高中数学 第三章 导数及其应用 3.1 变化率与导数课件 新人教A版选修11.ppt

第三章导数及其应用3 1变化率与导数3 1 1变化率问题3 1 2导数的概念3 1 3导数的几何意义 新知探求 课堂探究 新知探求素养养成 知识点一 问题1 我们都吹过气球 回忆一下吹气球的过程 可以发现 随着气球内空气容量的增加 气球的半径增加得越来越慢 从数学角度 如何描述这种现象呢 平均变化率 x2 x1 问题2 求函数平均变化率的主要步骤有哪些 答案 主要有三步 1 先计算函数值的改变量 y f x2 f x1 2 再计算自变量的改变量 x x2 x1 知识点二 问题3 瞬时速度与平均速度有何区别与联系 答案 瞬时速度是指物体在某一时刻或经过某一位置时的速度 平均速度是指物体在某一时间区间内速度的平均变化率 二者都是用来描述物体运动快慢的物理量 导数的概念 2 导函数的定义从求函数y f x 在x x0处的导数的过程中可以看到 当x x0时 f x0 是一个确定的数 这样 当x变化时 f x 便是x的一个函数 我们称它为f x 的 简称导数 y f x 的导函数有时也记作y 即 导函数 知识点三 梳理函数f x 在点x0处的导数f x0 的几何意义是在曲线y f x 上点处的 瞬时速度就是位移函数s t 对时间t的导数 相应地 切线方程为 导数的几何意义 p x0 y0 切线的斜率 y y0 f x0 x x0 名师点津 1 f x0 与x0的值有关 不同的x0 其导数值一般也不同 2 f x0 不一定为0 但 f x0 一定为0 题型一 求函数的平均变化率 课堂探究素养提升 方法技巧求函数平均变化率的步骤 1 求自变量的增量 x x2 x1 2 求函数值的增量 y f x2 f x1 即时训练1 已知函数y f x x2 1 则在x 2 x 0 1时 y的值为 a 0 40 b 0 41 c 0 43 d 0 44 解析 y 2 0 1 2 22 0 41 故选b 题型二 函数在某点处的导数 方法技巧根据导数的定义 求函数y f x 在x x0处的导数的步骤 1 求函数的增量 y f x0 x f x0 即时训练2 求y x2在x 1处的导数 题型三 导数的几何意义 2 求曲线过点p 2 4 的切线方程 方法技巧求曲线在点p x0 y0 处的切线方程的步骤 1 求出函数y f x 在x0处的导数f x0 得到切线的斜率k f x0 2 根据直线的点斜式方程 得到切线方程y y0 f x0 x x0 备用例1 已知函数f x x3 3x及y f x 上一点p 1 2 求过点p与曲线y f x 相切的直线方程 题型四 导数在物理中的应用 例4 将原油精炼为汽油 柴油 塑胶等各种不同产品 需要对原油进行冷却和加热 如果第xh时 原油的温度 单位 为y f x x2 7x 15 0 x 8 计算第2h和第6h时 原油温度的瞬时变化率 并说明它们的意义 即时训练4 子弹在枪筒中的运动可以看作是匀变速运动 如果它的加速度是a 5 105m s2 子弹从枪口射出时所用的时间为t0 1 6 10 3s 求子弹射出枪口时的瞬时速度 备用例2 路灯距地面8m 一个身高1 6m的人以84m min的速度从路灯的正下方沿直线离开路灯 1 求影长y与人距路灯的水平距离x之间的关系式 2 求人离开路灯第10秒时影长的瞬时变化率 题型五 易错辨析 导数的概念认识不清致误 错解 选c 纠错 导数定义中分子中自变量的差值与分母应该相等 否则要进行相应的恒等变形 学霸经验分享区 与导数几何意义有关问题的常见类型及解题策略 1 已知切点求切线方程 解决此类问题的步骤为 求出函数y f x 在点x x0处的导数 即曲线y f x 在点p x0 f x0 处切线的斜率 由点斜式求得切线方程为y y0 f x0 x x0 2 已知斜率求切点 已知斜