高中数学第二章数列2_2_2等差数列的前n项和二课件新人教b版必修5

第二章 2 2等差数列 2 2 2等差数列的前n项和 二 1 进一步熟练掌握等差数列的通项公式和前n项和公式 2 会解等差数列前n项和的最值问题 3 理解an与Sn的关系 能根据Sn求an 学习目标 题型探究 问题导学 内容索引 当堂训练 问题导学 思考 知识点一数列中an与Sn的关系 已知数列 an 的前n项和Sn n2 怎样求a1 an 答案 a1 S1 1 当n 2时 an Sn Sn 1 n2 n 1 2 2n 1 又n 1时也适合上式 所以an 2n 1 n N 梳理 对任意数列 an Sn与an的关系可以表示为an n 1 n 2 n N S1 Sn Sn 1 知识点二等差数列前n项和的最值 由二次函数的性质可以得出 当a1 0 d 0时 Sn先减后增 有最小值 当a1 0 d 0时 Sn先增后减 有最大值 且n取最接近对称轴的正整数时 Sn取到最值 思考 我们已经知道当公差d 0时 等差数列前n项和是关于n的二次函数Sn n2 a1 n 类比二次函数的最值情况 等差数列的Sn何时有最大值 何时有最小值 答案 梳理等差数列前n项和的最值与 Sn 的单调性有关 1 若a1 0 d0 则数列的前面若干项为负项 或0 所以将这些项相加即得 Sn 的最小值 3 若a1 0 d 0 则 Sn 是递增数列 S1是 Sn 的最小值 4 若a1 0 d 0 则 Sn 是递减数列 S1是 Sn 的最大值 题型探究 类型一已知数列 an 的前n项和Sn求an 例1已知数列 an 的前n项和为Sn n2 n 求这个数列的通项公式 这个数列是等差数列吗 如果是 它的首项与公差分别是什么 解答 根据Sn a1 a2 an 1 an可知Sn 1 a1 a2 an 1 n 1 n N 引申探究例1中前n项和改为Sn n2 n 1 求通项公式 解答 已知前n项和Sn求通项an 先由n 1时 a1 S1求得a1 再由n 2时 an Sn Sn 1求得an 最后验证a1是否符合an 若符合则统一用一个解析式表示 反思与感悟 跟踪训练1已知数列 an 的前n项和Sn 3n 求an 当n 1时 a1 S1 3 当n 2时 an Sn Sn 1 3n 3n 1 2 3n 1 当n 1时 代入an 2 3n 1得a1 2 3 解答 类型二等差数列前n项和的最值 例2已知等差数列5 的前n项和为Sn 求使得Sn最大的序号n的值 解答 所以当n取与最接近的整数即7或8时 Sn取得最大值 故前n项和是从第9项开始减小 而第8项为0 所以前7项或前8项和最大 在等差数列中 求Sn的最大 小 值 其思路是找出某一项 使这项及它前面的项皆取正 负 值或零 而它后面的各项皆取负 正 值 则从第1项起到该项的各项的和为最大 小 由于Sn为关于n的二次函数 也可借助二次函数的图象或性质求解 反思与感悟 跟踪训练2在等差数列 an 中 an 2n 14 试用两种方法求该数列前n项和Sn的最小值 解答 方法一 an 2n 14 a1 12 d 2 a1 a2 a6 a7 0 a8 a9 当n 6或n 7时 Sn取到最小值 易求S6 S7 42 Sn min 42 方法二 an 2n 14 a1 12 当n 6或n 7时 Sn最小 且 Sn min 42 类型三求等差数列前n项的绝对值之和 例3若等差数列 an 的首项a1 13 d 4 记Tn a1 a2 an 求Tn 解答 a1 13 d 4 an 17 4n 当n 4时 Tn a1 a2 an a1 a2 an 15n 2n2 当n 5时 Tn a1 a2 an a1 a2 a3 a4 a5 a6 an S4 Sn S4 2S4 Sn 2n2 15n 56 求等差数列 an 前n项的绝对值之和 根据绝对值的意义 应首先分清这个数列的哪些项是负的 哪些项是非负的 然后再分段求出前n项的绝对值之和 反思与感悟 跟踪训练3已知数列 an 中 Sn n2 10n 数列 bn 的每一项都满足bn an 求数列 bn 的前n项和Tn的表达式 由Sn n2 10n得an Sn Sn 1 11 2n n 2 n N 验证a1 9也符合上式 an 11 2n n N 当n 5时 an 0 此时Tn Sn n2 10n 当n 5时 an 0 此时Tn 2S5 Sn n2 10n 50 解答 当堂训练 当n 1时 a1 S1 2 当n 2时 an Sn Sn 1 2n 又因为a1 2符合an 2n 所以an 2n 1 已知数列 an 的前n项和Sn n2 n 则an等于A 4n 2B n2C 2n 1D 2n 答案 解析 1 2 3 4 等差数列的前n项和Sn的形式为Sn an2 bn 故 1 2 已知数列 an 为等差数列 它的前n项和为Sn 若Sn n 1 2 则 的值是A 2B 1C 0D 1 答案 解析 1 2 3 4 S3 S8 S8 S3 a4 a5 a6 a7 a8 5a6 0 a6 0 a1 0 a1 a2 a3 a4 a5 a6 0 a7 0 故当n 5或6时 Sn最大 1 2 3 3 首项为正数的等差数列 前n项和为Sn 且S3 S8 当n 时 Sn取到最大值 5或6 答案 解析 4 1 2 3 当n 1时 a1 S1 3 2 5 当n 2时 Sn 1 3 2n 1 又Sn 3 2n an Sn Sn 1 2n 2n 1 2n 1 又当n 1时 a1 5 21 1 1 解答 4 4 已知数列 an 的前n项和Sn 3 2n 求an 规律与方法 1 因为an Sn Sn 1只有n 2时才有意义 所以由Sn求通项公式an f n 时 要分n 1和n 2两种情况分别计算 然后验证两种情况可否用统一解析式表示 若不能 则用分段函数的形式表示