湖北省荆州市沙市第五中学高中数学 3.4基本不等式导学案（含解析）新人教版必修.doc

第三节：基本不等式学习目标：1.理解基本不等式 的证明方法,要求学生掌握算术平均数与几何平均数的意义，并掌握“均值不等式”及其推导过程。2. 理解利用基本不等式 证明不等式的方法学习重点、难点：1. 应用数形结合的思想理解基本不等式2. 理解利用基本不等式 证明不等式的方法3. 利用几何特征粗象出代数不等式，利用代数不等式构造几何模型学法指导：启发式教学法知识链接：问题1：若a、bR，则代数式a2b2与2ab有何大小关系？提示：(a2b2)2ab(ab)20.a2b22ab.问题2：上述结论中，“”号何时成立？提示：当且仅当ab时成立问题3：若以，分别代替问题1中的a，b，可得出什么结论？提示：ab2.问题4：问题3的结论中，“”何时成立？提示：当且仅当ab时成立导入新知1重要不等式当a，b是任意实数时，有a2b22ab，当且仅当ab时，等号成立2基本不等式1有关概念：当a，b均为正数时，把叫做正数a，b的算术平均数，把叫做正数a，b的几何平均数2不等式：当a，b是任意正实数时，a，b的几何平均数不大于它们的算术平均数，即，当且仅当ab时，等号成立(3)变形：ab2，ab2 (其中a0，b0，当且仅当ab时等号成立)化解疑难1基本不等式成立的条件：a0且b0；其中等号成立的条件：当且仅当ab时取等号，即若ab时，则 ，即只能有.2从数列的角度看，a，b的算术平均数是a，b的等差中项，几何平均数是a，b的正的等比中项，则基本不等式可表示为：a与b的正的等比中项不大于它们的等差中项自主学习：利用基本不等式证明不等式例1已知a，b，cR，求证：a4b4c4a2b2b2c2c2a2.证明由基本不等式可得：a4b4(a2)2(b2)22a2b2，同理：b4c42b2c2，c4a42a2c2，(a4b4)(b4c4)(c4a4)2a2b22b2c22a2c2，从而a4b4c4a2b2b2c2c2a2.类题通法1利用基本不等式证明不等式，关键是所证不等式中必须有“和”式或“积”式，通过将“和”式转化为“积”式或将“积”式转化为“和”式，从而达到放缩的效果2注意多次运用基本不等式时等号能否取到活学活用1已知a，b是正数，求证.证明：a0，b0，20，即(当ab时取“”).利用基本不等式求最值例2(1)已知m，n0，且mn16，求mn的最大值(2)已知x3，求f(x)x的最小值；(3)设x0，y0，且2xy1，求的最小值解(1)m，n0且mn16，所以由基本不等式可得mn2264，当且仅当mn8时，mn取到最大值64.mn的最大值为32.(2)x3，x30，0，于是f(x)xx332 37，当且仅当x3即x5时，f(x)取到最小值7.(3)法一：x0，y0,2xy1，332 32，当且仅当，即yx时，等号成立，解得x1，y1，当x1，y1时，有最小值32.法二：1(2xy)33232，以下同解法一类题通法1利用基本不等式求最值，必须按照“一正，二定，三相等”的原则，即(1)一正：符合基本不等式成立的前提条件，a0，b0；(2)二定：化不等式的一边为定值；(3)三相等：必须存在取“”号的条件，即“”号成立以上三点缺一不可2若是求和式的最小值，通常化(或利用)积为定值；若是求积的最大值，通常化(或利用)和为定值，其解答技巧是恰当变形，合理拆分项或配凑因式活学活用2(1)已知lg alg b2，求ab的最小值；(2)已知x0，y0，且2x3y6，求xy的最大值(3)已知x0，y0，1，求xy的最小值解：(1)由lg alg b2可得lg ab2，即ab100，且a0，b0，因此由基本不等式可得ab2 2 20，当且仅当ab10时，ab取到最小值20.(2)x0，y0,2x3y6，xy(2x3y)22，当且仅当2x3y，即x，y1时，xy取到最大值.(3)1，xy(xy)1910，又x0，y0，1021016，当且仅当，即y3x时，等号成立由得即当x4，y12时，xy取得最小值16.利用基本不等式解应用题例3如图所示，动物园要围成相同面积的长方形虎笼四间，一面可利用原有的墙，其他各面用钢筋网围成(1)现有可围36 m长的材料，每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使每间虎笼面积最大？(2)若使每间虎笼面积为24 m2，则每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使围成四间虎笼的钢筋网总长最小？解(1)设每间虎笼长为x m，宽为y m，则由条件得4x6y36，即2x3y18，设每间虎笼面积为S，则Sxy.由于2x3y2 2 ，2 18，得xy，即S，当且仅当2x3y时，等号成立，由解得故每间虎笼长为4.5 m，宽为3 m时，可使面积最大(2)法一：由条件知Sxy24，设钢筋网总长为l，则l4x6y.2x3y2 2 24，l4x6y2(2x3y)48，当且仅当2x3y时，等号成立由解得故每间虎笼长6 m时，宽4 m时，可使钢筋网总长最小法二：由xy24，得x.l4x6y6y662 48，当且仅当y，即y4时，等号成立此时x6.故每间虎笼长6 m，宽4 m时，可使钢筋网总长最小类题通法在应用基本不等式解决实际问题时，应注意如下的思路和方法： (1)先理解题意，设出变量，一般把要求最值的量定为函数；(2)建立相应的函数关系，把实际问题抽象成函数的最大值或最小值问题；(3)在定义域内，求出函数的最大值或最小值；(4)根据实际背景写出答案活学活用3某汽车公司购买了4辆大客车，每辆200 万元，用于长途客运，预计每辆车每年收入约100 万元，每辆车第一年各种费用约为16 万元，且从第二年开始每年比上一年所需费用要增加16 万元(1)写出4辆车运营的总利润y(万元)与运营年数x(xN*)的函数关系式；(2)这4辆车运营多少年，可使年平均运营利润最大？解：(1)依题意，每辆车x年总收入为100x万元，总支出为20016(12x)200x(x1)16(万元)y416(2x223x50)(2)年平均利润为1616.又xN*，x2 10，当且仅当x5时，等号成立，此时16(2320)48.运营5年可使年平均运营利润最大，最大利润为48 万元达标检测1已知f(x)x2(x0)，则f(x)有()A最大值为0B最小值为0C最大值为4D最小值为4解析：选Cx0，f(x)2224，当且仅当x，即x1时取等号2若ab0，则下列不等式成立的是()Aab BabCabDab解析：选Bab，因此只有B项正确3若x，yR，且x4y1，则xy的最大值为_解析：1x4y2 4 ，xy，当且仅当x4y时等号成立答案：4已知x0，y0，lg xlg y1，则z的最小值为_解析：由已知条件lg