高中数学 第一章 不等关系与基本不等式 1.2 含有绝对值的不等式 1.2.2 绝对值不等式的解法课件 北师大版选修45.ppt

2 2绝对值不等式的解法 1 会用数轴上的点表示绝对值不等式的范围 2 会解 ax b c ax b c x a x b c和 x a x b c四种类型的绝对值不等式 1 1 解绝对值不等式的主要依据解含绝对值的不等式的主要依据为绝对值的定义 绝对值的几何意义及不等式的性质 2 绝对值不等式的解法 做一做1 解下列绝对值不等式 1 x 4 解 1 3 0 30 x 4或x4或x 4 2 ax b c c 0 和 ax b c c 0 型不等式的解法 1 ax b c c 0 型不等式的解法 先化为 c ax b c 再利用不等式的性质求出原不等式的解集 也可以利用绝对值的几何意义求解 2 ax b c c 0 的解法 先化为ax b c和ax b c 再进一步利用不等式的性质求出原不等式的解集 也可以利用绝对值的几何意义求解 做一做2 不等式 x 4 9的解集是 解析 由原不等式 得x 4 9或x 45或x5 3 x a x b c和 x a x b c型不等式的解法解法一 可以利用绝对值的几何意义 简称几何法 解法二 利用分类讨论的思想 以绝对值的 零点 为分界点 将数轴分成几个区间 然后确定各个绝对值中多项式的符号 进而去掉绝对值符号 简称分段讨论法 解法三 可以通过构造函数 利用函数图像 得到不等式的解集 简称图像法 由上可以看出 解含有绝对值的不等式 关键在于利用绝对值的意义设法去掉绝对值符号 把它转化为一个或几个普通不等式或不等式组 即不含绝对值符号的不等式 做一做3 解不等式 2x 5 x 1 2 分析 利用零点分区间法解题 题型一 题型二 题型三 题型一 ax b c c 0 和 ax b c c 0 型不等式的解法 例1 解不等式2 2x 5 7 分析 分清楚绝对值不等式的类型 利用绝对值不等式的定义或几何意义求解 题型一 题型二 题型三 反思1 ax b c c 0 ax b c或ax b c 2 ax b c c 0 c ax b c 在实际问题中 我们应先把x的系数化为正数后再求解 题型一 题型二 题型三 变式训练1 不等式1 x 3 6的解集是 a x 3 x 2或4 x 9 b x 3 x 9 c x 1 x 2 d x 4 x 9 答案 a 题型一 题型二 题型三 题型二 x a x b c和 x a x b c型不等式的解法 例2 解不等式 x 1 x 2 5 分析 这个绝对值不等式比较复杂 我们需要从它的几何意义来分析 设数轴上与 2 1对应的点分别是a b 则不等式的解就是数轴上到a b两点的距离之和不小于5的点所对应的实数 所以我们只要在数轴上确定出具有上述特点的点的位置 就可以得出不等式的解集 题型一 题型二 题型三 解法一 几何法 如图 设数轴上与 2 1对应的点分别是a b 则a b两点的距离是3 因此区间 2 1 上的数都不是原不等式的解 为了求出不等式的解 关键要在数轴上找出与点a b的距离之和为5的点 将点a向左移动1个单位到点a1 这时有 a1a a1b 5 同理 将点b向右移动1个单位到点b1 这时也有 b1a b1b 5 从数轴上可以看到 点a1与b1之间的任何点到点a b的距离之和都小于5 点a1的左边或点b1的右边的任何点到点a b的距离之和都大于5 所以 原不等式的解集是 3 2 题型一 题型二 题型三 解法二 分段讨论法 1 当x 2时 原不等式可以化为 x 1 x 2 5 解得x 3 题型一 题型二 题型三 解法三 图像法 将原不等式转化为 x 1 x 2 5 0 构造函数y x 1 x 2 5 作出函数的图像 如图 它是分段线性函数 函数的零点是 3 2 从图像可知 当x 3 2 时 有y 0 即 x 1 x 2 5 0 所以原不等式的解集是 3 2 题型一 题型二 题型三 反思本例题有三种解题方法 各有特点 解法一可利用绝对值不等式的几何意义 体现了数形结合思想 从中可以发现 理解绝对值的几何意义 给绝对值不等式准确的几何解释是解题关键 解法二可利用 x 1 0 x 2 0的解 将数轴分为三个区间 然后在这三个区间上将原不等式转化为不含绝对值符号的不等式求解 体现了分类讨论思想 从中可以发现 以绝对值的 零点 为分界点 将数轴分为几个区间的目的是为了确定各个绝对值中多项式的符号 进而去掉绝对值符号 解法三可通过构造函数 利用函数的图像 体现了函数与方程的思想 从中可以发现 正确求出函数的零点并画出函数图像 有时需要考查函数的单调性 是解题的关键 题型一 题型二 题型三 变式训练2 求不等式 x 4 x 2 6的解集 解 令x 4 0 得x 4 令x 2 0 得x 2 1 当x 4时 原不等式等价于 x 4 x 2 6 得 2x 2 6 即x 4 x 4 2 当 4 x 2时 原不等式等价于 x 4 x 2 6 即6 6成立 4 x 2 3 当x 2时 原不等式等价于 x 4 x 2 6 得2x 2 6 即x 2 x 2 综上所述 原不等式的解集为 x 4 x 2 题型一 题型二 题型三 题型三含参数不等式的解法 例3 设函数f x x a 3x 其中a 0 1 当a 1时 求不等式f x 3x 2的解集 2 若不等式f x 0的解集为 x x 1 求a的值 分析 1 化为 ax b c型不等式求解 2 先解不等式f x 0 得出解集后与集合 x x 1 相等 进而得到a的值 解 1 当a 1时 f x 3x 2可化为 x 1 2 即x 3或x 1 故不等式f x 3x 2的解集为 x x 3或x 1 题型一 题型二 题型三 2 由f x 0 得 x a 3x 0 将此不等式化为不等式组得 反思解含参数的不等式 一类要对参数进行讨论 讨论要做到不重不漏 另一类对参数并没有进行讨论 而是去绝对值符号时对变量进行讨论 得到两个不等式组 最后把两个不等式组的解集进行合并 即得原不等式组的解集 如本例 题型一 题型二 题型三 变式训练3 关于x的不等式 ax 2 6的解集为 1 2 试求实数a的值 1 2 3 4 5 1不等式 8 3x 0的解集是 a b r 答案 c 1 2 3 4 5 2在下列不等式中 解集为r的是 a x 2 1b x 2 1 1c x 78 2 1d x 78 2 1 0解析 由 x 78 2 0 知 x 78 2 1在r内恒成立 答案 c 1 2 3 4 5 3不等式 x 3 4的解集是 a 7 1 b 1