元 关于速度v 千米 时 的函数关系是 1 求全程运输成本q 元 关于速度v的函数关系式 2 为使全程运输成本最少 汽车应以多大速度行驶 并求此时运输成本的最小值 解析 1 2 令q 0 则v 0 舍去 或v 80 当00 所以当v 80千米 时时 全程运输成本取得极小值 即最小值 且qmin q 80 元 类型三利润最大问题 典例3 某公司为了获得更大的利益 每年要投入一定的资金用于广告促销 经调查 每年投入广告费t 单位 百万元 可增加销售额约为 t2 5t 单位 百万元 且0 t 5 1 若该公司将当年的广告费控制在3百万元之内 则应投入多少广告费 才能使该公司由此获得的收益最大 2 现该公司准备共投入3百万元 分别用于广告促销和技术改造 经预测 每投入技术改造费x 单位 百万元 可增加的销售额约为 单位 百万元 请设计一个资金分配方案 使该公司由此获得的收益最大 注 收益 销售额 投入 解析 1 设投入t百万元的广告费后增加的收益为f t 百万元 则有f t t2 5t t t2 4t t 2 2 4 0 t 3 所以当t 2时 f t 取得最大值4 即投入2百万元的广告费时 该公司由此获得的收益最大 2 投入技术改造的资金为x百万元 则用于广告促销的资金为 3 x 百万元 设由此获得的收益是g x 则所以g x x2 4 令g x 0 解得x 2 舍去 或x 2 当0 x0 当2 x 3时 g x 0 故g x 在 0 2 上是增函数 在 2 3 上是减函数 所以当x 2时 g x 取最大值 即将2百万元用于技术改造 1百万元用于广告促销时 该公司由此获得的收益最大 方法总结 利润问题中的等量关系解决此类有关利润的实际应用题 应灵活运用题设条件 建立利润的函数关系 常见的基本等量关系有 1 利润 收入 成本 2 利润 每件产品的利润 销售件数 巩固训练 某工厂生产某种产品 已知该产品的月生产量x 吨 与每吨产品的价格p 元 吨 之间的关系式为 且生产x吨产品的成本为r 50000 200 x 元 问该工厂每月生产多少吨产品才能使利润达到最大 最大利润是多少 利润 收入 成本 解析 每月生产x吨时的利润为 则 令f x 0 解得x1 200 x2 200 舍去 因为f x 在 0 内只有一个极大值点x 200 故它就是最大值点 且最大值为 3150000 元 所以每月生产200吨产品时利润达到最大 最大利润为315万元 补偿训练 2017 沈阳高二检测 某商品每件成本9元 售价为30元 每星期卖出432件 如果降低价格 销售量将会增加 且每星期多卖出的商品件数与商品单价的降低值x 单位 元 0 x 30 的平方成正比 已知商品单价降低2元时 一星期将多卖出24件 1 将一个星期的商品销售利润表示成x的函数 2 如何定价才能使一个星期的商品销售利润最大 解题指南 1 先求出比例系数 再依据题设求出多卖的商品数 再根据销售利润 销售收入 成本 列出函数关系式 即可得到答案 2 根据f x 的解析式 用导数求最值 解析 1 设商品降价x元 则多卖出的商品件数为kx2 若记商品一个星期的获利为f x 则依题意有f x 30 x 9 432 kx2 21 x 432 kx2 又由已知条件 24 k 22 于是有k 6 所以f x 6x3 126x2 432x 9072 x 0 30 2 根据 1 有f x 18x2 252x 432 18 x 2 x 12 当x变化时 f x f x 的变化情况如表 故当x 12时 f x 取到极大值 因为f 0 9072 f 12 11664 所以定价为30 12 18 元 时能使一个星期的商品销售利润最大 类型四效率最高问题 典例4 我们知道 汽油的消耗量w 单位 l 与汽车的速度v 单位 km h 之间有一定的关系 汽油的消耗量w是汽车速度v的函数 通过大量的统计数据 并对数据进行分析 研究 人们发现 汽车在行驶过程中 汽油平均消耗率g 即每小时的汽油消耗量 单位 l h 与汽车行驶的平均速度v 单位 km h 之间有如图所示的函数关系g f v 且点 90 5 为直线y kx与函数g f v 相切时的切点 那么汽车平均速度为多少时 汽油使用率最高 此时的每千米耗油量大约是多少l 解题指南 研究汽油使用效率就是研究汽油消耗量与汽车行驶路程的比值 如果用g表示每千米平均的汽油消耗量 那么 其中 w表示汽油消耗量 单位 l s表示汽车行驶的路程 单位 km 从图中不能直接解决汽油使用效率最高的问题 因此 我们首先需要将问题转化为汽油平均消耗率g 即每小时的汽油耗量 单位 l h 与汽车行驶的平均速度v 单位 km h 之间的关系的问题 然后利用图象中的数据信息 解决汽油使用效率最高的问题 解析 设g表示每千米平均的汽油消耗量 s表示汽车行驶的路程 单位 km 因为 这样 问题就转化为求的最小值 从图象上看 表示经过原点与曲线上点的直线的斜率 进一步发 现 当直线与曲线相切时 其斜率最小 在此切点处速度约为90km h 因此 当汽车行驶距离一定时 要使汽油的使用效率最高 即每千米的汽油消耗量最小 此时的车速约为90km h 从数值上看 每千米的耗油量就是图中的切线的斜率 即f 90 约为 l km 方法总结 效率最高问题的解题途径 巩固训练 统计表明 某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量y 升 关于行驶速度x 千米 时 的函数解析式可以表示为 已知甲 乙两地相距100千米 当汽车以多大的速度匀速行驶时 从甲地到乙地耗油最少 最少为多少升 解析 当速度为x千米 时时 汽车从甲地到乙地行驶了小时 设耗油量为h x 升 依题意得 令h x 0 得x 80 因为x 0 80 时 h x 0 h x 是增函数 所以当x 80时 h x 取得极小值h 80 11 25 升 因为h x 在 0 120 上只有一个极小值 所以它是最小值 答 汽车以80千米 时匀速行驶时 从甲地到乙地耗油最少 最少为11 25升 补偿训练 如图 在直线y 0和y a a 0 之间表示的是一条河流 河流的一侧河岸 x轴 是一条公路 且公路随时随处都有公交车来往 家住a 0 a 的某学生在位于公路上b d 0 d 0 处的学校就读 每天早晨该学生都要从家出发 可以先乘船渡河到达公路上某一点 再乘公交车去学校 或者直接乘船渡 河到达公路上b d 0 处的学校 已知船速为v0 v0 0 车速为2v0 水流速度忽略不计 1 若d 2a 求该学生早晨上学时 从家出发到达学校所用的最短时间 2 若 求该学生早晨上学时 从家出发到达学校所用的最短时间 解析 1 设该学生从家出发先乘船渡河到达公路上某一点p x 0 0 x d 再乘公交车去学校 所用的时间为t 则 令f x 0得 当时 f x 0 所以当时 所用的时间最短 最短时间 所以当d 2a时 该学生从家里出发到学校所用的最短时间是 2 由 1 的讨论知 当时 t f x 为上的减函数 所以当时 即该学生直接乘船渡河到达公路上学校所用时间最短 最短时间为 课堂小结 1 知识总结 2 方法总结 1 解决实际应用问题