高中数学 第一章 解三角形 1_2 应用举例（二）课件 新人教b版必修51

第一章解三角形 1 2应用举例 二 1 能够运用正弦 余弦定理解决航海测量中的实际问题 2 了解解三角形在物理中的应用 3 掌握三角形的面积公式的简单推导和应用 学习目标 题型探究 问题导学 内容索引 当堂训练 问题导学 用方向角和方位角 思考 知识点一航海中的测量问题 在浩瀚无垠的海面上航行 最重要的是定位和保持航向 阅读教材 看看船只是如何表达位置和航向的 答案 梳理 方位角 指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角 方向角 从指定方向到目标方向线所成的水平角 如南偏西60 即以正南方向为始边 顺时针方向向西旋转60 知识点二解三角形在物理中的应用 思考 我们知道 如图中的向量 那么物理中的哪些量可以解释为向量 答案 力 速度 加速度 磁场强度等 梳理数学在物理学中的应用非常广泛 某种角度上说 物理题实际上是数学应用题 解物理题就是先把实际问题抽象成数学问题 解决后再还原成实际问题的答案 知识点三三角形面积公式的拓展 思考 如果已知底边和底边上的高 可以求三角形面积 那么如果知道三角形两边及夹角 有没有办法求三角形面积 答案 在 ABC中 如果已知边AB BC和角B 边BC上的高记为ha 则ha ABsinB 从而可求面积 梳理在 ABC中 角A B C的对边分别为a b c 则 ABC的面积S absinC bcsinA acsinB 题型探究 例1如图 一艘海轮从A出发 沿北偏东75 的方向航行67 5nmile后到达海岛B 然后从B出发 沿北偏东32 的方向航行54 0nmile后到达海岛C 如果下次航行直接从A出发到达C 此船应该沿怎样的方向航行 需要航行多少距离 角度精确到0 1 距离精确到0 01nmile 解答 类型一航海中的测量问题 在 ABC中 ABC 180 75 32 137 根据余弦定理 113 15 所以 CAB 19 0 75 CAB 56 0 所以此船应该沿北偏东56 0 的方向航行 需要航行113 15nmile 解决航海问题一要搞清方位角 方向角 二要弄清不动点 三角形顶点 然后根据条件 画出示意图 转化为解三角形问题 反思与感悟 跟踪训练1甲船在A点发现乙船在北偏东60 的B处 乙船以每小时a海里的速度向北行驶 已知甲船的速度是每小时a海里 问甲船应沿着什么方向前进 才能最快与乙船相遇 解答 如图所示 设经过t小时两船在C点相遇 则在 ABC中 BC at 海里 AC at 海里 B 90 30 120 0 CAB 90 CAB 30 DAC 60 30 30 甲船应沿着北偏东30 的方向前进 才能最快与乙船相遇 类型二解三角形在物理中的应用 例2如图所示 对某物体施加一个大小为10N的力F 这个力被分解到OA OB两个方向上 已知 AOB 120 力F与OA的夹角为45 求分力的大小 解答 FOG 45 AOB 120 则 FOC AOB FOG 120 45 75 由 OGFC知 GFO FOC 75 在 FOG中 FGO 180 75 45 60 由正弦定理得 反思与感悟 解决物理等实际问题的步骤 1 把实际问题受力平衡用图示表示 2 转化为数学问题 通过正余弦定理解三角形 3 把数学问题的解转化为实际问题的解 跟踪训练2有一两岸平行的河流 水速为1m s 小船的速度为m s 为使所走路程最短 小船应朝 方向行驶 A 与水速成45 B 与水速成135 C 垂直于对岸D 不能确定 答案 解析 现需求 BAD 只要求 CAD即可 CAD 45 BAD 45 90 135 即小船应朝与水速成135 的方向行驶 类型三三角形面积公式的应用 命题角度1求面积例3在 ABC中 根据下列条件 求三角形的面积S 精确到0 1cm2 1 已知a 14 8cm c 23 5cm B 148 5 解答 2 已知B 62 7 C 65 8 b 3 16cm 解答 A 180 B C 180 62 7 65 8 51 5 3 已知三边的长分别为a 41 4cm b 27 3cm c 38 7cm 解答 反思与感悟 三角形面积公式中含有三角形的边角关系 因此求三角形的面积 与解三角形有密切的关系 首先根据已知 求出所需 然后求出三角形的面积 跟踪训练3在 ABC中 AB AC 1 B 30 求 ABC的面积 0 C 180 且AB AC C B C 60 或120 当C 60 时 A 90 当C 120 时 A 30 解答 命题角度2已知三角形面积例4在 ABC中 内角A B C对边的边长分别是a b c 已知c 2 C 若 ABC的面积等于 求a b 由余弦定理及已知条件 得a2 b2 ab 4 解答 题目条件或结论中若涉及三角形的面积 要根据题意灵活选用三角形的面积公式 反思与感悟 跟踪训练4如图所示 已知半圆O的直径为2 点A为直径延长线上的一点 OA 2 点B为半圆上任意一点 以AB为一边作等边三角形ABC 求B在什么位置时 四边形OACB的面积最大 解答 设 AOB 在 ABO中 由余弦定理 得AB2 12 22 2 1 2cos 5 4cos 0 当堂训练 1 一艘海轮从A处出发 以40nmile h的速度沿南偏东40 方向直线航行 30min后到达B处 在C处有一座灯塔 海轮在A处观察灯塔 其方向是南偏东70 在B处观察灯塔 其方向是北偏东65 那么B C两点间的距离是 1 2 3 答案 解析 1 2 3 如图所示 由已知条件可得 CAB 30 ABC 105 BCA 45 设三角形外接圆半径为R 则由 R2 得R 1 1 2 3 2 已知三角形面积为 外接圆面积为 则这个三角形的三边之积为 答案 解析 abc 1 3 作用于同一点的三个力F1 F2 F3平衡 已知 F1 30N F2 50N F1和F2之间的夹角是60 求F3的大小与方向 精确到0 1 1 2 3 解答 F3应和F1 F2的合力F平衡 所以F3和F在同一直线上 并且大小相等 方向相反 如图 在 OF1F中 由余弦定理 得 1 2 3 所以 F1OF 38 2 从而 F1OF3 141 8 所以F3为70N F3和F1间的夹角为141 8 规律与方法 1 在求解三角形中 我们可以根据正弦函数的定义得到两个解 但作为有关现实生活的应用题 必须检验上述所求的解是否符